《双曲线的几何性质》教案(公开课)

1、第第 页共8页双曲线的几何性质教案一、教学目标（一）知识教学点使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征（二）能力训练点在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力（三）学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题二、教材分析1重点：双曲线的几何性质及初步运用（解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明）2难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证（解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a

2、、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线）3疑点：双曲线的渐近线的证明（解决办法：通过详细讲解）三、活动设计提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结四、教学过程（一）复习提问引入新课1椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？请一同学回答应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的2.双曲线的两种标准方程是什么？再请一同学回答.应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标准方程为黑马=1中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为a22y3L-12-13-L下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质.（二）类比联想得出性质（性质13）引导学生完成下列关于椭圆与

3、双曲线性质的表格（让学生回答，教师引导、启发、订正并板书）.见下页（三）问题之中导出渐近线（性质4）在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形（板书图形），那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图（图2-26）有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想.接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？下面，我们来证明它:捕圆双曲线方程221y+=l(ab0)力,口ab22xy=l(a0,b)2v2ab&FMrC关系d=$上%abo)1t值0,130)图形F、FipFT/aKJ7

4、范围国球且jlyl爰bIM导aj/sR对称性对称轴；工轴y轴对称中心:原点对称轴；工轴y轴对称中心:原点顶点(-50)jj0)(0J上)J(b)长轴为左短轴为比(-aj0)(ij0)实轴为2a虚轴为北双曲线在第一象限的部分可写成:4口-整）（K+一屋）X十J黑口一/abx+Vx2-a2当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON.在其他象限内也可以证明类似的情况.现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得

5、到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线.（四）顺其自然介绍离心率（性质5）由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：渐近线y=区的斜率绝对值越大.这时双曲线的形状就从扁族逐渐a变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变.(五)练习与例题.求双曲线9y2-16x2=144的

6、实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正.由此可知，实半轴长a=4,虚半轴长b=3.焦点坐标是(0,-5),(0,5).本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结.解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合:M呼与da由此得依一*十匚，,1aa化简得：（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）.这就是双曲线的标准方程.由此例不难归纳出双曲线的第二定义.（六）双曲线的第二定义.定义（由学生归纳给出）平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.说明（七）小结（由学生课后完成）将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结.五、布置作业.已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率和渐近线方程.（1）16x2-9y2=144；（2）16x2-9y2=-144.求双曲线的标准方程：实轴的长是10,虚轴长是8,焦点在X轴上；焦距是10,虚轴长是8,焦点在y轴上；离心率”也经过点3)；29(4)两条渐近线的方程是了=土耳笈，经过点凶份，-1).曲线的方程.点