人教A版新教材必修第一册《5.5.2 第2课时 简单的三角恒等变换(二)》教案（定稿）

1、第2课时简单的三角恒等变换(二)学习目标1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题导语同学们，我们从开始学习两角差的余弦，就尝试对展开式进行合并，尤其是一些特殊的形式，比如sin xcos x等，其实从那个时候起，就开始有了辅助角公式的影子，大家知道吗？辅助角公式是由我国数学家李善兰先生提出的，辅助角公式的提出，对整个三角函数产生了巨大的影响，今天，我们就和李善兰先生，一起来探究辅助角公式的意义吧一、三角恒等变换与三角函数问题1请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并：sin xcos x，sin xeq r(3

2、)cos x，cos xeq r(3)sin x.提示sin xcos xeq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)，sin xeq r(3)cos x2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)，cos xeq r(3)sin x2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)x).问题2一般地，对于yasin xbcos x，你能对它进行合并吗？提示第一步：提常数，提出eq r(a2b2)，得到eq r(a2b2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,r(a2b2)sin xf(b,r(a2b2)cos x)；第二步

3、：定角度，确定一个角满足cos eq f(a,r(a2b2)，sin eq f(b,r(a2b2)，得到eq r(a2b2)(cos sin xsin cos x)；第三步：化简、逆用公式得asin xbcos xeq r(a2b2)sin(x)，其中tan eq f(b,a).知识梳理辅助角公式yasin xbcos xeq r(a2b2)sin(x).eq blc(rc)(avs4alco1(其中tan f(b,a)注意点：(1)该函数的最大值为eq r(a2b2)，最小值为eq r(a2b2).(2)有时yasin xbcos xeq r(a2b2)cos(x)例1已知函数f(x)cos

4、eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)x)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)x)，g(x)eq f(1,2)sin 2xeq f(1,4).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合解(1)f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)cos xf(r(3),2)sin x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)cos xf(r(3),2)sin x)eq f(1,4)cos2xeq f(3,4)sin2xeq f(1cos 2x,8)eq f(31co

5、s 2x,8)eq f(1,2)cos 2xeq f(1,4)，f(x)的最小正周期Teq f(2,2).(2)h(x)f(x)g(x)eq f(1,2)cos 2xeq f(1,2)sin 2xeq f(r(2),2)coseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)，当2xeq f(,4)2k(kZ)时，h(x)有最大值eq f(r(2),2)，此时x的取值集合为eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xkf(,8)，kZ).反思感悟研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再

6、研究转化后的函数的性质在这个过程中通常利用辅助角公式，将yasin xbcos x转化为yeq r(a2b2)sin(x)或yeq r(a2b2)cos(x)的形式，以便研究函数的性质跟踪训练1已知函数f(x)sin2xsin2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间eq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(,4)上的最大值和最小值解(1)由已知，得f(x)eq f(1cos 2x,2)eq f(1cosblc(rc)(avs4alco1(2xf(,3),2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4a

7、lco1(f(1,2)cos 2xf(r(3),2)sin 2x)eq f(1,2)cos 2xeq f(r(3),4)sin 2xeq f(1,4)cos 2xeq f(1,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)，所以f(x)的最小正周期Teq f(2,2).(2)因为xeq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(,4)，所以2xeq f(,6)eq blcrc(avs4alco1(f(5,6)，f(,3)，所以f(x)在区间eq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(,6)上单调递减，在区间eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f

8、(,4)上单调递增，且feq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(1,4)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)eq f(1,2)，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(r(3),4)，所以f(x)在区间eq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(,4)上的最大值为eq f(r(3),4)，最小值为eq f(1,2).二、三角恒等变换在几何中的应用例2(教材227页例10改编)某工人要从一块圆心角为45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)解如图，连

9、接OC，设COB，则045，OC1.因为ABOBOAcos ADcos sin ，所以S矩形ABCDABBC(cos sin )sin sin2sin cos eq f(1,2)(1cos 2)eq f(1,2)sin 2eq f(1,2)(sin 2cos 2)eq f(1,2)eq f(r(2),2)cos(245)eq f(1,2).当2450，即22.5时，S(矩形ABCD)maxeq f(r(2)1,2)(m2)，所以割出的长方形桌面的最大面积为eq f(r(2)1,2) m2.反思感悟三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决，体现了数学中

10、的化归思想跟踪训练2如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB的周长最长？解设AOB，OAB的周长为l，则ABRsin ，OBRcos ，所以lOAABOBRRsin Rcos R(sin cos )Req r(2)Rsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)R.因为0eq f(,2)，所以eq f(,4)eq f(,4)eq f(3,4)，所以当eq f(,4)eq f(,2)，即eq f(,4)时，l的最大值为eq r(2)RR(eq r(2)1)R，故当eq f(,4)时，OAB的周长最长三、三角恒等变换在实际问题中的应用例3如图，OA，OB是

11、两条互相垂直的笔直公路，半径OA2 km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A，B重合)，并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低设POA，公路MB，MN的总长为f()求f()关于的函数关系式，并写出函数的定义域解连接OM(图略)，在RtOPN中，OP2，POA，故NP2tan .根据平面几何知识可知，MBMP，BOMeq f(1,2)BOPeq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)eq f(,4)eq f(,2).在RtBOM

12、中，OB2，BOMeq f(,4)eq f(,2)，故BM2taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,2).所以f()NP2BM2tan 4taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(,2).显然eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以函数f()的定义域为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2).反思感悟实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题跟踪训练3在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个

13、大正方形(如图所示)如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则cos 2 _.答案eq f(7,25)解析由题意得5cos 5sin 1，eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,4)，所以cos sin eq f(1,5)，又(cos sin )2(cos sin )22，所以cos sin eq f(7,5)，所以cos 2cos2sin2(cos sin )(cos sin )eq f(7,25).1知识清单：(1)辅助角公式(2)三角恒等变换的综合问题(3)三角函数在实际问题中的应用2方法归纳：转化与化归3常见误区：易忽视实际问题中的定义域1已

14、知eq r(3)sin xcos xeq f(r(2),2)，则coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)等于()A.eq f(1,2) B.eq f(r(2),4)C.eq f(r(2),3) D.eq f(3,4)答案B解析eq r(3)sin xcos x2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)eq f(r(2),2)，sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)eq f(r(2),4)，则coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)eq f(r(2),4)

15、.2若函数f(x)sin 2xcos 2x，则()A函数f(x)的最小正周期为2B函数f(x)的最大值为2C函数f(x)的一个对称中心为eq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)，0)D函数f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(，f(9,8)上单调递增答案D解析f(x)sin 2xcos 2xeq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)，函数f(x)的最小正周期为，函数f(x)的最大值为eq r(2)，故A，B错误；由feq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(

16、,8)f(,4)eq r(2)0，故C错误；由xeq f(9,8)，得eq f(9,4)2xeq f(,4)eq f(5,2)，可知函数f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(，f(9,8)上单调递增，故D正确3当xeq blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(,2)时，关于x的方程eq r(3)sin xcos xm0有解，则实数m的取值范围为()A(2，eq r(3) B2，eq r(3)C(eq r(3)，eq r(3) Deq r(3)，eq r(3)答案B解析由题意知，关于x的方程eq r(3)sin xcos xm0，即eq r(3)sin xcos xm在xe

17、q blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(,2)上有解，则函数yeq r(3)sin xcos x2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)的图象与直线ym在eq blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(,2)上有交点，如图，由图象易得，2meq r(3).4函数f(x)3sin x5sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)的最大值是_答案7解析f(x)3sin x5eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sin xf(r(3),2)cos x)eq f(11,2)sin xeq f(5r(3),2)cos xeq r(b

18、lc(rc)(avs4alco1(f(11,2)2blc(rc)(avs4alco1(f(5r(3),2)2)sin(x)7sin(x)，所以f(x)max7.1.eq r(3)cos 154sin215cos 15等于()A.eq f(1,2) B.eq f(r(2),2) C1 D.eq r(2)答案D解析eq r(3)cos 154sin215cos 15eq r(3)cos 152sin 15sin 30eq r(3)cos 15sin 152eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sin 15f(r(3),2)cos 15)2sin(45)eq r(2).2.eq f(

19、sin 8r(3)cos 8,r(2)cos 22)等于()A.eq r(2) B1 C.eq f(r(2),2) D.eq f(1,2)答案A解析eq f(sin 8r(3)cos 8,r(2)cos 22)eq f(2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sin 8f(r(3),2)cos 8),r(2)cos 22)eq f(2sin860,r(2)cos 22)eq f(2sin 68,r(2)cos 22)eq r(2).3若eq r(3)sin cos eq f(r(10),5)，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)等于()A.eq f(r(10)

20、,5) Beq f(r(10),5) C.eq f(r(10),10) Deq f(r(10),10)答案D解析eq r(3)sin cos 2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)sin f(1,2)cos )2coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(r(10),5)，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(r(10),10).4函数f(x)sin xcos x的一个对称中心是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，0) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，0) C.eq

21、 blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，0) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，0)答案D解析因为f(x)sin xcos xeq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)，根据函数yAsin(x)的对称中心特征可知，对称中心是函数f(x)的图象与x轴的交点，四个选项中只有当xeq f(,4)时，feq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)0，即函数f(x)的一个对称中心为eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，0).5若eq r(3)sin xcos x4m，则实数m的取值范围是()A2,6 B6,6C(2

22、,6) D2,4答案A解析eq r(3)sin xcos x4m，eq f(r(3),2)sin xeq f(1,2)cos xeq f(4m,2)，sineq f(,3)sin xcoseq f(,3)cos xeq f(4m,2)，coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)eq f(4m,2).1coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)1，1eq f(4m,2)1，2m6.6(多选)已知函数f(x)sin xcos xsin2x，则下列说法正确的是()Af(x)的最大值为2Bf(x)的最小正周期为Cf(x)关于直线xeq f(,8)对称Df(x)在eq

23、 blc(rc)(avs4alco1(0，f(,4)上单调递增答案BCD解析f(x)eq f(1,2)sin 2xeq f(1cos 2x,2)eq f(1,2)(sin 2xcos 2x)eq f(1,2)eq f(r(2),2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)eq f(1,2)，f(x)maxeq f(r(2),2)eq f(1,2)eq f(r(2)1,2)，最小正周期Teq f(2,2).当xeq f(,8)时，sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)1，直线xeq f(,8)为对称轴当xeq blc(rc)(avs4alco1(0，

24、f(,4)时，2xeq f(,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，f(,4)，f(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,4)上单调递增，综上有B，C，D正确，A不正确7已知函数f(x)2sin x3cos x，x1，x2R，则f(x1)f(x2)的最大值是_答案2eq r(13)解析因为f(x)2sin x3cos xeq r(13)sin(x)eq blc(rc)(avs4alco1(其中tan f(3,2)，所以f(x)maxeq r(13)，f(x)mineq r(13)，因为x1，x2R，所以f(x1)f(x2)的最大值为f(x1)maxf(x

25、2)mineq r(13)(eq r(13)2eq r(13).8.如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为eq f(,2)，若P为 上异于A，B的点，且PQOB交OB于点Q，当POQ的面积大于eq f(r(3),8)时，POQ的取值范围为 _.答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(,3)解析设POQeq blc(rc)(avs4alco1(0eq f(r(3),8)，得sin 2eq f(r(3),2).又2(0，)，eq f(,3)2eq f(2,3)，则eq f(,6)0时，f(x)max|5m|8，解得m3；当m0)在0，上有两个零点，则的取值范围为()A.eq b

26、lc(rc)(avs4alco1(f(11,6)，f(17,6) B.eq blcrc)(avs4alco1(f(11,6)，f(17,6) C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)，f(8,3) D.eq blcrc)(avs4alco1(f(5,3)，f(8,3)答案B解析f(x)eq r(3)sin xcos x2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)，由x0，又0，则可令txeq f(,6)eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(,6)，又函数y2sin t在teq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(,6)上有两个零点

27、，如图，则2eq f(,6)3，解得eq blcrc)(avs4alco1(f(11,6)，f(17,6).15.如图，已知OPQ是半径为5，圆心角为(tan 2)的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形当矩形ABCD的周长最大时，BC边的长为_答案eq r(5)解析由eq blcrc (avs4alco1(tan f(sin ,cos )2，,sin2cos21，,0f(,2)，)得eq blcrc (avs4alco1(sin f(2r(5),5)，,cos f(r(5),5)，)设COP，则ADBCOCsin 5sin ，OBOCcos 5cos ，在RtOAD中，AOD，OAeq f(AD,tan )eq f(5,2)sin ，CDABOBOA5cos eq f(5,2)sin ，矩形ABCD的周长为2(ABBC)2eq blc(rc)