通信原理第9章-数字信号最佳接收课件

1、第9章数字信号的最佳接收9.1 引言 9.2 匹配滤波器 9.3 用匹配滤波器构成的最佳接收机 9.4 最佳接收机与实际接收机误码性能比较 本章小结 习题 第9章数字信号的最佳接收9.1 引言 9.1 引 言数字通信系统的任务是传输数字信息。发端将数字信息变换成适合信道传输的信号，接收端根据收到的信号判决出原数字信息。由于噪声、干扰的存在，接收机在判决时会发生错误，产生误码。不同的接收方法有不同的误码性能(如2ASK相干解调的误码率就不同于包络解调的误码率)。能使误码率最小的接收方式称为最佳接收，相应的接收机称为最佳接收机。“最佳”是个相对概念，不同条件、不同要求下的最佳接收机是不同的。如白噪

2、声信道的最佳接收机在瑞利衰落信道中就不是最佳的。本章讨论高斯白噪声信道中二元数字信号的最佳接收机结构及其性能。9.1 引 言 从第7、8章的讨论可以看出，一个数字通信系统的接收设备可以视作一个判决装置，它由一个线性滤波器和一个判决电路构成，如图9.1.1所示。线性滤波器对接收信号进行某种处理，输出某个物理量提供给判决电路，以便判决电路对接收信号中所包含的某个发送信号作出尽可能正确的判决，或者说作出错误判决的可能性尽量小，那么为了使判决电路能达到这种要求，线性滤波器应当对接收信号作什么样的处理呢？理论和实践都已证明：在白噪声干扰下，如果线性滤波器的输出端在某一时刻上使信号的瞬时功率与白噪声平均功

3、率之比达到最大，就可以使判决电路出现错误判决的概率最小。这样的线性滤波器称为匹配滤波器。所以，匹配滤波器是最大输出信噪比意义下的最佳线性滤波器。用匹配滤波器构成的接收机是满足最大输出信噪比准则的最佳接收机，也称为匹配滤波器接收机。在白噪声条件下，这样的接收机能得到最小的误码率。本章将围绕数字信号的最佳接收展开讨论，主要内容有最佳接收机结构及其抗噪声性能。 从第7、8章的讨论可以看出，一个数字通信系统的接图9.1.1 简化的接收机结构图9.1.1 简化的接收机结构9.2 匹配滤波器9.2.1 匹配滤波器的传输特性H(f)匹配滤波器如图9.2.1所示，现在来推导匹配滤波器的传输特性H(f)。9.2

4、 匹配滤波器图9.2.1 匹配滤波器示意图图9.2.1 匹配滤波器示意图设匹配滤波器的输入信号为x(t)，x(t)是由接收信号s(t)和噪声n(t)两部分构成，即x(t)=s(t)+n(t)其中，n(t)是白噪声，其双边功率谱密度为Pn(f)=no/2，而信号s(t)的频谱函数为S(f)。设匹配滤波器的输入信号为x(t)，x(t)是由接收信号s根据线性叠加原理，匹配滤波器的输出y(t)也由信号so(t)和噪声no(t)两部分构成，即y(t)=so(t)+no(t)设so(t)的频谱为So(f)，根据信号与系统理论得So(f)=S(f)H(f)求So(f)的傅氏反变换，可得到输出信号so(t)为

5、 (9-2-1)输出噪声no(t)的功率谱密度为根据线性叠加原理，匹配滤波器的输出y(t)也由信号so(由于匹配滤波器是在某个瞬间t0输出信噪比最大的滤波器，所以首先要找到t0时刻滤波器输出信噪比的表示式。由于匹配滤波器是在某个瞬间t0输出信噪比最大的滤波器，所根据式(9-2-1)，t0时刻的输出信号值为则在t0时刻输出信号的瞬时功率为(9-2-2)而输出噪声的平均功率为(9-2-3)根据式(9-2-1)，t0时刻的输出信号值为那么，根据式(9-2-2)、(9-2-3)得到在时刻t0上匹配滤波器输出信号瞬时功率与噪声平均功率的比值为(9-2-4)由式(9-2-4)可看出，输出信噪比ro与滤波器

6、的传输特性H(f )密切相关。因此，肯定存在一个最佳的H(f )，使ro取得最大值。这个使ro取得最大值的传输特性H(f )，就是匹配滤波器的传输特性。为求出式(9-2-4)的最大值，需要使用许瓦兹不等式，即(9-2-5)那么，根据式(9-2-2)、(9-2-3)得到在时刻t0上匹只有当A(f )和B*(f )成正比时，即A(f )=kB*(f )时，式(9-2-5)中等号成立， 达到最大， 为将许瓦兹不等式运用到式(9-2-4)，令只有当A(f )和B*(f )成正比时，即A(f )=kB*可得可得式中，E为信号的能量，且 。根据许瓦兹不等式等号成立的条件可知，瞬时信噪比ro达最大值 (9-

7、2-6)的条件是 (9-2-7)式(9-2-7)就是所要求的匹配滤波器的传输特性。由式(9-2-7)可知，输出信噪比最大的滤波器的传输特性与信号频谱的复共轭成正比，故称这种滤波器为匹配滤波器。式中，E为信号的能量，且 由式(9-2-7)可以定性解释匹配滤波器为什么能提高输出信噪比。首先从幅度特性上来看，匹配滤波器的幅度特性与信号的振幅特性相同，因此信号中频谱幅度大的频率成分，匹配滤波器对其衰减小，而信号中频谱幅度小的频率成分，匹配滤波器对其衰减大，这样信号经匹配滤波器后损失较小。但对白噪声来说，不但带外噪声全部被匹配滤波器抑制，更主要的是带内噪声在信号频谱幅度较小的频段内也受到匹配滤波器较大的

8、抑制。再从匹配滤波器的相位特性上来看，由于匹配滤波器的相位特性与信号相位特性相反，使原来信号中相位不同的各频率成分经匹配滤波器后都变为同相相加。因此，经匹配滤波器后，使输出信号达到最大，而噪声却尽可能多地被抑制掉，使输出信噪比达最大。由式(9-2-7)可以定性解释匹配滤波器为什么能提高输出9.2.2 匹配滤波器的冲激响应h(t)根据传输特性H(f )与冲激响应h(t)是一对傅氏变换，由式(9-2-7)可得匹配滤波器的冲激响应h(t)为当输入信号s(t)为实信号时，有S*(f )=S(-f )。因此 (9-2-8)由式(9-2-8)可知，匹配滤波器的冲激响应h(t)是输入信号s(t)对纵轴的镜像

9、s(-t)在时间上延迟了t0。图9.2.2中，(a)和(b)分别为s(t)和它的镜像s(-t)，(c)、(d)、(e)是t0取不同值时的h(t)。9.2.2 匹配滤波器的冲激响应h(t)图9.2.2 匹配滤波器的冲激响应图9.2.2 匹配滤波器的冲激响应由于t0是取样时刻，所以从提高传输速率考虑，t0应尽可能小。但是h(t)是匹配滤波器的冲激响应，从物理可实现性考虑，当t0时，应有h(t)=0。因此t0t2时的匹配滤波器是物理不可实现的，必须要求t0t2，如图9.2.2(d)、(e)所示。综合上述两个方面考虑，应取t0=t2。t2是信号s(t)的结束时间，也就是说在输入信号刚刚结束时立即取样，

10、这样对接收信号能及时地作出判决，同时它对应的h(t)是物理可实现的。若取样时间先于信号结束时间，即t0t2，显然是不正确的，因为输入信号还未结束，怎么可能获取输入信号的全部能量而使输出信噪比最大呢？由于t0是取样时刻，所以从提高传输速率考虑，t0应尽可能9.2.3 匹配滤波器的输出波形so(t)匹配滤波器的输入信号为s(t)，冲激响应为h(t)=s(t0-t)，匹配滤波器的输出等于输入信号与冲激响应的卷积，即9.2.3 匹配滤波器的输出波形so(t)上式中，Rs(t0-t)是s(t)的自相关函数，根据自相关函数是偶函数的特性，即有so(t)=kRs(t-t0)(9-2-9)式(9-2-9)说明

11、匹配滤波器的输出信号在形式上与输入信号的时间自相关函数相同，仅差一个常数因子k，以及在时间上延迟t0。从这个意义上来说，匹配滤波器可以看成一个计算输入信号自相关函数的相关器。上式中，Rs(t0-t)是s(t)的自相关函数，根据自相关函 我们知道，自相关函数Rs(t-t0)的最大值是Rs(0)。从式(9-2-9)可得，匹配滤波器的输出信号so(t)在t=t0时达到最大值，为这个结果再次说明，在t0时刻之前，匹配滤波器对输入信号进行处理，从而在t0时刻形成输出信号的峰值。例9.2.1 已知信号s(t)如图9.2.3中(a)所示，求与之匹配的滤波器的传输特性和输出信号波形。 我们知道，自相关函数Rs

12、(t-t0)的最大值是Rs(0)。图9.2.3 信号波形图9.2.3 信号波形解 根据式(9-2-8)，与s(t)匹配的匹配滤波器的冲激响应h(t)为h(t)=ks(t0-t)式中，t0取信号的结束时刻值0，所以h(t)的波形如图9.2.3(b)所示。匹配滤波器的传输特性H(f )是冲激响应h(t)的傅氏变换，所以解 根据式(9-2-8)，与s(t)匹配的匹配滤波器的 求传输特性H(f )的另一方法是先求出信号s(t)的频谱函数S(f )再根据式(9-2-7)得由式(9-2-9)可知，匹配滤波器的输出信号 求传输特性H(f )的另一方法是先求出信号s(t)的频信号s(t)的自相关函数Rs(t)

13、为所以匹配滤波器输出波形so(t)的波形图如图9.2.3(d)所示。信号s(t)的自相关函数Rs(t)为9.2.4 匹配滤波器小结我们已详细讨论了匹配滤波器的传输特性、冲激响应、输出波形及最大输出信噪比。现将上述几个方面的内容小结如下：(1) 匹配滤波器的传输特性因此，信号不同，对应的匹配滤波器也不同。也就是说，对某个信号匹配的滤波器，对其它信号就不是匹配滤波器了。(2) 匹配滤波器传输特性与信号频谱有关，而信号频谱的幅频特性通常不为常数，也就是说匹配滤波器的幅度特性通常是不理想的，所以信号通过匹配滤波器会产生严重的波形失真。9.2.4 匹配滤波器小结(3) 匹配滤波器只能用于接收数字信号。对

14、数字信号的传输而言，我们关心的是取样判决是否正确，不大关心波形是否失真，而匹配滤波器输出能获取最大信噪比，它有利于取样判决，减小误码率，所以匹配滤波器适合于接收数字信号。因为匹配滤波器会使传输波形产生严重的失真，所以它不能用于模拟信号的接收。(3) 匹配滤波器只能用于接收数字信号。对数字信号的传输(4) 匹配滤波器输出端的最大瞬时信噪比 ，说明最大输出信噪比仅与信号的能量及白噪声的功率谱密度有关，与信号的波形无关。但相同能量不同波形的信号，其匹配滤波器的传输特性是不同的。例如，有能量等于E的两个信号s1(t)、 s2(t)，频谱分别为S1(f )和S2(f )，则与两个信号匹配的匹配滤波器的传

15、输特性分别为假设噪声相同，则这两个滤波器输出最大信噪比相同，为 。(4) 匹配滤波器输出端的最大瞬时信噪比 (5) 为方便查阅，我们将匹配滤波器的有关公式列于表9-2-1。(5) 为方便查阅，我们将匹配滤波器的有关公式列于表9.3 用匹配滤波器构成的最佳接收机9.3.1 最佳接收机结构二元数字信号的最佳接收机框图如图9.3.1所示。图9.3.1 用匹配滤波器实现的最佳接收机结构9.3 用匹配滤波器构成的最佳接收机图9.3.1 用匹配发送端在任意一个码元间隔Ts内发送两个波形s1(t)、 s2(t)中的一个，接收机上、下两个支路的匹配滤波器分别对这两个波形匹配，所以当发送端发送波形s1(t)时，

16、上支路匹配滤波器在取样时刻t0输出最大值kE，当发送端发送波形s2(t)时，下支路匹配滤波器在取样时刻输出最大值kE，而与接收信号不匹配的滤波器在取样时刻输出的值小于kE。所以判决器的任务是根据上、下两支路取样值的大小进行判决，如上支路取样值大，认为接收到的信号为s1(t)； 如下支路取样值大，认为接收到的信号为s2(t)。发送端在任意一个码元间隔Ts内发送两个波形s1(t)、 由前面的分析我们知道，当接收信号为s1(t)时，上支路匹配滤波器的输出为so1(t)=kRs1(t-Ts)在Ts时对输出进行取样，取样值达最大，为(9-3-1)当接收信号为s2(t)时，下支路匹配滤波器的输出为so2(

17、t)=kRs2(t-Ts)由前面的分析我们知道，当接收信号为s1(t)时，上支路匹在Ts时对输出进行取样，取样值达最大，为 (9-3-2)由式(9-3-1)、(9-3-2)可知，匹配滤波器在取样时刻的输出值so1(Ts)及so2(Ts)可以用相乘与积分这样的相关运算来求得，所以图9.3.1所示的匹配滤波器式最佳接收机可用相关器来实现，框图如图9.3.2所示。在Ts时对输出进行取样，取样值达最大，为图9.3.2 用相关器实现的最佳接收机结构图9.3.2 用相关器实现的最佳接收机结构多元数字信号的最佳接收机框图是二元数字信号最佳接收机框图的推广。如图9.3.3所示。接收机在任一码元间隔内收到s1(

18、t)，s2(t)，sm(t)中的一个波形，设为si(t)，则si(t)分别与s1(t)，s2(t)，sm(t)相乘并积分，比较这m个积分值，不考虑噪声及其它干扰时，则第i支路的积分值是最大的，接收机判接收信号是si(t)。多元数字信号的最佳接收机框图是二元数字信号最佳接收机框图图9.3.3 用相关器实现的多元信号最佳接收机结构图9.3.3 用相关器实现的多元信号最佳接收机结构9.3.2 二元数字信号最佳接收机的误码率由于噪声的影响，最佳接收机在判决时也会发生错判，如发端发送s1(t)信号，接收机却判决为s2(t)信号，反之亦然。接收机发生错判的可能性大小用误码率来衡量。最佳接收机误码率的分析方

19、法与前面介绍过的各种解调器的误码率分析方法完全相同。以图9.3.2所示的二元数字信号最佳接收机为例，来推导二元数字信号s1(t)及s2(t)等概且等能量时的接收机误码率。9.3.2 二元数字信号最佳接收机的误码率由前面的学习我们知道，图9.3.2中判决器的任务就是比较上、下两支路积分值的大小并作出判决。判决规则如下：(1) 如果上支路积分值大，判为s1(t)。(2) 如果下支路的积分值大，判为s2(t)。由于噪声的影响，判决器会发生错误判决，有两种错判情况：(1) 当发送端发送s1(t)，判决器判为s2(t)，此误码率记为P(s2/s1)。(2) 当发送端发送s2(t)，判决器判为s1(t)，

20、此误码率记为P(s1/s2)。根据全概公式，最佳接收机的平均误码率为由前面的学习我们知道，图9.3.2中判决器的任务就是比较下面我们首先求发s1(t)错判成s2(t)的概率P(s2/s1)。当发s1(t)时，接收机输入信号为x(t)=s1(t)+n(t)，上支路送给判决器的积分值为，下支路送给判决器的积分值为，令判决量V为上支路积分值减去下支路的积分值，即 (9-3-4)当V0时，判决器判为s2(t)，发生错判。所以V0的概率就是发s1(t)错判成s2(t)的概率P(s2/s1)。由式(9-3-4)可见，V是一个随机量，要想求V0的概率，就得求出V的概率密度函数。求V的概率密度函数可从以下三个

21、方面考虑：下面我们首先求发s1(t)错判成s2(t)的概率P(s2(1) V是一个高斯随机变量。这是因为式(9-3-4)中的噪声n(t)是零均值方差为的高斯噪声，而V仅是n(t)的积分运算，因为积分可看成连续求和，所以V仍是高斯分布。因此，要求V的一维概率密度，则只要求出它的数学期望和方差即可。(1) V是一个高斯随机变量。这是因为式(9-3-4)中(2) V的均值a为上式中，En(t)=0， 是信号s1(t)的能量，(2) V的均值a为(3) V的方差2为(推导过程略)所以，高斯随机变量V的概率密度函数为(3) V的方差2为(推导过程略)根据概率论的知识可知，V0的概率为 (9-3-5)以同

22、样的方法可求出发s2(t)错判成s1(t)的概率P(s1/s2)。根据概率论的知识可知，V0的概率为当发s2(t)时，接收机输入信号为x(t)=s2(t)+n(t)，上支路送给判决器的积分值为 ，下支路送给判决器的积分值为 ，令判决量V为下支路积分值减去上支路的积分值，即 (9-3-6)当V0时，判决器判为s1(t)，发生错判。所以V0的概率就是发s2(t)错判成s1(t)的概率P(s1/s2)。由式(9-3-6)可见，V是一个随机量，要想求V0的概率，就得求出V的概率密度函数。求V的概率密度函数也从下面三个方面考虑：(1) V是一个高斯随机变量。(2) V的均值a=EV=Es(1-)。当发s

23、2(t)时，接收机输入信号为x(t)=s2(t)+(3) V的方差2为(推导过程略)所以，高斯随机变量V的概率密度函数为根据概率论的知识可知，V0的概率为(9-3-7)(3) V的方差2为(推导过程略)由式(9-3-5)、(9-3-7)可知，当两个信号等概且等能量时，发s1(t)错判成s2(t)的概率等于发s2(t)错判成s1(t)的概率。将式(9-3-5)、(9-3-7)代入平均误码率公式(9-3-3)，可得最佳接收机的误码率为 (9-3-8) 式(9-3-8)是在先验等概，并且两个发送波形等能量的条件下得到的。由式(9-3-8)可清楚地看出，噪声no减小，信号能量Es增加，则误码率Pe减小

24、。它们的物理意义是显而易见的。另外从公式也可看出，增加，则Pe增加，说明两个波形越相像则误码率越大，这是因为两个波形相似增加了判决的难度，稍微有一点噪声的影响就会引起错判。由式(9-3-5)、(9-3-7)可知，当两个信号等概且9.3.3 各类系统最佳接收机误码率1. 单极性基带信号前提条件： s1(t)、 s2(t)分别对应“1”码和“0”码，若“1”、“0”等概，且“1”码的能量为E1，“0”码能量为0。由于“1”码、“0”码能量不等，Es取两个能量的平均值，即Es=E1/2。单极性信号=0。 代入公式(9-3-8)，可得单极性信号最佳接收机的误码率为 (9-3-9)9.3.3 各类系统最

25、佳接收机误码率2. 双极性基带信号前提条件：“1”、“0”等概，“1”码能量为E1，“0”码能量为E2，且E1=E2。因为“1”码能量等于“0”码能量，所以Es=E1=E2，双极性信号的=-1。代入公式(9-3-8)得双极性信号最佳接收机的误码率为 (9-3-10)2. 双极性基带信号3. 2ASK信号前提条件：“1”、“0”等概，且“1”码的能量为E1，“0”码能量为0。2ASK信号可表示为因此，有，所以一个码元内的平均能量为，=0。代入公式(9-3-8)得2ASK信号最佳接收机的误码率为 (9-3-11)3. 2ASK信号4. 2FSK信号前提条件：“1”、“0”等概，“1”码能量为E1，

26、“0”码能量为E2，且E1=E2。2FSK信号可表示为当选择时，s1(t)与s2(t)正交，即4. 2FSK信号此时代入公式(9-3-8)得2FSK信号最佳接收机误码率为 (9-3-12)此时5. 2PSK信号前提条件：“1”、“0”等概，“1”码能量为E1，“0”码能量为E2，且E1=E2。2PSK可表示为此时代入公式(9-3-8)得2PSK信号最佳接收机误码率为 (9-3-13)5. 2PSK信号需要说明的是：单极性基带信号和2ASK不符合等能量的条件，我们用平均能量代入式(9-3-8) 得到它们的误码率。从数学上可以证明这样得到的结论是正确的。比较式(9-3-11)、(9-3-12)、(

27、9-3-13)可知，在no相同时，要达到2PSK的误码率，2ASK信号“1”码能量应为2PSK“1”码能量的4倍，2FSK信号“1”码能量应为2PSK信号“1”码能量的2倍。显然，2PSK信号的误码性能是最好的，2FSK信号的误码性能次之，三者之中2ASK的误码性能最差。这个结论与在一般接收机中得到的结论是一致的。需要说明的是：单极性基带信号和2ASK不符合等能量的条件例9.3.1 设到达接收机输入端的二进制信号s1(t)及s2(t)如图9.3.4所示，输入高斯噪声功率谱密度为no/2。(1) 画出匹配滤波器形式的最佳接收机结构。(2) 确定匹配滤波器的冲激响应及输出波形。(3) 求此最佳系统

28、的误码率。例9.3.1 设到达接收机输入端的二进制信号s1(t)图9.3.4 输入的二进制信号图9.3.4 输入的二进制信号解 (1) 最佳接收机结构如图9.3.5所示。图9.3.5 最佳接收机结构解 (1) 最佳接收机结构如图9.3.5所示。图9.3(2) 由题意得：h1(t)=s1(t0-t)=s1(T-t)h2(t)=s2(t0-t)=s2(T-t)h1(t)、 h2(t)的波形如图9.3.6(a)所示。匹配滤波器输出y1(t)、 y2(t)的波形图如图9.3.6(b)所示。(2) 由题意得：图9.3.6 波形图图9.3.6 波形图(3) 两个信号能量为：由此看出，两个信号是等能量的，即

29、 ，则所以，系统的误码率为(3) 两个信号能量为：9.4 最佳接收机与实际接收机误码性能比较为便于比较，现将各类系统的误码性能列于表9-4-1。由表看出，实际接收机的误码性能都明显低于最佳接收机。若要达到最佳接收机性能，显然要求输入信噪比提高1倍即提高3 dB。可见，最佳接收机是优于实际接收机的。另外，实际接收机计算带宽时，我们仅以频谱的主瓣来计算，实际上带宽比此值要大，会引入更多的噪声，因此实际接收机性能比公式计算结果还要差些。9.4 最佳接收机与实际接收机误码性能比较通信原理第9章-数字信号最佳接收课件本章小结本章介绍了匹配滤波器和最佳接收机两个方面的内容。对于匹配滤波器，重点介绍了匹配滤波器输出最大信噪比的时刻及最大信噪比，匹配滤波器的传输特性及对应的冲激响应，匹配滤波器的输出波形。对于最佳接收机，主要介绍了最佳接收机的一般结构，由匹配滤波器构成的最佳接收机结构及最佳接收机的误码率公式。本章小结习 题1 有如题1图所示