高斯消去法高斯塞德尔迭代法

1、数值计算高斯消去法和高斯-塞德尔迭代法摘要虽然已学过加减消元法、代入消元法、矩阵变换法和Cramer法则等，但是 无法满足实际计算需要，故在此讨论在计算机上实现的有效而实用的解法。线性 方程组的解法大致分2类：直接法（高斯消去法）和迭代法（高斯-赛德尔迭代 法），在此对着此类算法进行比较分析。一、算法设计当计算线性方程组如下时，a x + a x Hb a x = b11 112 21n n1（1-1）a x + a x bb a x = b（1-1）21 122 22n n2a x + a x bb a x = bn1 1 n 2 2nn n n为方便起见，常将线性方程组表示成矩阵形式Ax

2、= b其中a11-其中a11-a1nx=x J:b=bJ:.a * * / /xb1- n1nnnnA =并始终假定A是非奇异的，即方程组的解存在且唯一。1.1高斯消去法消去法就是按特定顺序进行的矩阵初等变换法，当消元按自然顺序进行时，称为 高斯顺序消去法。一般情况下的高斯顺序消去法的计算机算法如下，现将方程组（1-1）的增广矩阵记作a（0）.a（0）a（0）111n1n b1,a（0）.a（0）a（0）n1nnnn b1假设经k-1步消元后，增广矩阵化为a（0）11a（0）12.a（0）1na（0）1n b1a22.a2n,a2 n b1,a（ k-1） kk,.a（ k-1） kn,a（

3、k-1） knb1,a（ k-1） nk.a（ k-1）nna（ k-1） nn b1其中）的上标表示是由s步消元得到的植。第k步消元：设a(k-i)0 ,以第k行为基础，将以后各行中的g-i)化为0,为此kkik先计算I =/ a（k-i）ik ik kk然后以第i行减去第k行乘以烦，即以司Cl（k-l） 1ijika（si） kj（j = k + l, （i = k +1 ., +1）,n）于是得a（o）ii a（o）Ina（o）1/1+1aa-i） kkg-1） kk+1awk+ik+i, kn.k+lng-1） kn+1a（k）k+ln+1a（k）k+ln.nnaw7171 + 1经n

4、T步消元后，增广矩阵化为a（o） ii a（o）Ina（o）1/1+1, kkknkn+1e-i）自下往上逐步回代即可求彳得其解nnnn+1X - (g-1)-芝 aa-i)x ) /aa-i)k kn+1kj j kkj=k+l(Ji n 1 2, , 1)由行列式的初等变换和矩阵初等变换的关系可知，顺序消元法的每一步系数行列式之值不变，因此原方程组之系数行列式的值为gw.a(n-D ,可在求解过程中 1122 nn逐步累乘求得。clearclcA= input (J清输人条数拒阵n7 )n=size (Aj 1);b= input (J 清输入b nJ) a=鼠 bl;D=1 :for k

5、=1:n-1if a(kj k) =0for i=k+l:na-1, k)=a(ij (虬 k):for j=k+lin+1atij j) = a(iJ jJ-atij k) *a(k5 j);endendelsedisp C输出失败信息，停止PreturnendD二D*a(k, k):if a(iij n) =0D=D*就4 n);elsedisp (-输出失成信息，停止returnend-endfor k=n：-l:1s=0;for j=k+l:n3=5+3( j)*就j, n+1):enda(kj n+l) = (a(k, n+l)-s)/a(kj k); endaX： n+1)1.3高

6、斯-塞德尔(Gauss-Seidel )迭代法由于迭代法能充分避免系数矩阵中零元素的贮存与计算，因此特别适用于系数矩 阵阶数很高而非零元极少的线性方程组。高斯-塞德尔的迭代格式为1 ,尤(k+1)(-a x(k+i) 2a1 ,尤(k+1)(-a x(k+i) 2a21 122 1 /(-a x(k+i)nanl 1、nnX(fc+1)=1a或缩写为-a x(k)12 2-a xw13 3.-a x(Q23 3. -a 尤以+i)n2 2-a尤以+i)n3 3 -a xwIn n+b)i -a x(Q2n n+b )2-a 尤以+i)nn-l n-1 +b )n(Wij(，= 1,2,)X(k

7、+1)aiiX(k+1) - jaij j=i+lX(k) +b)j i将其写成矩阵形式为x(m) Lv(m)+ + Dil)若把X(E)解出来，则得等价的迭代公式x(m) (D L)-iUx(k)+ (D Zv)-i h记M =(D-L)-iUG其中 TOC o 1-5 h z 01a a 0nln20 Q Cl HYPERLINK l bookmark59 o Current Document 12In_0 _aiiD= .annM为高斯-塞德尔的迭代矩阵。G1.4高斯-塞德尔(Gauss-Se i de I )迭代法Mat I ab程序设计clearA= input (J 清输 AA ,

8、n );b= input清输Ab .nJ);kO=input。清石i入初值n);D=diag(diag(A);L-triKA.-l):UtriufAj 1);IM=(D-L)U;K=M*KO+(D-L)b;n=l :if mas (abs(eig(M)=0. 000001 k0=k ;K=M*zO+(D-L)b;n=n+l:enddisp C迭代次教.为J)disp C 解为：)土：disp (J高斯-赛德尔迭代不收敛勺 returnend二、数值试验用高斯消去法和高斯-塞德尔迭代法求解方程组0.00173.85671.10233.1243X18.0904 一0.12341.23432.304

9、41.6257X2=5.28789.92744.92588.50423.4253X39.4805_7.54339.999510.67287.0147 _X1- 421.2009File Edit Debug Desktop Window Help请输入系数拒阵0. 0071, 3. 8567, 1. 1023, 3. 1243;0. 1234, 1. 2343, 2. 3044, 1. 62EA =0.00713.85671.10233. 12430. 12341.23432.3Q441.62579.9274-4.92588.5042-3. 42537. 54339.999510.6728-7. 0147清输入b8. 0904;5. 2870;9.4805;21.2009:b =8.09045.28789.480521.2009ans =0.92751.01971.01380.9710iI2.2高斯-赛德尔迭代法在计算机上求解结果如下2.3计算机上求解结果分析有上述结果可知当用直接法可求出线性方程组的解得时