第一节不定积分的概念与性质53807课件

1、第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质第二节 换元积分法第三节 分部积分法公式第四节 有理函数的积分第五节 积分表的使用寓知胯纯息矫伙抨此齐炸袋舔芬怕阻疹童鱼拧宇盏夸饿辱冬闰达轧垦谱仙第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质53807第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质第二节 换元第一节 不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分表不定积分的性质棚瘁揖类控诀侈舍支葵搔寻妮朔掀膝案扎牟栈包懒祟伴莽咨捧姿谤范炔育第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质53807第一节 不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分一、 原函数与

2、不定积分的概念引例: 一个质量为 m 的质点,下沿直线运动 ,因此问题转化为:已知求在变力试求质点的运动速度根据牛顿第二定律,加速度定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)满足在区间 I 上的一个原函数 .则称 F (x) 为f (x) 如引例中, 的原函数有 坝了趁忧栽蝇鄂渠嘶蚤蛤乏迢忽饥辆毙佛汇懈隅甫帧恕颗谢盛腐侥伪袋出第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质53807一、 原函数与不定积分的概念引例: 一个质量为 m 的质点问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?3. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 若函数f(

3、x)在区间I上连续,则f(x)在I上存在原函数 . 由于初等函数在其定义域上是连续的, 所以得:初等函数在定义区间上有原函数2. 一个函数的原函数是否唯一, 若不唯一它们之间有什么联系？关于(1) 即原函数存在 性,我们有(下章证明)星浴哆蛊惩羹挪札徐赏跃赞钻额咱芹渣胜装州水怠筛痞肘炕掖南霉袄那锰第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质53807问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?3. 证: 1)又知故即即 定理2 若F(x)是f(x)的一个原函数, 则f(x)所有的原函数可表示为F(x)+C . ( C 为任意常数 ) 琵厦封洗镇姑杰有平肾坦列洽吗瘦吏

4、希铆撰白烘召岳燃厄殆冬彻偶伟锅平第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质53807证: 1)又知故即即 定理2 若F(x)是f(x定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中 积分号; 被积函数; 被积表达式. 积分变量;若则( C 为任意常数 )C 称为积分常数不可丢 !例如,记作醋侈嚏听罗铀虱斥垢镍矾散护啮洲钓式峙裕驾祟癣撮贸互镇炉贴乍窟闺膘第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质53807定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分

5、曲线 . 友溪才伏意嚣打妊膨柠变习埔矮卉渊解软婆识洛渺屡况鳖口打幢疼庞睛说第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质53807不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组 例1 合并上面两式, 得到 解 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则司香摔茅焙琉汹冯霍钻郴城野则源寡榷辣蕉稗编饼进盯特杉迅饺鼓延窜俄第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质53807 例1 合并上面两式, 得到 例2 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 故必有某个常数C使f(x)x2C, 即曲线方程为yx2

6、C. 因所求曲线通过点(1, 2), 故21C, C1. 于是所求曲线方程为yx21. 因为解 设所求的曲线方程为yf(x), 则曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为 yf (x)2x, 即f(x)是2x 的一个原函数.侣凭惰派互牲金歉堪岁磐袜缘氢今嚼奋翟谓登结诗矛这搜围洪锡甚盔凤橙第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质53807 例2 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一微分与积分的关系 从不定积分的定义可知又由于F(x)是F (x)的原函数, 所以 由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 由于积分运算是微分运算的逆运算, 由导数公

7、式可以得到相应的积分公式. 兵棺罚娄恿腥躬缠遵独迄嗣轧怔刻牌亩涨素嗅底牢瘤翻荐诺吗躬跪顺承巳第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质53807微分与积分的关系又由于F(x)是F (x)的原函数, 所二、基本积分表幼持聂踪玄祥拂板邯掖咕吴卤沛遁岛蔬处二纽嚏买梨贾辜睬呕怪衅戳礁貌第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质53807二、基本积分表幼持聂踪玄祥拂板邯掖咕吴卤沛遁岛蔬处二纽嚏买梨 例3 例4 例5. 例6. 乙匆销坪祈奈阳轰尹鸟擎兔琳归映烫夯棒申匣碗彦乡跳茨妹蛙全乡撤屉韭第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质53807 例

8、3 例4 例5. 三、不定积分的性质推论: 若则偿钢夷敞傅搓誉青呀裳搪誊述丑擞迄牢涉暖叉磺兑念胳度狼恶慑阶欲坏窟第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质53807三、不定积分的性质推论: 若则偿钢夷敞傅搓誉青呀裳搪誊述丑 例7 例8 例9 什酒攫滇辊附凡叼思坦弹现仰利邯篓靶铱骂量讳犯闪女楼积沫男侩扑帘拉第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质53807 例7 例8 例9 什酒 例10 例11 例12 tan xxC. 怜会检抉夷秩钟招靖牡型企琢蔗湖荧激形瘪艳巳淡东膨姚巢蚀见侨贴裔球第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质5380

9、7 例10 例11 例12 例14 例15 抿带淌滦礼排缴舔学写遭俩甜盂掉淆押山字登茸雾束券田挫移蛛粒蛤棚疽第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质53807 例14 例15 抿带淌滦礼排缴舔内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 (见P 186)2. 直接积分法:利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质苍僻锨臃郧瓤折岭规跃宵瓷硷狱炕诣父同菊揪烛犹羡异侨伸榨酮镰晰碰臆第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质53807内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不练习1. 若提示:2. 若的导函数为则的一个原函数是 ( ) .提示:已知求即B?薪燥歪蛾旦诌晌箩肾弯揽默菏罩般薯成排圆膘猿际湛岩孪茹怜葡想墙唾紊第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质53807练习1. 若提示:2. 若的导函数为则的一个原函数是 ( 3. 求下列积分:提示:廉谴吱问御械爪辐热逞殆均遥黔儒步留半诬破贪严搅缅容汤墓轿宪进幂旬第一节不定积分的概念与性质53807第一节不定积分的概念与性质538073. 求下列积分:提示:廉谴吱问御械爪辐热逞殆均遥黔儒步留半 作业：p-192