曲线与方程的教学设计

1、曲线与方程的授课方案曲线与方程的授课方案9/9曲线与方程的授课方案曲线与方程的授课方案上海曹杨二中桂思铭一、内容和内容解析曲线与方程为选修2-1的内容，它刻画了曲线（几何图形）和方程（代数算式）间的一一对应关系;同时，介绍了求解曲线方程的一般方法，并要修业生能经过方程来办理一些简单的几何问题，如依照已知条件确定方程中的参数，求动点的轨迹方程等问题.学生在这本节内容学习从前，已经有了直线方程及圆方程的相关知识，在这里进一步研究曲线与方程的关系有着承上启下的作用，学生能够依照已经验经过教师的引导进行一般的概括总结，用已有经验来加深对定义的认识，廓清曲线与方程之间的关系，进而能更深入理解解析几何的实

2、质，同时也为后继圆锥曲线的学习确定一个基础.二目标和目标解析授课目的：理解曲线的方程、方程的曲线的见解；能依照给出的条件求曲线的方程；经历对曲线方程定义的概括理解过程，领悟数学思想的慎重，借助于技术加强数形结合的思想方法.上述授课目的详尽表现在:（1）能辨析给出的方程是否是某个曲线的方程;（2）给出一些熟悉的曲线的部分图像后能确定变量的取值范围;（3）掌握求曲线方程的基本流程;4）能利用曲线方程的定义求解轨迹方程;5）能比较求曲线方程的步骤来反思自己的求解过程.授课的重点和难点在于学生对曲线与方程的见解的理解和掌握.三授课识题诊断新课标教材将这部分内容作为选修内容，从前的学习为学生供应了曲线与

3、方程的详尽事例(直线及圆),学生知道直线和圆的问题能够经过方程来研究办理,如判断两条直线的地址关系;求直线的交点;直线和圆的地址关系等,但可能经过了一个阶段学生记忆中留下的可是一些详尽的解题的方法和知识,其实不能够自觉地经过已有的知识、记忆去发展和成立新的知识，这需要教师经过一些事例去激活学生的思想.别的,在前面学习的直线和圆的过程中,学生遇到的问题经常是求得的直线或圆就是一条完满的直线或一个完满的圆,不需要去追查求得的方程可否会混入不在曲线上的点的问题,而进入到一般的曲线的研究过程,学生自然会在这方面出现这样或那样的问题,因此我们在授课中,要重申新授知识和已有知识间的差异和联系,让学生感觉新

4、学的内容既不是一个崭新的内容,又与过去的内容又有必然的差异,这有助于联系的看问题,完满学生的认知结构,帮助学生掌握好本节内容.四授课支持条件解析为了能很好地帮助学生理解、反思学习内容,领悟新学的知识的要义,授课中需要有详尽的图形来帮助学生理解解析问题,因此，借助于动向几何的软件来加强几何直观十分必要，同时这也能够帮助学生考据其演算结果的正确与否,领悟曲线与方程的定义.五授课过程设计(一)见解的导入1经过投影表现几个教材内容的片断,为新课的学习作一些必要的铺垫.片断1数学2第三章中直线与方程的章头语：经过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法。成立直线方程.尔后经过方程,

5、研究直线的相关性质.片断2第四章圆与方程的章头语成立圆的方程.经过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆的地址关系.片断3数学2中第97页的思虑栏目（1）平面直角系中的每一条直线都能够用一个关于、的二元一次方程来表示吗？（2）每一个关于、的二元一次方程都能表示一条直线吗？2.请同学们结合对上述片断的观察回答从中能够得出哪些主要信息?(从上述片断中能够提炼出这样一些见解:解析几何主若是经过方程来研究几何问题我们能够用成立起二元方程和直线间的一一对应关系;片断3也供应了怎样来成立方程;和曲线联系的路子;更一般的,能够对成立曲线的方程来研究曲线的几何性质.)3.指出今天我们要学习的内容,板书标题曲线与方程4

6、.为了帮助学生给曲线的方程下定义,进一步供应予下问题:(1)写出表示以下列图形(实线部分)的方程作以下方程所表示的图形(i);(ii)结合对前面问题的观察解析,请你来给曲线的方程下个定义.6.一般地,在直角坐标系中,若是某曲线(看作点的会集或某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程的实数解成立了以下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.7.证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程是.(1)要修业生解析明确要证明轨迹方程为需要从曲线满足的方程和方程所对应的曲线这两个方面来考虑问题;(2)教师显现证明过程,帮助学生规范证明的书写,领悟解

7、决问题的过程.(二)求曲线的方程对什么是求曲线的方程作一些简单的阐述(结合前面的问题来讲解,明确求曲线的方程实际上是做什么工作，要注意哪些问题)2.经过投影显示例2的内容,请学生阅读例2,学习解题的方法,并比较例2的解题步骤,写出求曲线方程的一般步骤.3.例3.已知一条直线和它上方的一点,点到的距离是2,一条曲线也在的上方,它上面每一点到的距离减去到的距离的差都是2,成立合适的坐标系,求这条曲线的方程.请学生成立直角坐标系,并要修业生说明这样成立坐标系的原由;要修业生写出曲线的方程,经过几何软件,考据方程的解所对应的点在曲线上,特别提示学生要仔细审题,要有放过来考据的思虑,不要轻易地判断反过去

8、结论也成立,要有理性的思虑.(三)牢固练习完成教科书第37页上的练习1.2,请学生谈谈这两个题主要帮助你加深了对哪些问题的认识?完成习题3,并结合几何的解析说明方程的解所对应的点必然在曲线上。六目标检测设计已知曲线的方程为，并且曲线经过点，两点，（1）求曲线的方程；（2）若在的正半轴上存在一点，过点的直线交曲线，于，两点，求，的中点的轨迹方程.希望能经过这个问题能检查学生对本节内容的掌握状况，因（2）的结果需要有分类讨论的过程，学生可能会出现问题，教师可顺势提出问题，回扣曲线与方程的定义，完成小节工作，同时也为学生的回家作业作了一个铺垫.回家作业习题2.1的全部题目“曲线与方程”的授课反思上海

9、曹杨二中桂思铭一、对授课方案的再思虑本内容包含“曲线与方程”和“求曲线的方程”。前一小节引入“曲线的方程”和“方程的曲线”见解,并经过见解的简单应用，使学生初步理解见解；后一小节给出求轨迹方程的一般步骤和方法，经过求轨迹方程帮助学生进一步理解、掌握曲线方程的见解.在先前的授课方案中，主要考虑贯彻教材编写妄图问题，着重利用学生在学习“直线的方程”“圆的方程”中成立的已有经验，经过合适的问题引导学生学习，这样的安排充分注意了学生已有的认知基础，有利于学生主动成立见解。我认为这样的设计对学生理解见解、发展能力都有积极意义，但做好这一点必定有充分的时间让学生进行概括、思虑、总结.从实质的授课状况来看,

10、在见解的引入上是比较成功的,学生在课堂中的表现和授课方案的预设比较一致,这是设计中值得必然的一面.先前的设计的不足主若是没有充分重视轨迹方程的求解过程写妄图,在重视见解形成发展过程的同时还需要重视习题内容的办理个习题(37页练习3):.要完满地表现教材的编.我们来看教材中的一如图,已知点的坐标是,过点的直线与轴交于点,过点与直线垂直的直线与轴交于点.设点是线段的中点，求点的轨迹方程.这个问题的解答路子主要有两种:（1）用和有公共的斜边这一特点,得出点到定点及的距离同样,得出所求的轨迹就是线段的垂直均分线,因此能够利用例2的方法来求解;（2）引入一个参数,设直线的斜率为,尔后依照已有的知识将点的

11、坐标用来表示,最后消去参数.这两种方法学生都比较陌生,前一种解法的“平面几何味道”很浓,有一个转变的过程;后一种解法主若是用参数方程的思想,学生没有接触过,没有能够模拟的例题,独立解决有困难,需要教师的铺垫与概括.同样，学生独立完成教科书上的习题也有必然的难度。因此，课堂授课中，经过例题有效地帮助学生领悟到“曲线与方程”中包含的数学思想和方法是特别重要的任务.基于上述解析,应将求轨迹方程的方法列入授课的重点和难点,但一个课时无法完成教学任务，需要增加一个课时.二、对授课方案的调整基于上面的思虑，现将授课方案作一个调整，将本节内容改成两节课完成，两节课第一课第二课例的内容安排以下：曲线与方程的全

12、部内容加上求曲线的方程例3结合作业解析,概括几种主要的求轨迹方程的方法.2;下面是更正后的授课方案：（一）课前预习在上课前一天部署学生复习回顾以下内容，并思虑：从中能够概括出哪些见解？片断1数学2第三章中直线与方程的章头语：经过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法。成立直线方程.尔后经过方程,研究直线的相关性质.片断2第四章圆与方程的章头语成立圆的方程.经过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆的地址关系.片断3数学2中第97页的思虑栏目（1）平面直角系中的每一条直线都能够用一个关于、的二元一次方程来表示吗？（2）每一个关于、的二元一次方程都能表示一条直线吗？(二)见解导入1

13、经过投影表现上述片断，让学生回答从中能够得出哪些主要信息?(从上述片断中能够提炼出见解:解析几何主若是经过方程来研究几何问题次方程和直线间拥有一一对应关系;片断3也供应了成立方程和曲线联系的路子般的,能够先成立曲线的方程，经过方程来研究曲线的几何性质.);二元一;更一2.指出今天我们要学习的内容,板书标题“曲线与方程”。3.为了帮助学生给曲线的方程下定义,进一步供应予下问题:(1)写出表示以下列图形(实线部分)的方程：作以下方程所表示的图形：(i);(ii).(经过详尽问题领悟“纯粹性”和“齐全性”。授课中可依照学生的回答状况，经过追问的方式，在上述两点上帮助学生深入理解。)结合对前面问题的观

14、察解析,请学生给曲线的方程下个定义：一般地,在直角坐标系中,若是某曲线(看作点的会集或某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程的实数解成立了以下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.5.证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程是.(1)先用信息技术显现“与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹”，再引导学生解析，明确解题任务要证明轨迹方程为，就是要证明两个命题：轨迹上的点的坐标满足方程，并且方程的解为坐标的点都在轨迹上;教师显现证明过程,帮助学生规范证明的书写,领悟解题过程.(三)求曲线的方程对什么是求曲线的方程作简单讲解(结合前面的

15、问题来讲解,明确求曲线的方程是要做什么工作，要注意哪些问题)。经过投影显示例2的内容,请学生阅读例2,学习解题的方法(这里将直线看作点的轨迹),并比较例2的解题步骤,写出求曲线方程的一般步骤.(四)牢固练习完成教科书第37页上的练习1.2,请学生谈谈这两个题主要帮助自己加深了对哪些问题的认识?2.阅读37页上的练习3,教师用几何软件作轨迹图形(线段的垂直均分线)尔后帮助学生形成解题的方法.(设计说明：前面已解析了学生解这个问题的困难所在,先用软件作图的目的在于启示学生的思想,帮助学生形成解题策略,有了轨迹能够启示学生用平面几何的知识将问题进行转化,同时也能够对解题中为什么要引入参数,怎样引入参

16、数作一些必要的说明,让学生掌握解题的方法。)目标检测还是延用原来的内容.家庭作业习题2.1的A组习题,再补充一个习题：已知在长为线段上有一个动点,以、为边在的同一侧作等边三角形、,成立合适的坐标系,求线段的中点的轨迹方程.(这个习题的目的是要修业生领悟解析法的思想,领悟运用参数求轨迹方程的方法。)三、对授课方案中“问题串”的思虑本课题在先期研究中确定，授课方案以问题串的形式进行，这种做法的实质意义在于：便于课题组成员之间相互借鉴,同时能促进设计者更好地思虑、掌握好授课的细节，在课后也便于总结回顾和更正.经过较长时间的对“问题串”设计的思虑，我认为“问题串”能够有“串通”和“并联”两种模式：串通模式并联模式“串通模式”平时是将一个大的问题肢解成若干小问题，经过小问题引领学生步步深入而得出结论,其优势是针对性强,学生简单操作,缺点是不够开放,有时会产生“只见树木不见森林”的场面;而“并联模式”优势在于学生的独立思虑空间较大，更有利于从整体上把握问题，但针对性不如前一种强.这两种模式各有特点,我们应依照实质的授课内容来合理的加以运用.在本