数学模型课件：第六章 代数方程与差分方程模型2

1、6.1 投入产出模型6.2 CT技术的图像重建6.3 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析6.4 市场经济中的蛛网模型6.5 减肥计划节食与运动6.6 按年龄分组的人口模型第六章 代数方程与差分方程模型6.4 市场经济中的蛛网模型问 题供大于求现象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定? 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求 描述商品数量与价格的变化规律.商品数量与价格在振荡蛛 网 模 型gx0y0P0fxyOxk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格.消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数需求函数f与g的交点P0(x0,y0) 平衡点一旦xk

2、=x0，则yk=y0, 且 xk+1=xk+2=x0 , yk+1=yk+2= =y0 供应函数xyOfgy0 x0P0设x1偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点xyOy0 x0P0fg曲线斜率蛛 网 模 型在P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方 程 模 型方程模型与蛛网模型的一致 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量考察 , 的含义 消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度小, 有利于经济稳定 小, 有利于经济稳定结果解释xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格.经济稳定结果

3、解释经济不稳定时政府的干预办法1. 使 尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变2. 使 尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变xyOy0gfxyOx0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段 的价格决定下一时段的产量.生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件方程通解(c1, c2由初始条件确定)1, 2特征根，即方程 的根 平衡点稳定，即k, xkx0的条件:平衡点稳定条件比原来的条件 放宽了!模型的推广6.5 减肥计划节食与运动背景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持.

4、 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标.分析 体重变化由体内能量守恒破坏引起. 饮食（吸收热量）引起体重增加. 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少. 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重; BMI30 肥胖.模型假设1）体重增加正比于吸收的热量每8000kcal 增加体重1kg；2）代谢引起的体重减少正比于体重每周每千克 体重消耗200 320kcal (因人而异), 相当于70kg 的人每天消耗2000 3200kcal；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式 有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1

5、.5kg, 每周吸收热量不要小于10000kcal.某甲体重100kg，目前每周吸收20000kcal热量，体重维持不变. 现欲减肥至75kg.第一阶段：每周减肥1kg，每周吸收热量逐渐减少,直至达到下限（10000kcal）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标. 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划.1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划.减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案. 确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗 20000/100=200kcal基本模型w(k) 第k周(末)体重c(k) 第k周吸收热量 代谢消耗系数(因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划

6、每周吸收20000kcal, w=100kg不变=1/8000(kg/kcal) 第一阶段: w(k)每周减1kg, c(k)减至下限10000kcal第一阶段10周, 每周减1kg，第10周末体重90kg吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划 第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75kg1）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型 第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75kg第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000kcal, 体重按 减少至75kg.运动 t=24 (每周跳舞8h或自行车10h), 14周即可.2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热

7、量 (kcal): 跑步 跳舞 乒乓 自行车(中速) 游泳(50m/min) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动时间(h)模型)()1()()1(kwkckwkwba-+=+tagbb+=取 t=0.003, 即 t=24=1/8000(kg/kcal), =0.02514=n增加运动相当于提高代谢消耗系数2）第二阶段增加运动的减肥计划提高12%减肥所需时间从19周降至14周减少25% 这个模型的结果对代谢消耗系数很敏感. 应用该模型时要仔细确定代谢消耗系数 (对不同的人; 对同一人在不同的环境).3）达到目标体重75kg后维持不变的方案每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w

8、不变 不运动 运动(内容同前)6.6 按年龄分组的人口模型 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同.建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律.假设与建模 种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2, 以雌性个体数量为对象. 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di假设与建模xi(k)时段k第i 年龄组的种群数量按年龄组的分布向量预测任意时段种群按年龄组的分布Leslie矩阵(L矩阵)(设至少1个bi0)稳定状态分析的数学知识 L矩阵存在正单特征根1， 若L矩阵存在bi

9、, bi+10, 则 P的第1列是x*特征向量, c是由bi, si, x(0)决定的常数 且解释L对角化稳态分析k充分大种群按年龄组的分布 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布, 与初始分布无关. 各年龄组种群数量按同一倍数增减， 称固有增长率与基本模型比较3）=1时 各年龄组种群数量不变 1个个体在整个存活期 内的繁殖数量为1稳态分析存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比（与si 的定义 比较） 3）=1时人口模型连续型人口模型的离散形式xi(k)k年i 岁的女性人数(模型只考虑女性人口).bi(k)k年i 岁女性生育率(每人平均生育女儿数).dii 岁女性死亡率，si=1-di存活率i1, i2生育区间k年育龄女性平均生育女儿数总合生育率(生育胎次)年龄分布向量hi生育模式人口模型存活率矩阵生育模式矩阵x(k)状态变量, (k)控制变量双线性方程(对x(k), (k