(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第24讲《两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式》（讲）（解析版）

1、第24讲 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（讲）思维导图知识梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式C()：cos()coscossinsinC()：cos()coscossin_sinS()：sin()sincoscos_sinS()：sin()sincoscossinT()：tan()eq f(tan tan ,1tan tan )eq blc(rc)(avs4alco1(，f(,2)k，kZ).T()：tan()eq f(tan tan ,1tan tan )eq blc(rc)(avs4alco1(，f(,2)k，kZ).2二倍角的正弦、余弦、正切公式S2：sin 22sin

2、cosC2：cos 2cos2sin22cos2112sin2T2：tan 2eq f(2tan ,1tan2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)f(k,2)，且kf(,2)，kZ).题型归纳题型1 公式的直接应用【例1-1】（2020春六盘水期末）已知sin（）=33，则cos2A223B13C【分析】由已知利用诱导公式可求sin的值，进而根据二倍角的余弦函数公式即可计算求解【解答】解：sin（）sin=3cos212sin212(3故选：D【例1-2】（2020春金牛区校级期末）计算cos18cos42cos72sin42（）A12B12C3【分析】直接利用三角函数的诱导

3、公式的应用和余弦的和角公式的运用求出结果【解答】解：cos18cos42cos72sin42cos18cos42sin18sin42=cos60=1故选：A【例1-3】（2020春上饶期末）若3sin2sin(+3)A233B233【分析】由两角和的正弦公式展开整理可得3cos2sin7，两边平方，由基本关系式sin2+cos21可得7sin247sin+40，解出sin，进而求出cos【解答】解：由3sin2sin(+3)7=0，化简可得3sin212sin232cos=7，即2sin3两边平方可得3cos24sin247sin+7，整理可得3（1sin2）4sin247sin+7，即7si

4、n247sin+40，解得sin=2所以3cos2277所以tan=sin故选：A【跟踪训练1-1】（2020春河池期末）已知tan=12，tan（+）=1A16B17C1【分析】由于（+），根据已知利用两角差的正切函数公式即可计算求解【解答】解：tan=12，tan（+）tantan（+）=tan(+)tan故选：B【跟踪训练1-2】（2020春南阳期末）sin75cos45sin15sin45（）A0B12C32【分析】由条件利用诱导公式、两角和的余弦公式，进行化简所给的式子，可得结果【解答】解：sin75cos45sin15sin45cos15cos45sin15sin45cos（15+

5、45）=1故选：B【跟踪训练1-3】（2020春宁波期末）sin212A234B2+34C【分析】利用二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求解【解答】解：sin212故选：A【跟踪训练1-4】（2020春南充期末）若cos=13，则cos2A79B89C【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求解【解答】解：cos=1cos22cos212（13）21=故选：A【跟踪训练1-5】（2020春黄浦区期末）若tan2=14，则tan（+4）+tan（【分析】展开两角和与差的正切，整理后再由二倍角的正切得答案【解答】解：tan2=1tan（+4）+tan（=1+tan故答案为：12【跟踪训

6、练1-6】（2020春平谷区期末）2cos2151等于 【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得结果【解答】解：2cos2151cos30=3故答案为：32【名师指导】应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用题型2 三角函数公式的逆用与变形用【例2-1】（2020重庆模拟）（1+tan19）（1+tan26） 【分析】先把所求展开，再根据两角和的正切即可求解结论【解答】解：因为（1+tan19）（1+tan26）1+t

7、an19+tan26+tan19tan261+tan（19+26）（1tan19tan26）+tan19tan261+1tan19tan26+tan19tan262；故答案为：2【例2-2】（2020春开江县校级月考）已知cos(x6)=A32B3C12【分析】由题意利用诱导公式、两角和差的三角公式，求得要求式子的值【解答】解：已知cos(xcosx+cos(x3)=cos（x3）cos（x3）cos3sin（x3=32cos（x3）32sin（x3=3cos（x6故选：D【跟踪训练2-1】（2020张家口二模）1tanA12B12C3【分析】切化弦，易得原式为cos210，进而利用诱导公式，

8、特殊角的三角函数值即可求解【解答】解：1tan2105故选：D【跟踪训练2-2】（2019秋武汉期末）化简12sin(2)cos(+2)的结果是（）Asin2+cos2Bsin2cos2Ccos2sin2Dsin2cos2【分析】利用诱导公式变形，化为两数和的平方，开方得答案【解答】解：12sin(2)cos(+2)sin|sin2+cos2|sin2+cos2故选：A【名师指导】两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式(2)和差角公式变形：sin sin cos()cos cos ，cos sin sin()sin cos ，

9、tan tan tan()(1tan tan )(3)倍角公式变形：降幂公式题型3 角的变换与名的变换【例3-1】（2020春宁波期末）设，（0，），cos=1213，cos2=255，则cos【分析】利用余弦的倍角公式以及两角和差的正切公式进行计算即可【解答】解：cos2cos2212（255）21=35则sin=45，tancos=1213，sin=513则tan（+）=tan+tan故答案为：35，【例3-2】（2020春城关区校级期末）若tan3，则cos2+3sin2 【分析】先利用余弦的二倍角公式将其化简，再利用同角三角函数的平方关系将分母的1用sin2+cos2代替，然后将分式的

10、上下同除cos后，可将原式转化为只含tan的表达式，代入数据即可得解【解答】解：cos2+3sin2cos2sin2+3sin2=co两边同除cos，原式=1+2ta故答案为：1910【例3-3】（2020春梧州期末）已知cos（2+）=32，则cos2【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得结果【解答】解：已知cos（2+）=32=sin， 则cos212sin2123故答案为：1【跟踪训练3-1】（2020春宁波期末）已知sin2=34，则tanA43B43C8【分析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式化简所求结合已知即可计算求解【解答】解：sin2=3则tan+1

11、故选：D【跟踪训练3-2】（2020春广州期末）已知cos（+3）=1A13B13C2【分析】由角的转化可得6=2（+3），进而可得sin（6【解答】解：因为6=2所以sin（6）sin2（+3故选：A【跟踪训练3-3】（2020春潍坊期末）已知cos(4)=A2425B1225C【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦，求得要求式子的值【解答】解：由cos(4)=7210，则sin22(72故选：D【名师指导】1三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”2常见