中考数学 直角三角形的边角关系 培优 易错 难题练习(含答案)

1、中考数学直角三角形的边角关系培优易错难题练习（含答案）一、直角三角形的边角关系1图1是一种折叠式晾衣架晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角/COD=60,晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且H0=F0=4分米.当/AOC=90时，点A离地面的距离AM为分米；当OB从水平状态旋转到OB，（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB上的点E处，则BE-BE为分米.AH比AH比图2找平地面【答案】55爲4【解析】【分析】如图，作0P丄CD于P,0Q丄AM于Q,FK丄0B于K,FJ丄0C于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出A

2、M,再分别求出BE,BE即可.【详解】解：如图，作OP丄CD于P,OQ丄AM于Q,FK丄OB于K,FJ丄OC于J.TAM丄CD,ZQMP=ZMPO=ZOQM=90,四边形OQMP是矩形，QM=OP,OC=OD=10,ZCOD=60,.COD是等边三角形,OP丄CD,1ZCOP=ZCOD=30,2QM=OP=OCcos30=5J3（分米），ZAOC=ZQOP=90,ZAOQ=ZCOP=30,1AQ=-OA=5（分米），厶AM=AQ+MQ=5+5启.OBIICD,ZBOD=ZODC=60在RtAOFK中，KO=OFcos60=2（分米），FK=OFsin60=2J3（分米）,在RtAPKE中，EK

3、=fEF2_FK2=26（分米），BE=10-2-2；6=（8-2冷6）（分米），在RtAOFJ中，OJ=OFcos60=2（分米），FJ=2（分米），在RtAFJE中，EJ=62（2J3）2=2J6,.BE=10-（2.；6-2）=12-2*6，BE-BE=4.故答案为：5+5，4.fIfI?jMU图？D水平地面【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.(1)求乩E之间的距离2.如图，某无人机于空中A处探测到目标B、D的俯角分别是30。、60。，此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行30运m到达A处.

4、(1)求乩E之间的距离答案】(1答案】(1)120米；(2)连(2)求从无人机A上看目标D的俯角的正切值.【解析】【分析】解直角三角形即可得到结论；过A作AE丄BC交BC的延长线于E,连接AD，于是得到AE=AC=60，CE=AA=30J3，在RtAABC中，求得DC=AC=2O；3，然后根据三角函数的定义即可得到结论【详解】解：(1)由题意得：ZABD=30,ZADC=60,在RtAABC中，AC=60m,60.ACT/AB=1=120(m)sin30。2(2)过A作AE丄BC交BC的延长线于E,连接AD,则AE=AC=60，CE=AA=30，在RtAABC中，AC=60m，ZADC=60，

5、DC=AC=2033.DE=50p3AE602片.tanZAAD=tanZADC=3DE50羽5答：从无人机A上看目标D的俯角的正切值是|3.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.3.在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点0,点P在线段BC上（不含点B），1ZBPE=2ZACB，PE交BO于点E,过点B作BF丄PE,垂足为F,交AC于点G.（1）当点P与点C重合时（如图1）.求证：BOG竺POE；BF（2）通过观察、测量、猜想：帛=，并结合图2证明你的猜想；PEBF（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3）,若ZACB=a，求的PE值.（用

6、含a的式子表示）ADADAD图1图2图3答案】（1）证明见解析（2）BF1PE23）BF1二一tanaPE2【解析】解：（1）证明：T四边形ABCD是正方形，P与C重合,OB=OP,ZBOC=ZBOG=90.TPF丄BG,ZPFB=90,.ZGBO=90ZBGO,ZEPO=90-ZBGO.ZGBO=ZEPO.BOG竺POE(AAS).2)BF1PE2证明如下：如图，过2)BF1PE2证明如下：如图，过P作PM/AC交BG于M,交BO于N,.ZPNE=ZBOC=900,ZBPN=ZOCBTZOBC=ZOCB=450,.ZNBP=ZNPB.NB=NPTZMBN=900-ZBMN,ZNPE=900-

7、ZBMN,.ZMBN=ZNPE.BMN竺PEN(ASA).BM=PE./ZBPE=1ZACB,ZBPN=ZACB,.ZBPF=ZMPF.2TPF丄BM,.ZBFP=ZMFP=900又TPF=PF,1.BPF竺MPF(ASA).BF=MF，即BF=BM.bf=1pe,2BF1即一.PE2（3）如图，过P作PM/AC交BG于点M,交BO于点N,1由(2)同理可得BF=BM,ZMBN=ZEPN.2TZBNM=ZPNE=9Oo,BMN-PEN.BMBNP-PN.BNBM2BF在RtABNP中，tana=,.=tana，即=tana.PNPEPEBF1.=tana.PE2由正方形的性质可由AAS证得BO

8、G竺POE.过P作PM/AC交BG于M,交BO于N,通过ASA证明BMNPEN得到BF1BM=PE，通过ASA证明BPFMPF得到BF=MF,即可得出命二二的结论.PE21（3）过P作PM/AC交BG于点M,交BO于点N,同（2）证得BF=-BM,ZMBN=ZEPN,从而可证得BMNPEN,由=和BNP中tana=即PEPNPN可求得BF1可求得=tanaPE2其公共边构造关系式求解4.如图，平台4.如图，平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45,底部点C的俯角为30,求楼房CD的高度（J3=1.7）.【答案】324米【解析】试题分析：首先分析图形,根据题意构造直角三角形本题

9、涉及多个直角三角形,应利用试题解析：如图，过点B作BE丄CD于点E,根据题意，ZDBE=45,ZCBE=30.TAB丄AC,CD丄AC,四边形ABEC为矩形，CE=AB=12m,BE在RtACBE中，cotZCBE=CEBE=CEcot30=12xJ3=12J3，在RtABDE中，由ZDBE=45,得DE=BE=12p3.CD=CE+DE=12（帯3+1）与2.4.答：楼房CD的高度约为32.4m.AC考点：解直角三角形的应用仰角俯角问题5.如图，AB是OO的直径，弦CD丄AB于H,过CD延长线上一点E作OO的切线交AB的延长线于切点为G,连接AG交CD于K.（1）求证：KE=GE；（2）若K

10、G2=KDGE,试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；3【答案】（1）证明见解析；（2）ACIIEF,证明见解析；（3）FG=解析】试题分析：（1）如图1,连接OG.根据切线性质及CD丄AB，可以推出ZKGE=ZAKH=ZGKE，根据等角对等边得到KE=GE；（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD,由ZKGE=ZGKE，及KG2=KDGE,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出GKD与氐EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到ZC=ZAGD，可推知ZE=ZC,从而得到ACIIEF；（3）如图3所示，连接OG,OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定

11、理可以求解；然后在RtAOGF中，解直角三角形即可求得FG的长度.试题解析：（1）如图1,连接OG.TEG为切线，ZKGE+ZOGA=90,TCD丄AB,.ZAKH+ZOAG=90，又TOA=OG,.ZOGA=ZOAG，.ZKGE=ZAKH=ZGKE，.KE=GE.(2)ACIIEF,理由为连接GD,如图2所示.KGGETKG2=KDGE,即WKGKD又TZKGE=ZGKE,GKD-EGK,.ZE=ZAGD，又TZC=ZAGD,.ZE=ZC,ACIIEF；（3）连接（3）连接OG,OC,如图3所示,TEG为切线,.ZKGE+ZOGA=90,TCD丄AB,.ZAKH+ZOAG=90,又TOA=O

12、G,.ZOGA=ZOAG,.ZKGE=ZAKH=ZGKE,.KE=GETsinE=sinZACH=1，设AH=3t，则AC=5t,CH=4t,TKE=GE,ACIEF,.CK=AC=5t,.HK=CK-CH=t在RtAAHK中，根据勾股定理得AH2+H3AK2,即（3t）2+t2=（2）2,解得t=：.设OO半径为r,在RtAOCH中，OC=r,OH=r-3t,CH=4t,由勾股定理得：OH2+CH2=OC2,252577Try即(r-3t)2+(4t)2=r2，解得r=t=TEF为切线，.OGF为直角三角形，25在RtAOGF中，OG=r=25OGE25tAnZOFGCU4AW-3tanZO

13、FG=tanZCAH=,FG=点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键6.如图，在OO的内接三角形ABC中，ZACB=90,AC=2BC,过C作AB的垂线丨交O0于另一点D,垂足为E.设P是*上异于A,C的一个动点，射线AP交丨于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.求证：PAC-PDF；rdi.d若AB=5,，求PD的长;AGtanZAFD=y,求y与tanZAFD=y,求y与x之间的函数关系式.（不要求写出解析】=x.试题分析：（1）应用圆周角定理证明ZAPD

14、=ZFPC，得到ZAPC=ZFPD,又由ZPAC=ZPDC,即可证明结论.（2）由AC=2BC,设，应用勾股定理即可求得BC,AC的长，则由AC=2BC得-J-由厶ACE-ABC可求得AE,CE的长，由田啓可知APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4,从而求得DF的长，PAAC由（1）PAC-PDF得*；,即可求得PD的长.AD2（3）连接BP,BD,AD,根据圆的对称性，可得川，由角的转换可得APAGAPDGADtanABPy，由AGP-DGB可得M卩，由厶AGD-PGB可得两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O,得ZFPC=ZB

15、,又：ZB=ZACE=90ZBCE,ZACE=ZAPD,:.ZAPD=ZFPC.Zapd+zdpc=zfpc+zdpc，即zapc=zfpd.又:ZPAC=ZPDC,PAC-PDF.(2)连接BP,设门l，,VZACB=90,AB=5,+(2压)2_5?-口、EC_i5沖匚2冷AECEACME2:ACE-ABC,.小-,即I.：.AB丄CD,；I如图，连接BP，MIvi一心，.APB是等腰直角三角形.二ZPAB=45,PAAC23x/TV.AEF是等腰直角三角形.EF=AE=4.PAAC23x/TV由(1)PAC-PDF得，即.PD的长为.(3)如图，连接BP，BD，AD，TAC=2BC,.根

16、据圆的对称性，得AD=2DB,即：打TAB丄CD,BP丄AE,.ZABP=ZAFD.AGAPTAGPAGAPTAGP-DGB,DGADDGADAGD-PGB,-.4GDGAPADAfiAPAD*=j_=:宀即三c?AG讥：-，与I与I之间的函数关系式为考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.7.如图，在ABC中，ZABC=90,以AB的中点0为圆心，OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点，连接DE,0E.判断DE与O0的位置关系，并说明理由；求证：BC2=

17、2CDOE；14若cosZBAD5,BE=，求0E的长.35【答案】(1)DE为O0的切线，理由见解析；(2)证明见解析；(3)0E=.6【解析】试题分析：(1)连接OD,BD,由直径所对的圆周角是直角得到ZADB为直角，可得出BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得ZC=ZCDE，再由OA=OD,得ZA=ZADO,由RtAABC中两锐角互余，从而可得ZADO与ZCDE互余，可得出ZODE为直角，即DE垂直于半径0D,可得出DE为OO的切线；由已知可得OE是厶ABC的中位线，从而有AC=2OE,再由ZC=ZC,ZABC=ZBDC,可

18、得ABC-BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；在直角ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得试题解析：（1）DE为OO的切线，理由如下:连接OD，BD，ABKCABKCAB为OOAB为OO的直径,ZADB=90,在RtABDC中，E为斜边BC的中点,CE=DE=BE=；BC，.ZC=ZCDE，TOA=OD，.ZA=ZADO，TZABC=90，.ZC+ZA=90，.ZADO+ZCDE=90，.ZODE=90，.DE丄OD，又OD为圆的半径，DE为OO的切线；(2)TE是BC的中点，O点是AB的中点,OE是厶ABC的中位线，.AC=2OE，TZC=ZC

19、，ZABC=ZBDC，ABC-BDC，BCACCDCBCACCDC即BC2=ACCD.BC2=2CDOE；(3)解：TcosZBAD=y141428又TBE，E是BC的中点，即BC=,又T又TAC=2OE，33考点：1考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数8某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）.已知点P在点A的北偏东45方向上，且在点B的北偏西60方向上，点B在点A的北偏东75方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：=1.7,f2=1.4）.【答案】车辆通过AB段的时间在8.1

20、秒以内，可认定为超速解析】分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.详解：如图，由题意知/CAB=75详解：如图，由题意知/CAB=75,ZCAP=45,ZPBD=60,ZPAH=ZCAB-ZCAP=30,50TZPHA=ZPHB=90,PHTZPHA=ZPHB=90,PH=50,.AH=50：3,tanZPAH3TACIIBD,ZABD=180-ZCAB=105,.ZPBH=ZABD-ZPBD=45,则PH=BH=50,AB=AH+BH=50、：3+50,5050忑+50T60千米/时=乙-米/秒，时间t=50=3+3-2x2+bx+c的x

21、的取值范围；设点D为该抛物线上的一点、连结AD,若/DAC=ACBO,求点D的坐标.13【答案】y二2x2-2x+2；(2)当x0或x0或x-x2+bx+c22如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E,13由y二2x2-2x+2令y=0，解得：x1=1,x2=-4,二C0=1,A0=4,13设点D的坐标为(m,2m2-m+2),：ZDAC=ACBO,tanZDAC=tanZCBO,DECO.在RtAADE和RtABOC中有=AEBO当D当D在x轴上方时,1一一m22解得：m1=0,m2=-4（不合题意，舍去），.点D的坐标为（0,2）当D当D在x轴下方时,+2)解得：m1=2,m2=-4（不合题

22、意,舍去）.点D的坐标为（2,-3）,故满足条件的D故满足条件的D点坐标为（0,2）或（2,-3）【点睛】本题是二次函数综合题型,主要考查了一次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题,分类讨论是第（3）题的难点10兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩,南至七里河马滩,是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31,拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高.（结果精确到0.1米，参考数据：sin31=0.52,cos31=0.86,tan31=0.

23、60）【答案】主塔BD的高约为86.9米.【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.【详解】在RtAABC中，ZACB=90,BCSinA=AB二BC二ABxsinA二152xsin31152x0.52二79.04.BD=BC+CD=79.04+7.9=86.94二86.9(米)答：主塔BD的高约为86.9米.【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.11如图，ABC中，AC=BC=10,cosC=5，点P是AC边上一动点(不与点A、C重合)，以PA长为半径的OP与边AB的另一个交点为D,过点D作DE丄CB于点E.当O

24、P与边BC相切时，求OP的半径.连接BP交DE于点F,设AP的长为x,PF的长为y,求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围.在(2)的条件下，当以PE长为直径的OQ与OP相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长.33BBDCC4P备用图BBDCC4P备用图【答案】(1)R二;(2)y二xx2-8x+80；(3)50-15.93x+20解析】分析】3(1)设OP与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP丄BC,cosC=5，则HPR4sinC=,sinC=匸，即可求解；CP10-R52EBBF4xrl7首先证明PDIIBE,贝9二，即：5-x28x+80y，即可求解;P

25、DPFxy证明四边形PDBE为平行四边形，则AG=EP=BD,即：AB=DB+AD=AG+AD=4蘑，即可求解.详解】(1)设OP与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,BB34连接HP,贝9HP丄BC,cosC=5，则sinC=5,HPsinC=CPRHPsinC=CPR10R440=5，解得：R=-；(2)在厶ABC中,AC=BC=10,设AP=PD=x,ZA=ZABC=B，过点B作BH丄AC,贝9BH=ACsinC=8,同理可得：CH=6,HA贝9BH=ACsinC=8,同理可得：CH=6,HA=4,AB=4、.：5，贝V：tanZCAB=2,则bd=%5-竽x,PA=PD,ZPAD=ZCAB=ZCBA=B，BP=p82+(x-4)2=x2一8x+80，2后DA=x,5如下图所示tanB=2,则cosB=5,sinp=,(4乎x)EB=BDcosB=PDIIBE,EB_BFPDPF即：:x2-8x+80-y,整理得：3X5.:时，点的纵坐标为-3，39把