第二章动角二阶线性偏微分方程及其分类

1、文档编码 : CM3P7L4R4J5 HB5Q5T6Q4Y10 ZF9Z10W9B8S2精品资料 欢迎下载 其次章 二阶线性偏微分方程及其分类 二阶线性偏微分方程的一般形式： 其中 a ij , bi , c, f nnaij 2u xi x j nbi ucu f 0j 1 i 1 i 1 xi 是自变量 x1 , x2 , , xn 的函数,假如 f=0,就方程是线性齐次方程,否 就方程是非线性齐次方程； （一）两个自变量方程的分类： 一般形式： a11 2 u 2 x 2a12 2u x y a22 2 u 2 y b1 ub2 ucu f 0（ 1） x y 其中 a11 , a12

2、, a 22 ,b1 , b2 , f 只是 x, y 的函数； 以下争论时,假定 a11 ,a12 , a22 ,b1 , b2 , f 是实数； 作变量代换 x x , , y y , 就在上式代换下方程（ 1）变为 A11 u 2 A12u A22 u B1u B2 u Cu F 0（ 2） 其中系数： A11 a11 22 a12 x y a22 2a22 y y （ 3） x y A12a11x x a12 x y y x A22a112 2a12 x y a22 2x b2 y x y B1a11xx 2a12 xy a 22 yy b1 B2 a11 xx 2a12 xy a22

3、 yy b1 x b2 y Cc, F f 从（ 3）中可以看出,假如取一阶偏微分方程 的一个特解作为 ,就 2 x a11 zx x 2a12 zx zy a22 zy 0（ 4） a11 2a12 y a22 2 y 0从而 A 11=0；假如取（ 4）的另外一个特解作为 ,就 A 22=0,这样方程（ 2）就可以简化； 一阶偏微分方程（ 4）的求解可以转化为常微分方程的求解,将（ 4）改写成： a11 zx 22a12 zx a22 0zy zy 第 1 页,共 5 页精品资料 欢迎下载 假如将 z x, y c 看作定义隐函数 y yx 的方程,就 dy zx dx zy 从而有： a

4、11 dy 2dx 2a12 dy a22 dx 0（ 5） 常微分方程（ 5）叫做二阶线性偏微分方程的特点方程； 特点方程的一般积分 x, y c1 和 x, y c2 叫做特点线； （ 5）的解为 2 如 a12 a11 a22 dy a12 a12 a11a22 （ 6） dx a11 0 ,二阶线性偏微分方程为双曲型方程 如 a12 2a11 a22 0 ,二阶线性偏微分方程为抛物型方程 0 ,二阶线性偏微分方程为椭圆型方程 如 a12 a11 a22 1：双曲型 2 当 a12 a11a 22 0 时,（ 6）式给出一族实的特点曲线 Cu F 2Cu F x, y c1 , x, y

5、 c2 取 x, y , x, y 就 A11 A22 0 ,这时方程变为 u1 B1u B2 u 2 A12 如再作 , 就上述方程变为： B2 u uu1 B1 B2 u B1 A12 2：抛物型 当 a12 a11a 22 0 ,这时（ 6）式只有一个解 dy a12 dx a11 第 2 页,共 5 页它只能给出一个实的特点线, 精品资料 欢迎下载 x, y 作为另一个 x, y c ；取与 x, y 函数无关的 新的变量,就 u1 B1u B 2u Cu F A22 3：椭圆型 当 a12 a11a 22 0 时,（ 6）式各给出一族复特点线 F x, y , x, y 在该变换下：

6、 A11 0, A22 0 且方程化为： 令 i , u1 B1u B2 u Cu 2 A12 i就有： uu1 B1 B2 u i 21 u 2Cu F A12 例：判定下面偏微分方程的类型并化简 u xx 2uxy 3u yy 2u x 6u y30 a12 a11a22 40解： a11 1 , a12 1 , a22 故该方程为双曲型偏微分方程,其特点方程 dy 2dx 2dy 3 0 dx 1dy dx dy 3 或 dx 故有 y 3x C1 或 y x C2 y 取新变量 3 x y , x 就 u392 u 2u, u y 2u 2ux 2 u 2 x 62 u 第 3 页,共

7、 5 页2 u 2 y 2u 222 u 精品资料 欢迎下载 2 u 2代入原方程得： 16 2u12 u4u0即： 2u 3u1u44例：判定以下二阶方程的类型 （1） u xx 4uxy 3u yy 2u x 6u y 00（2） 1 2 x u xx 1 2 y u yy xu x yu y （3） u xx xu yy 0（二）数学物理方程解的基本性质 1方程的解 定义： 假如有一个函数在某一自变量取值区域中具有所需的各阶连续偏导数, 并且代入 数学物理方程后使该方程成为恒等式,就称此函数为在该取值区域方程的解； 2解的基本性质 性质 1：设 u1 和 u2 都是线性齐次方程 L u

8、0 解,就 c1u1 c2u 2 也是线性齐次方程的 解；其中 L 是线性微分算子； 性质 2：设 u1 , u 2 , ,un , 都是线性齐次方程 L u 0 的解,且级数 u ui 是收敛 i 1 的,并且对自变量 x1 , x2 , xn 均可两次通项微分,就 u 是线性齐次方程的解；这个结论叫 解的叠加原理； u性质 3：设 u1 是线性齐次方程 L u 0 的解, u2 是非线性齐次方程 L u f 的解,就 u1 u 2 也是非线性齐次方程 L u f 的解； 3定解问题的适应性 在数学上,适应性问题包括：解的存在性,解的唯独性,解的稳固性；解的稳固性是 争论定解条件发生微小变化时,解是否也发生微小变化； 下面列举不稳固的定解问题,即闻名的哈达马问题拉普拉氏方程的初值问题为： 第 4 页,共 5 页22精品资料 欢迎下载 2 x 2 2y 0 x , y 0 y 0 f x, 2 y y 0 g x 初值发生微小变化,定解问题为： 22x , y 0 2 x 2 2y 0y 0g x sin nx f x, 1 2 y y 0 nk 解为 1 x, y x, y n1eny