平面问题的极坐标解答

1、关于平面问题的极坐标解答弹性力学平面问题的极坐标解答1第1页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学2第四章平面问题的极坐标解答本章要点弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程： 平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。第2页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学3一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换

2、式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答内容提要第3页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答4极坐标中的微元体xyOPABC体力：应力：PA面PB面BC面极坐标中的平衡微分方程一AC面r、的正面上，与坐标方向一致时为正；r、的负面上，与坐标方向相反时为正。应力正向规定：第4页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答5考虑微

3、元体平衡（取厚度为1）：xyOPABC极坐标中的平衡微分方程一展开，两边并除以第5页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答6两边同除以 ，并略去高阶小量：极坐标中的平衡微分方程一xyOPABC第6页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答7 剪应力互等定理于是，极坐标下的平衡方程为：（41）两方程三个未知量，是一次超静定问题，须应用几何学和物理学方面的条件才能求解。极坐标中的平衡微分方程一xyOPABC方程说明：第7页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学8一、极坐标中的平衡微分

4、方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答内容提要第8页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答91. 几何方程xyOPAB(1) 只有径向变形，无环向变形。径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）线段PB的相对伸长：（c）极坐标中的几何方程与物理方程二环向线段PB

5、的转角：（d）第9页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答10径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）环向线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）剪应变为：（e）xyOPAB极坐标中的几何方程与物理方程二第10页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答11yxOPBA(2) 只有环向变形，无径向变形。径向线段PA的相对伸长：（f）径向线段PA的转角：（g）环向线段PB的相对伸长：（h）（i）环向线段PB的转角：剪应变为：（j）极坐标中的几何方程与物理方程二第11页，共70页，2

6、022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答12(3) 总应变（42） 极坐标下的几何方程极坐标中的几何方程与物理方程二第12页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答132. 物理方程平面应力情形：平面应变情形：（43）（44）极坐标中的几何方程与物理方程二第13页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学14一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力

7、集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答内容提要第14页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答15xyOrPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系（2）应力分量与应力函数关系极坐标中的应力函数与相容方程三第15页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答16(a)(b)极坐标中的应力函数与相容方程三第16页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答17(c)xyOrP

8、xy由直角坐标下应力函数与应力的关系：极坐标中的应力函数与相容方程三第17页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答18（3）极坐标中的相容方程(a)(b)将式(a)与(b)相加极坐标中的应力函数与相容方程三第18页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答19极坐标下的 Laplace 微分算子：极坐标下的相容方程为：（46）说明：方程（46）为常体力情形的相容方程。极坐标中的应力函数与相容方程三第19页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学20一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标

9、中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答内容提要第20页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答21 设已知极坐标中的应力分量 、 、 。试求直角坐标中的应力分量 、 、 。在弹性体中取微小三角板A，各边上的应力如图所示。三角板的厚度取为一个单位。令bc边的长度为ds，则ab边及ac边的长度分

10、别为 及 。 应力分量的坐标变换式四在一定的应力状态下，如果已知极坐标中的应力分量，就可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量。反之，如果已知直角坐标中的应力分量，也可以利用简单的关系式求得极坐标中的应力分量。第21页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答22另取微小三角板B应力分量的坐标变换式四剪应力互等第22页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答23(1) 用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量(2) 用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量应力分量的坐标变换式四综上，得出应力分量由

11、极坐标向直角坐标的变换式为：第23页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学24一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答内容提要第24页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答25求解方法：逆解法1. 轴对称问题应力分量与相容方程（2

12、）应力分量（3）相容方程2. 相容方程的求解将相容方程表示为：轴对称应力与相应的位移五（1）应力函数极坐标平面内仅为 r 的函数第25页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答26轴对称问题拉普拉斯算子代入相容方程成为为四阶常微分方程，其全部通解只有4项。积分得轴对称应力函数通解：（ A、B、C、D 为待定常数）3. 应力分量将应力函数通解代入应力分量表达式，得轴对称应力的一般性解答轴对称应力与相应的位移五第26页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答274. 位移分量对于平面应力问题，将应力分量代入物理

13、方程，得相应的形变分量(a)由式（a）的第一式积分，得轴对称应力与相应的位移五第27页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答28将式（b）代入式（a）中第二式，得将上式积分，得:将式（b）、 （c）代入式（a）中第三式，得或写成：（b） 是任意的待定函数（c） 是 r 任意函数要使该式成立，两边须为同一常数。轴对称应力与相应的位移五第28页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答29（d）（e）式中F 为常数。对（d）积分有：（f）其中 H 为常数。对式（e）两边求导其解为：（g）（h）将式（f） （g）

14、 （h）代入式（b） （c），得（4-12）轴对称应力与相应的位移五第29页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学30一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答内容提要第30页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答31已知：求：圆环

15、应力分布。确定应力分量的表达式：（411）边界条件：（a）将式（a）代入应力分量，有：（b）圆环或圆筒受均布压力六第31页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答32式(b)中有三个未知常数，二个方程无法完全确定。对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。位移多值项要使单值，须有：B = 0 ，由式（b）得将其代回应力分量式，有：圆环或圆筒受均布压力六第32页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答33（4-13）（1）若：( 二向等压情况)（2）若：（压应力）（拉应力）圆环或圆筒受均布压力六第33页，共70

16、页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答34 具有圆形孔道的无限大弹性体。（3）若：（压应力）（压应力）（4）若：圆环或圆筒受均布压力六第34页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学35一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答内容提要第35

17、页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答36问题：厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压 q 作用，求圆筒的应力。1. 分析与以前相比较，相当于两个轴对称问题：(a) 受内外压力作用的厚壁圆筒；(b) 仅受内压作用的无限大弹性体。确定外压 p 的两个条件：径向变形连续：径向应力连续：压力隧洞七第36页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答372. 求解(1) 圆筒的应力与边界条件应力：（a）边界条件：(2) 无限大弹性体的应力与边界条件应力：（b）边界条件：将式（a）、（b）代入相应的边界条件，得到如下方程

18、：压力隧洞七第37页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答384个方程不能解5个未知量，需由位移连续条件确定。(c)(d)由轴对称应力状态下对应的位移分量公式，平面应变问题的圆筒和无限大弹性体的径向位移为：压力隧洞七第38页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答39利用：(e)要使对任意的 成立，须有(f)0压力隧洞七第39页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答40(g)其中：式（g）与式（c）（d）联立求解（4-16）(c)(d)圆筒及无限大弹性体应力分

19、量式(f)压力隧洞七第40页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答41讨论：（1）完全接触压力隧洞问题为最简单的接触问题（面接触）。接触面间既不互相脱离，也不互相滑动。接触条件为应力：（2）非完全接触（光滑接触）接触条件：当 n a），圆孔半径为 a，在无限远处受有均匀拉应力 q 作用。求：孔边附近的应力。圆孔的孔边应力集中八第43页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答44AOxybAArA原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。b（2）问题的求解 问题分析坐标系：就外边界（直线），宜用直角坐

20、标；就内边界（圆孔），宜用极坐标。 取一半径为 r =b (ba），在其上取一点 A 的应力，有：由应力转换公式：圆孔的孔边应力集中八第44页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答45新问题的边界条件可表示为：xyba内边界外边界（a）问题1（b）ba将外边界条件（a）分解为两部分：（c）ba问题2圆孔的孔边应力集中八第45页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答46 问题1的解：内边界外边界（b 该问题为轴对称问题，其解为 当 ba 时，有（d）问题1ba圆孔的孔边应力集中八第46页，共70页，202

21、2年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答47 问题2的解：（非轴对称问题）内边界外边界（c） 由边界条件（c），可假设： 为 r 的某一函数乘以 ； 为r 的某一函数乘以 。 又由极坐标下的应力分量表达式： 可假设应力函数为：ba问题2 将其代入相容方程：圆孔的孔边应力集中八第47页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答48 该方程的特征方程：特征根为：方程的解为：圆孔的孔边应力集中八第48页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答49 相应的应力分量： 对上述应力分量应用边界条

22、件（c）, 有内边界外边界（c） （e）ba问题2圆孔的孔边应力集中八第49页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答50ba问题2代入应力分量式（e）, 有 （f）圆孔的孔边应力集中八第50页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答51将问题1和问题2的解相加, 得全解：讨论：（1）沿孔边，r = a，环向正应力：Ab 齐尔西（G. Kirsch）解3q2qq0q906045300（2）沿 y 轴， =90，环向正应力：1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aar圆孔的孔边应力集中八第51页，共70

23、页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答52（3）沿 x 轴， =0，环向正应力：圆孔的孔边应力集中八第52页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答53（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2叠加后的应力：圆孔的孔边应力集中八第53页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学54一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受

24、均布压力七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答内容提要第54页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答55xyOP1. 楔顶受有集中力P作用 楔形体顶角为，下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力 P ，与中心线的夹角为，求：（1）应力函数的确定因次分析法：半平面体在边界上受集中力九由应力函数与应力分量间的微分关系，可推断： （a）将其代入相容方程，以确定函数第55页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，

25、星期三弹性力学平面问题的极坐标解答56 4阶常系数齐次的常微分方程通解：其中A，B，C，D为积分常数。将其代入前面的应力函数表达式：xy （4-20）（对应于无应力状态）xyOP半平面体在边界上受集中力九第56页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答57（2）应力分量的确定xyOP边界条件： 自然满足ab （b）任取一圆弧 ，其上的应力应与楔顶的力 P 平衡。将式（b）代入，有：半平面体在边界上受集中力九第57页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答58积分得：代入式（b） （4-21） 密切尔（ J.

26、 H. Michell ）解答xyOPab半平面体在边界上受集中力九第58页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答59两种特殊情况：P（1）（2）两种情况下的应力分布：应力对称分布应力反对称分布PxyOabxyOab半平面体在边界上受集中力九第59页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答60(1) 应力分量由楔形体受集中力的情形，可以得到 极坐标表示的 应力分量利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-8），可求得PxyO无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用2. 半平面边界受法向集中力作用或将其改为直角

27、坐标表示 （4-23）半平面体在边界上受集中力九第60页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答61(2) 位移分量直角坐标表示的应力分量假定为平面应力情形，其极坐标形式的物理方程为PxyO将式代入 （4-24）半平面体在边界上受集中力九第61页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答62由几何方程(a)(b)(c)积分式（a）(d)式（d）代入式（b）积分上式(e)半平面体在边界上受集中力九第62页，共70页，2022年，5月20日，13点50分，星期三弹性力学平面问题的极坐标解答63将式（d）(e) 代入式（c） 得，要使上式成立，方程两侧须等于同一常数。方程左方程右半平面体在边界上受集中力九第63页，共70页，2022年，5