2022高考理数复习资料讲义：第5章 平面向量、解三角形 第4讲

1、PAGE19第4讲正弦定理和余弦定理1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆的半径，则2在ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况3三角形中常用的面积公式1Seqf1,2ahh表示边a上的高2Seqf1,2bcsinAeqo,sup501eqf1,2acsinBeqo,sup502eqf1,2absinC3Seqf1,2rabcr为三角形的内切圆半径1概念辨析1正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立2在ABC中，若sinAsinB，则AB3在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素4当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形答案1234

2、2小题热身1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知aeqr5，c2，cosAeqf2,3，则br2r3C2D3答案D解析由余弦定理得5b242b2eqf2,3，解得b3或beqf1,3舍去，故选D2已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eqfcosA,cosBeqfb,aeqr2，则该三角形的形状是A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D钝角三角形答案A解析因为eqfcosA,cosBeqfb,a，由正弦定理得eqfcosA,cosBeqfsinB,sinA，所以sin2Afb,aeqr2，可知ab，所以A，B0，所以2A1802B，即AB90，所以C90，于是AB

3、C是直角三角形3在ABC中，a3eqr2，b2eqr3，cosCeqf1,3，则ABC的面积为_答案4eqr3解析cosCeqf1,3，0C，sinCeqf2r2,3，SABCeqf1,2absinCeqf1,23eqr22eqr3eqf2r2,34eqr34在ABC中，a4，b5，c6，则eqfsin2A,sinC_答案1解析因为a4，b5，c6，所以cosAeqfb2c2a2,2bceqf526242,256eqf3,4，所以eqfsin2A,sinCeqf2sinAcosA,sinCeqf2acosA,ceqf24f3,4,61题型eqavs4al一利用正、余弦定理解三角形角度1用正弦定

4、理解三角形11设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，eqr3，sinBeqf1,2，Ceqf,6，则b_；22022全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，60，beqr6，c3，则A_答案11275解析1因为sinBeqf1,2且B0，所以Beqf,6或Beqf5,6，又Ceqf,6，所以Beqf,6，ABCeqf2,3，又aeqr3，由正弦定理得eqfa,sinAeqfb,sinB，即eqfr3,sinf2,3eqfb,sinf,6，解得b12如图，由正弦定理，得eqf3,sin60eqfr6,sinB，sinBeqfr2,2又cb，B45，A180604575角度2用余弦定

5、理解三角形21在ABC中，若b1，ceqr3，Aeqf,6，则cos5BAeqfr3,2f1,2f1,2或1Deqfr3,2或02在ABC中，AB3，BCeqr13，AC4，则边AC上的高为f3r2,2f3r3,2f3,2D3eqr3答案1A2B解析1因为b1，ceqr3，Aeqf,6，所以由余弦定理得a2b2c22bccosA1321eqr3eqfr3,21，所以a1由ab1，得BAeqf,6，所以cos5Bcoseqf5,6coseqf,6eqfr3,22由题意得cosAeqfAB2AC2BC2,2ABACeqf3242r132,234eqf1,2，sinAeqr1blcrcavs4alc

6、o1f1,22eqfr3,2，边AC上的高hABsinAeqf3r3,2角度3综合利用正、余弦定理解三角形3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosCc2b1求角A的大小；2若ceqr2，角B的平分线BDeqr3，求a解12acosCc2b，由正弦定理得2sinAcosCsinC2sinB,2sinAcosCsinC2sinAC2sinAcosC2cosAsinC，sinC2cosAsinC，sinC0，cosAeqf1,2，又A0，Aeqf2,32在ABD中，由正弦定理得，eqfAB,sinADBeqfBD,sinA，sinADBeqfABsinA,BDeqfr2,2又

7、ADB0，Aeqf2,3，ADBeqf,4，ABCeqf,6，ACBeqf,6，ACABeqr2，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosAeqr22eqr222eqr2eqr2coseqf2,36，aeqr6用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法1已知两角和一边用三角形内角和定理求第三个角用正弦定理求另外两条边2已知两边及其中一边所对的角用正弦定理适用于优先求角的题以知a，b，A解三角形为例：a根据正弦定理，经讨论求B；b求出B后，由ABC180，求出C；c再根据正弦定理eqfa,sinAeqfc,sinC，求出边c用余弦定理适用于优先求边的题以知a，b，A解三角形为例：列出以

8、边c为元的一元二次方程c22bcosAcb2a20，根据一元二次方程的解法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B，C3已知两边和它们的夹角用余弦定理求第三边用余弦定理的变形或正弦定理求另外两角4已知三边可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所对的角，再由ABC180，求出第三个角1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若aeqfr6,2b，A2B，则cosB等于fr6,6fr6,5fr6,4fr6,3答案C解析因为aeqfr6,2b，A2B，所以由正弦定理可得eqffr6,2b,sin2Beqfb,sinB，所以eqffr6,2,2sinBcosBeqf1,sinB，

9、所以cosBeqfr6,422022和平区模拟在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b2eqr3bc，且sinC2eqr3sinB，则角A的大小为_答案eqf,6解析由sinC2eqr3sinB得c2eqr3ba2b2eqr3bceqr32eqr3b2，即a27b2则cosAeqfb2c2a2,2bceqfb212b27b2,4r3b2eqfr3,2又A0，Aeqf,63如图，在ABC中，B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，则AB_答案eqf5r6,2解析在ACD中，由余弦定理可得cosCeqf49925,273eqf11,14，则sinCeqf5r3,14在A

10、BC中，由正弦定理可得eqfAB,sinCeqfAC,sinB，则ABeqfACsinC,sinBeqf7f5r3,14,fr2,2eqf5r6,2题型eqavs4al二利用正、余弦定理判定三角形的形状12022武汉调研在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eqfc,bcosA，则ABC为A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形答案A解析因为eqfc,bcosA，所以cbcosA，由正弦定理得sinCsinBcosA，又ABC，所以sinCsinAB所以sinAcosBcosAsinBsinBcosA，所以sinAcosB0，所以cosB0，B为钝角，所以ABC是钝角三角

11、形2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eqfsinA,sinBeqfa,c，bcabca3bc，则ABC的形状为A直角三角形B等腰非等边三角形C等边三角形D钝角三角形答案C解析eqfsinA,sinBeqfa,c，eqfa,beqfa,c，bc又bcabca3bc，b2c2a2bc，cosAeqfb2c2a2,2bceqfbc,2bceqf1,2A0，Aeqf,3，ABC是等边三角形条件探究1把举例说明2中ABC满足的条件改为“acosAbcosB”，判断ABC的形状解因为acosAbcosB，所以sinAcosAsinBcosB，所以sin2Asin2B，又因为02A2，02

12、B2，0AB，所以2A2B或2A2B，即AB或ABeqf,2，所以ABC是等腰三角形或直角三角形条件探究2把举例说明2中ABC满足的条件改为“cos2eqfB,2eqfac,2c”，判断ABC的形状解因为cos2eqfB,2eqfac,2c，所以eqf1,21cosBeqfac,2c，在ABC中，由余弦定理得eqf1,2eqf1,2eqfa2c2b2,2aceqfac,2c化简得2aca2c2b22aac，则c2a2b2，所以ABC为直角三角形1应用余弦定理判断三角形形状的方法在ABC中，c是最大的边若c20，则cosCeqfa2b2c2,2abeqf5t211t213t2,25t11t0，所

13、以C是钝角，ABC是钝角三角形2设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosCccosBasinA，则ABC的形状为A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定答案B解析根据正弦定理，由bcosCccosBasinA得sinBcosCsinCcosBsin2A，即sinBCsin2A，又因为ABC，所以sinBCsinA，所以sinA1，由0A，得Aeqf,2所以ABC是直角三角形题型eqavs4al三与三角形面积有关的问题2022全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知ABC的面积为eqfa2,3sinA1求sinBsinC；2若6cosBcosC1，a3，求A

14、BC的周长解1由题设得eqf1,2acsinBeqfa2,3sinA，即eqf1,2csinBeqfa,3sinA由正弦定理得eqf1,2sinCsinBeqfsinA,3sinA故sinBsinCeqf2,32由题设及1得cosBcosCsinBsinCeqf1,2，即cosBCeqf1,2所以BCeqf2,3，故Aeqf,3由题意得eqf1,2bcsinAeqfa2,3sinA，a3，所以bc8由余弦定理得b2c2bc9，即bc23bc8，得bceqr33故ABC的周长为3eqr331求三角形面积的方法1若三角形中已知一个角角的大小或该角的正、余弦值，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之

15、积，代入公式求面积2若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键2已知三角形的面积求边、角的方法1若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解2若求边，就寻求与该边或两边有关联的角，利用面积公式列方程求解2022洛阳三模在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinBcbsinCasinA1求角A的大小；2若sinBsinCeqf3,8，且ABC的面积为2eqr3，求a解1由bsinBcbsinCasinA及正弦定理得b2cbca2，即b2c2bca2，所以eqfb2c2a2,2bccosAeq

16、f1,2，所以Aeqf,32由正弦定理eqfa,sinAeqfb,sinBeqfc,sinC，可得beqfasinB,sinA，ceqfasinC,sinA，所以SABCeqf1,2bcsinAeqf1,2eqfasinB,sinAeqfasinC,sinAsinAeqfa2sinBsinC,2sinA2eqr3又sinBsinCeqf3,8，sinAeqfr3,2，eqfr3,8a22eqr3，解得a4高频考点用正弦、余弦定理进行边、角之间的转化考点分析在综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题时，常利用边、角之间的转化与化归的方法解决典例12022枣庄二模已知ABC的内角A，

17、B，C的对边分别是a，b，c，且a2b2c2acosBbcosAabc，若ab2，则c的取值范围为A0,2B1,2blcrcavs4alco1f1,2，2D1,2答案B解析由正、余弦定理，得2cosCsinAcosBsinBcosAsinC即2cosCsinABsinC所以2cosCsinCsinC，因为sinC0，所以cosCeqf1,2又C0，所以Ceqf,3因为c2a2b22abcosCab23ab，且ab24ab，所以ab1所以c21，即c1，又cab2所以1c2典例22022全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosBacosCccosA，则B_答案eqf,3解析解法一：由2bcosBacosCccosA及正弦定理，得2sinBcosBsinAcosCsinCcosA2sinBcosBsinAC又ABC，ACB2sinBcosBsinBsinB又sinB0，cosBeqf1,2Beqf,3eqavs4al解法二：在ABC中，acosCccosAb，