中考数学圆与相似综合经典题含详细答案

1、中考数学圆与相似综合经典题含详细答案一、相似1.在厶ABC中，ZABC=90.囹1囹：囹3(1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N,求证:ABMBCN；A-i如图2，P是边BC上一点，ZBAP=ZC，tanZPAC=，求tanC的值；.jAD:如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，ZDEB=90,sinZBAC=，直接写出tanZCEB的值.【答案】(1)解：TAM丄MN,CN丄MN,ZAMB=ZBNC=90,ZBAM+ZABM=90,TZABC=90，.ZABM+ZCBN=90，.ZBAM=ZCBN，TZAMB=ZNBC，ABM-BCN(2)解：如图2,过

2、点P作PM丄AP交AC于M,PN丄AM于N.TZBAP+Z1=ZCPM+Z1=90，.ZBAP=ZCPM=ZC，.MP=MCPNJ_J_矗tanZPAC=-辻设MN=2m,PN八m,根据勾股定理得，PM=l：根据勾股定理得，PM=l：；,BC1(3)解：在RtAABC中，sinzBAC=-=,过点A作过点A作AG丄BE于G,过点C作CH丄BE父EB的延长线于H,TZDEB=90,CHIIAGIIDE，GH_ACh同（1）的方法得，ABG-BCHBG_ACBG_ACABBC设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，:AB=AE，AG丄BE，.EG=BG=4m，.GH=BG+BH=4m+3

3、n，4tn3n_5.n=2m，.EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，Ch3在RtACEH中，tanZBEC=-【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出zAMB=ZBNC=90，根据同角的余角相等得出ZBAM=ZCBN，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出：ABM-BCN；（2）过点P作PF丄AP交AC于F，在RtAAFP中根据正切函数的定义，由PFP一三AB_BP_APJtanZPAC=,同（1）的方法得，ABP-PQF，故二-,设AB=a，PQ=2a，BP=Yb，FQ=2b（a0，b0），然后判断出ABP-CQF，得CQ_FQ门厂从而表示出CQ,进根据线段的

4、和差表示出BC，再判断出ABP-CBA，得出AB-再得出BC,从而列出方程，表示出BC,AB，在RtAABC中，根据正切函数的定义得出tanC的值；BC3(3)在RtAABC中，利用正弦函数的定义得出：sinZBAC=，过点A作AG丄BE于G，过点C作CH丄BE交EB的延长线于H，根据平行线分线段成比例定理得出GHAC5BG_AC_AB_4几匸，同(1)的方法得，ABG-BCH，故乂-=-，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，根据等腰三角形的三线合一得出EG=BG=4m，故GH=BG+BH=4m+3n，根据比例式列出方程，求解得出n与m的关系，进而得出EH=EG+GH=4m+4m

5、+3n=8m+3n=8m+6m=14m,在RtACEH中根据正切函数的定义得出tanZBEC的值。2.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF,过点E作EH丄DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G.G匚上3猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；过点H作MNIICD,分别交AD，BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点，求PDC周长的最小值.【答案】(1)解：结论：CF=2DG.理由：T四边形ABCD是正方形，AD=BC=CD=AB,ZADC=ZC=90,TDE=AE,.AD=CD=2DE，TEG丄DF,.ZDHG=90，.ZCDF+ZDG

6、E=90，ZDGE+ZDEG=90，.ZCDF=ZDEG，.DEGCDF,DGDE1.-=-=.,.CF=2DG(2)解：作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,BCC2BCC23此时PDC的周长最短.周长的最小=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.5DF*DGTOC o 1-5 h z由题意：CD=AD=10,ED=AE=5,DG=-,EG=八,DH=Y,EH=2DH=2-J,DHEhHM=2,.DM=CN=NK=；-=1,在RtADCK中，DK=l-=i、-=2产.PCD的周长的最小值为10+2.【解析】【分析】(1)结论：CF=2DG.理由如下：根据正方形的

7、性质得出AD=BC=CD=AB,ZADC=ZC=90，根据中点的定义得出AD=CD=2DE，根据同角的余角相等得出/CDF=ZDEG，从而判断出DEG-CDF,根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出结论；二一GD(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC，此时二一GD短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK,由题意得CD=AD=10,ED=AE=5,EG-，根据面积法求出DH的长，然后可以判断出DEH相似于GDH,根据相似三角形对应边的比等于相似比得出EH=2DH=l,再根据面积法求出HM的长，根据勾股定理及矩形的性质及对称的性质得出DM=CN=

8、NK=1,在RtADCK中，利用勾股定理算出DK的长,从而得出答案。=打bx；(a工0)3.如图，抛物线经过A(3,0),C(5,0)两点，点B为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(2)动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t,过点P作PM丄BD,交BC于点M,以PM为正方形的一边，向上作正方形PMNQ,边QN交BC于点R,延长NM交AC于点E.当t为何值时，点N落在抛物线上；在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：Ty=ax2+bx+经过A(-3,

9、0),C(5,0)两点，9a-3b=0一1一1rlb抛物线的解析式为点点B的坐标为(1，8).设直线BC的解析式为y=kx+m,rA+皿=8rk-2解得：，所以直线BC的解析式为y=-2X+10.T抛物线的对称轴与x轴交于点D,BD=8，CD=5-1=4.TPM丄BD,PMIICD,BPM-BDC,BP_Ph匸-,t严即、;,解得：PM=t,0E=1+：t.1ME=-2(1+.t)+10=8-t.四边形PMNQ为正方形，11NE=NM+ME=8-t+.t=8-.t.11点N的坐标为(1+-t,8-t),若点N在抛物线上，111则-(1+t-1)2+8=8-t,整理得，t(t-4)=0,解得-=

10、0(舍去)，t2=4,所以，当t=4秒时，点N落在抛物线上;存在.理由如下：1TPM=.t,四边形PMNQ为正方形，QD=NE=8-.t.直线BC的解析式为y=-2x+10,-2x+10=8-：t,解得：x=t+1,QR=-t+1-1=-t.又:EC=CD-DE=4-t,根据平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC,即t=4-t,161：161：161：161：解得：t=,此时点P在BD上16所以，当t=，时，四边形ECRQ为平行四边形【解析】【分析】（1）用待定系数法，将A,C两点的坐标分别代入y=ax2+bx+，得出一个关于a,b的二元一次方程组，求解得出a,b的值，从而得出抛物线的解析式

11、；（2）首先求出抛物线的顶点B的坐标，然后用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-2x+10.根据点到坐标轴的距离得出BD,CD的长度，根据垂直于同一直线的两条直线互相平行得出PMIICD，根据平行于三角形一边的直线，截，其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出BPM-BDC，根据相似三角形对应边成比例得出BP:BD=PM:CD，进而得出关于t的方程，求解得出PM,进而得出OE,ME，根据正方形的性质由NE=NM+ME得出NE的长，进而表示出N点的坐标，若点N在抛物线上，根据抛物线上的点的特点，得出关于t的方程，求解得出t的值，所以，当t=4秒时，点N落在抛物线上；存在.理由如下：根据PM的长

12、及正方形的性质从而表示出QD=NE的长度，进而得出方程，求出x的值，进而表示出QR根据线段的和差及平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC，从而得出关于t的方程，求解得出答案。4.如图1，一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,ZABC=ZDEF=90,ZEDF=30【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q（1）【探究一】在旋转过程中，CT=1如图2,当从时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.CT；,如图3,当卜仇时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.二Q根据你对（1）、（2

13、）的探究结果，试写出当宀时，EP与EQ满足的数量关系式为，其中妊的取值范围是（直接写出结论，不必证明）-2-2CE(2)【探究二】若且AC=30cm，连续卩0，设厶EPQ的面积为S(cm2),在旋转过程中：S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.随着S取不同的值，对应EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.CT1【答案】(1)解：当时，PE=QE.即E为AC中点，理由如下：连接BE，TABC是等腰直角三角形,BE=CE，ZPBE=ZC=45,又:ZPEB+ZBEQ=90,ZCEQ+ZBEQ=90,.ZPEB=ZCEQ，在厶PEB和厶QEC中，ZPEB=

14、ZCECBE=(PEB竺QEC(ASA)，.PE=QE.；EP：EQ=EA:EC=1:2；理由如下：作EM丄AB，EN丄BC，.ZEMP=ZENQ=90，又:ZPEN+ZMEP=ZPEN+ZNEQ=90，.ZMEP=ZNEQ,.MEP-NEQ，.EP：EQ=ME:NE,又:ZEMA=ZENC=90，ZA=ZC，.MEA-NEC，.ME:NE=EA:EC，.EP：EQ=EA:EC=1:2.；EP：EQ=1:m；0m2+、(2)解：存在.c：;=2由【探究一】中（2）知当宀时，EP：EQ=EA：EC=1：2；设EQ=x,则EP=x,1111S=.EPEQ=.x：x=兰x2,当EQ丄BC时，EQ与E

15、N重合时，面积取最小，TAC=30，ABC是等腰直角三角形，.AB=BC=15、/.，CT,，AC=30，.AE=10，CE=20，在等腰RtACNE中，.NE=10-J，当x=10J时，S=50（cm2）；min当EQ=EF时，S取得最大，TAC=DE=30，ZDEF=90,ZEDF=30,在RtADEF中，E卜.tan30=，,.EF=30 x=10-比，此时EPQ面积最大，Smax=755）；由（1）知CN=NE=5,BC=15-：,.BN=10/,在RtABNE中，BE=5f，当x=BE=5时，S=62.5cm2,.当50S62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5S75时，

16、这样的三角形有1个.【解析】【解答】（1）作EM丄AB,EN丄BC,TZB=ZPEQ=90，.ZEPB+ZEQB=180，又TZEPB+ZEPM=180,.ZEQB=ZEPM,.MEP-NEQ,.EP：EQ=ME:NE,又:ZEMA=ZENC=90,ZA=ZC,MEA-NEC,ME:NE=EA:EC,.EP:EQ=EA:EC=1:m,EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1:m,.02+-1时，EF与BC不会相交).【分析】【探究一】根据已知条件得E为AC中点，连接BE,根据等腰直角三角形的性质可BE=CE，ZPBE=ZC=45，由同角的余角相等得乙PEB=ZCEQ,由全等三角形的判定ASA

17、可得PEB竺QEC，再由全等三角形的性质得PE=QE.作EM丄AB,EN丄BC,由相似三角形的判定分别证MEP-NEQ，MEA-NEC，再由相似三角形的性质得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，从而求得答案.作EM丄AB,EN丄BC,由相似三角形的判定分别证MEP-NEQ,MEA-NEC，再由相似三角形的性质得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，从而求得答案.1【探究二】设EQ=x,根据【探究一】(2)中的结论可知则EP=-X,根据三角形面积公式得出S的函数关系式，再根据当EQ丄BC时，EQ与EN重合时，面积取最小；当EQ=EF时，S取得最大；代入数值计算即可得出答案.根据(1)中数据求得当E

18、Q与BE重合时，EPQ的面积，再来分情况讨论即可.5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=(x-a)(x-3)的图像与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点D,过其顶点C作直线CP丄x轴，垂足为点P,连接AD、BC.求点A、B、D的坐标；若厶AOD与厶BPC相似，求a的值；点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.【答案】(1)解：Ty=(x-a)(x-3)(0a3)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧).A(a，0)，B(3,0)，当x=0时，y=3a，二D(0,3a).(2)解：TA(a,0)，B(3,0)，D(0,3a).2)J当x=2十S33

19、-aPB=3-PC=.,C(.AO_0L当AOD-BPC时,332解得：a=亠3（舍去）；AO_ObPHCPB,2)J当x=2十S33-aPB=3-PC=.,C(.AO_0L当AOD-BPC时,332解得：a=亠3（舍去）；AO_ObPHCPB,AOD-%3.?2解得：a1=3（舍），a2=综上所述：a的值为（3）解：能；连接BD,取BD中点M,.J.JTD、B、O三点共圆，且BD为直径，圆心为M(若点C也在此圆上，MC=MB,33+/3a丑一$亠3*.-A化简得：a4-14a2+45=0,.(a2-5)(a2-9)=0,.a2=5或a2=9,a】=，a2=-i,a3=3(舍)，a4=-3(舍

20、)，T0a3,a=J，当a=飞厅时，D、0、C、B四点共圆.x轴相交，则y=0，得出Ax轴相交，则y=0，得出A(a，0)，B(3,0)，与y轴相交，则x=0，得出D(0,3a).(2)根据(1(2)根据(1)中A、B、D的坐标，得出抛物线对称轴x=得顶点C(a*)3a)，从而得PB=3-=-,AO=a，OD=3a，代入求、);再分情况PC=1J-?解得：a=讨论：当AOD-BPC解得：a=3(舍去)；TOC o 1-5 h zm3d3_訂3-已；(；-厶AOD-CPB，根据相似三角形性质得，解得：a】=3(舍)，a2=.(3)能；连接BD,取BD中点M,根据已知得D、B、0在以BD为直径，M

21、为圆心(,a)的圆上，若点C也在此圆上，则MC=MB,根据两点间的距离公式得一个关于a的方程，解之即可得出答案.6.如图，在矩形ABCD中，AB=2cm,ZADB=30.P,Q两点分别从A,B同时出发，点P沿折线AB-BC运动，在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2、了cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN丄AD,垂足为点N.连接PQ,以PQ,PN为邻边作qPQMN.设运动的时间为x(s),qPQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y(cm2)(1)当PQ丄AB时，x=求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分

22、时，直接写出x的值.2(2)解：如图1中，当OVxW时，重叠部分是四边形PQMN.y=2xxix=2X22如图中，当VxW1时，重叠部分是四边形PQEN.1：、y=(2-x+2txxx=X2+-x如图3中，当1VxV2时，重叠部分是四边形PNEQ.DEQAB031XJDEQAB03y=(2-x+2)刈x-2(x-1)=-x2-3x+4工(?xW1)-7-,):加+卜、:x2)综上所述，y=(3)解：如图4中，当直线综上所述，y=(3)解：如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件.J解得x=.如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件.A*-此时tanZDEA=tanZQPB,?i：

23、、=：.:-,解得x=,24综上所述，当x=s或时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分【解析】【解答】解：(1)当PQ丄AB时，BQ=2PB,.2x=2(2-2x),x=s.故答案为s.【分析】(1)由题意BQ=2x,PB=2-2x，当PQ丄AB时，根据含30直角三角形的边之间的关系得：BQ=2PB，从而列出方程，求解即可；2如图1中，当0VxW时，重叠部分是四边形PQMN.由题意知：AP=2x，BQ=2x，故平行四边形AP边上的高是，根据平行四边形的面积计算方法得出y与x之间的函数关系式；如图中，当VxW1时，重叠部分的面积等于平行四边形APQM的面积减去AEM的面积，即可得出y与

24、x的函数关系式；如图3中，当1VxV2时，重叠部分是四边形PNEQ.根据相似三角形的性质，分别表示出EQ,ME,NE的长，根据重叠部分等于平行四边形NPQM的面积减去MNE的面积，即可列出y与x之间的函数关系；如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件根据等角的同名三角函数值相等，即tanZEAB=tanZQPB，再根据三角函数的定义即可建立方程，求解得出x的值；如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件.根据等角的同名三角函数值相等，即tanZDEA=tanZQPB，再根据三角函数的定义即可建立方程，求解得出x的值；综上所述即可得出答案。7.已知：如图，在四边形，中，“二:f，丁I

25、I，=6垂直平分点从点出发，沿；方向匀速运动，速度为总山；同时，点，从点出发，沿”方向匀速运动，速度为|1；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点作宀丄：，交卞于点，过点作，分别交，于点，.连接-，设运动时间为壬，解答下列问题：(2)设四边形的面积为-,求与的函数关系式(2)设四边形的面积为-,求与的函数关系式.连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使-?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：在处凶月酰中，:厶仍=90，AB=，BC-?：J:-，:垂直平分线段一，、二厲g-ZBPE=ZBCA=90又ZB=ZBBPE-BACPEBEBF二二ACABBCPEZBPE=ZBC

26、A=90又ZB=ZBBPE-BACPEBEBF二二ACABBCPEBE即当点在二的平分线上时,:二，-，当为4秒时，点在二的平分线上.(2)解：如图，连接,：214二S(05)(3)解：存在.如图，连接.ZQOC=90ZQOC90ZQOGZEOCEC_(%006833-J当为4秒时，点在二的平分线上.(2)解：如图，连接,：214二S(05)(3)解：存在.如图，连接.ZQOC=90ZQOC90ZQOGZEOCEC_(%006833-J整理得：-:.解得或10(舍)【解析】【分析】(1)根据勾股定理求AC，根据证匸上，求出CD、当秒时，宀亠-：.16OD的值，根据ABPE-BAC得到比例式，用

27、含有t的代数式表示出PE、BE，当点E在ZBAC的平分线上时，因为EP丄AB，EC丄AC,可得PE=EC，由此构建方程即可解决问-1、.x.构建函数关EC_GC系式即可.（3）证明/EOC=ZQOG,可得-，推出,由此构建方程即可解决问题CDIIAB交OO于D，DBD与AC相父于点P，过点P作PQIIAB父于Q,CDIIAB交OO于D，DBD与AC相父于点P，过点P作PQIIAB父于Q,设/A的度数为a.（1）如图1,求/COB的度数（用含a的式子表示）；（2）如图2,若/ABC=90时，AB=8，求阴影部分面积（用含a的式子表示）；AB”CD（3）如图1,当PQ=2,求十；的值.【答案】（1

28、）解：TZA的度数为a,二ZCOB=2ZA=2a(2)解：当ZABC=90时，AC为OO的直径，TCDIIAB,ZDCB=180-90=90,BD为OO的直径，.P与圆心O重合，TPQIAB父于Q，OQ丄BC,.CQ=BQ，TAB=8，OQ=.AB=4,设OO的半径为r,OBC的周长为16,CQ=8-r，(8-r)2+42=r2,解得r=5,CB=6,JtfjtXy1JjtaX6X4=阴影部分面积=-:(3)解：TCDIIABIIPQ,BPQ-BDC,CPQ-CAB,PQ_CQPQ-,PQPQCQBQCBJ二羊=j.J厂：厂/.PQ=2,r.7.-.X-=2【解析】【分析】（1）根据圆周角定理

29、可得ZCOB=2ZA=2a；（2）当/ABC=90时，可得点P与圆心O重合，根据OBC的周长为16以及AB=8，可求得OO的半径为5,可得出扇形COB的面积以及OBC的面积，进而得出阴影部分面积；（3）由CDIIABIIPQ,PQCQPQ可得BPQ-BDC，CPQ-CAB，即，.八宀两式子相加可得ABCD朋上即可得出屈上饰的值.二、圆的综合9.已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的OO与AD,BD分别交于点E、点F,且ZABE=ZDBC.（1）判断直线BE与OO的位置关系，并证明你的结论；（2）若sinZABE=,CD=2,求OO的半径.【答案】（1）直线BE与O

30、O相切，证明见解析；（2）OO的半径为【解析】分析：（1）连接0E,根据矩形的性质，可证ZBEO=90，即可得出直线BE与OO相切；（2）连接EF,先根据已知条件得出BD的值，再在BEO中，利用勾股定理推知BE的长，设出OO的半径为r,利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.详解：（1）直线BE与OO相切.理由如下：连接OE,在矩形ABCD中，ADIBC,ZADB=ZDBC.TOD=OE，.ZOED=ZODE.又:ZABE=ADBC,ZABE=ZOED,T矩形ABDC,ZA=90,.ZABE+ZAEB=90,.ZOED+ZAEB=90,.ZBEO=90,.直线BE与OO相切;(2

31、)连接EF,方法1：T四边形ABCD是矩形,CD=2,.ZA=ZC=90,AB=CD=2TZABETZABE=ZDBC,.sinZCBD=sin乙ABE=BD=C=2*3sinZCBD在RtAAEB中，TCD=2,.BC=2、辽.AEAE，:.AE=412,TtanZCBD=tanZABE,DCAE2.=,BCAB2話2由勾股定理求得BE=、拓.在RtABEO中，ZBEO=90,EO2+EB2=OB2./3设OO的半径为r,则r2+(*6)2=(2V3-r)r=方法2：TDF是OO的直径,ZDEF=90.T四边形ABCD是矩形.ZA=ZC=90AB=CD=2tzABE=ZDBC,sinZCBD

32、=sinZABE叵3设DC=x,BD=:3x,则BC=：2xtCD=2,BC=2x2-DCAETtanZCBD=tanZABE,-BC=肓肓_巧.E为AD中点.TDF为直径,TDF为直径,ZFED=90,EFIIAB,1DF=2BD3,OO的半径为害.点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点具有较强的11综合性，有一定的难度10.如图，已知OO的半径为1,PQ是OO的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列,所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，,最后一个厶AnBnCn的顶点Bn、Cn

33、在圆上.如图1,当n=1时，正三角形的边长a1=；如图2,当n=2时，正三角形的边长正三角形的边长an=（用含n的代数式表示）.正三角形的边长an=（用含n的代数式表示）.a2=；如图3,卩04处31+3n2解析】分析：（1）设PQ与BC交于点D,连接BO，得出OD=A1D-OA,用含a的代数式表示OD,在厶OBD中，根据勾股定理求出正三角形的边长；（2）设PQ与BC交于点E,连接B2O,得出OE=AE-OA,用含a2的代数式表示OE,在厶OB2E中，根据勾股定理求出正三角形的边长a；（3）设PQ与BC交于点F,连接BO,得出OF=AF-2nnn1O*，用含an的代数式表示OF,在厶OBF中，

34、根据勾股定理求出正三角形的边长an.1n本题解析：易知A1B1C1的高为2，则边长为/3,二3.（2）设厶A1B1C1的高为力，则A2O=1-h,连结B2O,设B2C2与PQ交于点F,则有OF=2h-1.bb2O2=OF2+B2F2,(1=(2h1)2+a212丿十号丄3。21）2+4叨解得a2=等同，连结Bn0,设BnCn与PQ交于点F,则有BO2=OF2+BF2,(1即1=(nh1)2+a.12n丿h=32a，/3nah=32a，n211函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。（1）如图1,在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6,0）、B（0,2）,点

35、C（x,y）在线段AB上，计算（x+y）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量X、y,若最大值存在，设最大值为m,则有函数关系式y=-x+m，由一次函数的图像可知，当该直线与y轴交点最高时，就是m的最大值，（x+y）的最大值为；（2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题：如图2,以（1）中的AB为斜边在右上方作RtAABM.设点M坐标为（x,丫），求（x+y）的最大值是多少？【答案】（1）6（2）4+2【解析】分析：（1）根据一次函数的性质即可得到结论；（2）根据以AB为斜边在右上方作RtAABC,可知点C在以AB为直径的OD上运动，根据点C坐标为（x,y）,可构造新的函数x+y=m，则函数与

36、y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=-x+m与OD相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为（3+$5,1+），代入直线y=-x+m，可得m=4+25，即可得出x+y的最大值为4+2空5.详解：（1）6；（2）由题可得，点C在以AB为直径的OD上运动，点C坐标为（x,y）,可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=-x+m与OD相切，交x轴与E,如图所示，连接OD,CD.A（6,0）、B（0,2）,D（3,1OD=、；2+32=*10,CD=；10.根据CD丄EF可得，C、D之间水平方向的距离为5，铅垂方向的距离为.C（3+、巧,1+），代入

37、直线y=-x+m,可得：1+、：5=-（3+）+m,解得：m=4+2*5,.x+y的最大值为4+2；5.故答案为：4+2、.：5.点睛：本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的半径进行求解12.如图，已知AB是OO的直径，P是BA延长线上一点，PC切OO于点C,CD丄AB,垂足为D足为D求证：ZPCA=ZABC；过点A作AEIIPC交OO于点E,交CD于点F,交BC于点M,若ZCAB=2ZB,CF=3，求阴影部分的面积.【答案】(1)详见解析；(2)九3.4【解析】【分析】(1)如图，

38、连接OC，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得ZPCA=ZOCB,利用等量代换可得ZPCA=ZABC.(2)先求出OCA是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC和CF=FM,然后分别求出AWAC、然后分别求出AWAC、MO、CD的值，分别求出e、S扇形boeSAABM的值，利用S=SS=S+S-S阴影部分AA0E扇形BOEAABM【详解】然后通过计算即可解答.解：(1)证明：连接OC,如图,PC切OO于点C,OC丄PC,ZPCA+ZACO=90,AB是OO的直径，.ZACB=ZACO+OCB=90.ZPCA=ZOCB,IOC=OB,.ZOBC=ZOCB,.ZPCA=Z

39、ABC；(2)连接OE，如图，TACB中，ZACB=90,ZCAB=2ZB,.ZB=30,ZCAB=60,.OCA是等边三角形，TCD丄AB,.ZACD+ZCAD=ZCAD+ZABC=90,.ZACD=ZB=30,TPCIIAE,.ZPCA=ZCAE=30,.FC=FA,同理，CF=FM,.AM=2CF=23,RtAACM中，易得AC=2爲x=3=OC,2TZB=ZCAE=30,.ZAOC=ZCOE=60,.ZEOB=60,.ZEAB=ZABC=30,.MA=MB,连接OM,EG丄AB交AB于G点，如图所示，TOA=OB,.MO丄AB,.MO=OAxtan30=f3TCDO竺EDO(AAS)，

40、.EG=CD=ACxsin60=33，2S=ABxMO=3p3AABM2同样，易求S_痊,AAOE4S扇形S扇形B0E360S阴影部分二S+S-SS阴影部分二S+S-S=91+匹_3再二6兀3舅AA0E扇形BOEAABM42点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.如图，在RtAABC中，点0在斜边AB上，以0为圆心，OB为半径作圆，分别与AB相交于点D，E,连接AD.已知/CAD=ZB.（1）求证：AD是O0的切线;(2)若(2)若CD=2,AC=4,BD=6,求OO的半径.证明：连接0D证明：连接0D，【答案】（

41、1）详见解析；（2）空52【解析】【分析】解答时先根据角的大小关系得到/1=Z3根据直角三角形中角的大小关系得出OD丄AD,从而证明AD为圆0的切线；（2）根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】（1）TOB=OD,Z3=ZB,IZB=Z1,.Z1=Z3,在Rt3CD中，Z1+Z2=90,Z4=180-(Z2+Z3)=90,.ODAD,则AD为圆O的切线；(2)过点0作OF丄BC,垂足为F,TOF丄BD1.DF=BF=BD=32TAC=4,CD=2,ZACD=90.AD=2、打TZCAD=ZB,ZOFB=ZACD=90.BFO-ACD.BFOB.ACAD3OB即4=帀.ob=2

42、.oo的半径为W2【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系,圆的半径的求解,掌握勾股定理,两三角形相似的判定条件是解题的关键14.如图，PA切OO于点A,射线PC交OO于C、B两点，半径OD丄BC于E,连接BD、DC和OA,DA交BP于点F；1(1)求证：ZADC+ZCBD=-ZAOD；2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中相等的线段【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；【解析】【分析】（【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到BnD=CD，根据等腰三角形的性质得到ZODA=80o-ZAOD)=90。-1ZAOD2（2）根据垂径定理得到BE=

43、CE,BD=CD,即可得到结论；根据等腰三角形的性质得到ZADO=ZOAD，根据切线的性质得到AO=90o，求得ZOAD+ZDAP=90。，推出ZPAF=ZPFA，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.【详解】（1）证明：QOD丄BC，BD=CD，:.ZCBD=ZDCB，QZDFE+ZEDF=90o，:ZEDF=90o-ZDFE，QOD=OA，:ZODA=-(180。-ZAOD)=90。-ZAOD，221:.90。-ZDFE=90。-ZAOD，21：.ZDEF=-ZAOD，2QZDFE=ZADC+ZDCB=ZADC+ZCBD,1:ZADC+ZCBD=ZAOD；2，(2)解:QOD丄BC，:BE

44、=CE，BnD=CnD:BD=CD，QOA=OD，:ZADO=ZOAD，QPA切eO于点a，/.ZPAO二90。,/.ZOAD+ZDAP=90o,QZPFA=ZDFE,/.ZPFA+ZADO=90o,/ZPAF=ZPFA,/PA=PF【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键15.如图，已知AB是OO的直径，BC是弦，弦BD平分/ABC交AC于F,弦DEAB于H,父AC于G.求证：AG=GD；当/ABC满足什么条件时，DFG是等边三角形?3若AB=10，sinZABD=5，求BC的长.【答案】(1)证明见解析；(2)当ZABC=60。时，DFG