【八年级数学讲义】菱形的性质与判定-教师

1、青 蓝 教 育 学 科 教 师 讲 义讲义编号： 副校长/组长签字： 签字日期： 学员编号 ： 年 级 ： C3 课 时 数 ：3课程类型： 辅 导 科 目 ：数学 学 科 教 师 ： 王梦珠课程主题 菱形的性质与判定 课 型 预习课 同步课 复习课 习题课课 次1授课日期及时段 2016年 月 日 ：00 ：00 p.m.教 学 目 的1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理重 难 点教 学 内 容 要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：是平行四边形.有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

2、要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关

3、计算问题. 要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、如图所示，在菱形ABCD中，AC8，BD10求：(1)AB的长(2)菱形ABCD的面积 解：(1) 四边形ABCD是菱形 ACBD，AOAC，OBBD 又 AC8，BD10 AO84，OB105 在RtABO中， ， (2)由菱形的性质可知： 举一反三：【变式1】菱形的两条对角线长为6和8

4、，则菱形的边长为_【答案】5；解：设该菱形为ABCD，对角线相交于O，AC8，BD6，由菱形性质知：AC与BD互相垂直平分， ， 【变式2】菱形ABCD中，AB15，若周长为8，则此菱形的高等于( ) A.B.4C.1 D.2 【答案】C；2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F(1)求证：AMDM；(2)若DF2，求菱形ABCD的周长证明：(1)连接DB，则由菱形性质得BDAC又因为EFAC，所以EFBD，即MEBD又因为点E是AB的中点，所以点M是AD的中点所以AMDM(2)由(1)得DBEF又BEDF，所以四边形EFDB

5、是平行四边形所以BEDF2又因为，即AB2BE224所以菱形ABCD的周长为4416举一反三：【变式】菱形ABCD中，E是AB的中点，且DEAB，AB，如图所示求：(1)ABC的度数(2)对角线AC的长(3)菱形ABCD的面积解：(1)连接BD，交AC于点O 四边形ABCD是菱形 ADAB E是AB的中点，且DEAB ADDB， ABD是等边三角形 DBC也是等边三角形 ABC602120(2) 四边形ABCD是菱形 AC与BD互相垂直平分 ， (3)类型三、菱形的判定 1、如图所示，在ABC中，CD是ACB的平分线，DEAC，DFBC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由解：四边形DECF是菱

6、形，理由如下： DEAC，DFBC 四边形DECF是平行四边形 CD平分ACB， 12 DFBC， 23， 13 CFDF， 四边形DECF是菱形举一反三：【变式】如图所示，AD是ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由 解：四边形AEDF是菱形，理由如下： EF垂直平分AD， AOF与DOF关于直线EF成轴对称 ODFOAF， 又 AD平分BAC，即OAFOAE， ODFOAE AEDF， 同理可得：DEAF 四边形AEDF是平行四边形， EOOF 又AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分 AEDF是菱形2、如图所示，在ABC中，B

7、AC90，ADBC于点D，CE平分ACD，交AD于点G，交AB于点E，EFBC于点F 求证：四边形AEFG是菱形 证明：方法一： CE平分ACB，BAC90，EFBC， AEEF，1390，4290 12， 34 EFBC，ADBC， EFAD 45 35 AEAG EFAG 四边形AEFG是平行四边形 又 AEAG， 四边形AEFG是菱形 方法二： CE平分ACB，BAC90，EFBC， AEEF，1390，4290 34 EFBC，ADBC， EFAD 45 35 AEAG 在AEG和FEG中，AEEF，34，EGEG， AEGFEG AGFG AEEFFGAG 四边形AEFG是菱形举一反

8、三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G(1)求证：DEBF； (2)若G90，求证四边形DEBF是菱形 证明：(1)ABCD中，ABCD，ABCD E、F分别为AB、CD的中点 DFDC，BEAB DFBEDFBE 四边形DEBF为平行四边形 DEBF (2)证明： AGBD GDBC90 DBC为直角三角形 又 F为边CD的中点 BFDCDF 又 四边形DEBF为平行四边形 四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用1、如图所示，是一种长0.3，宽0.2的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的

9、中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 ，宽2.8的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖试问： (1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块? (2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?解：墙壁长4.2，宽2.8，矩形瓷砖长0.3，宽0.2，4.20.314，2.80.214，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面 (1)则至少需要这种瓷砖1414196(块)(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有

10、13个，则一共有淡黄色花纹菱形1313169个，面积相等的菱形一共有196169365(个) 一.选择题1对角线互相垂直平分的四边形是( )A.平行四边形B.矩形C菱形D.任意四边形2顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( ) A.矩形B.平行四边形C菱形D.任意四边形3如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF2，那么菱形ABCD的周长是( ) A.4 B.8 C.12 D.16(3) (4) (5) (6)4.如图，在菱形ABCD中，AB=5，BCD=120，则ABC的周长等于（）A20 B15 C10 D55.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若

11、BAC50，则ABC等于（）A40 B50 C80 D1006将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF若AB3，则BC的长为( ) A.1 B. 2 C. D. 二.填空题7已知菱形的周长为40，两个相邻角度数之比为12，则较长对角线的长为_8若菱形的两条对角线长分别是6，8，则它的周长为_，面积为_.9. 已知菱形ABCD两对角线AC 8, BD 6, 则菱形的高为_.10.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PEAB于点E，PE4，则点P到BC的距离是_.(10) (11) (12)11. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB13，AC10，过点D作

12、DEAC交BC的延长线于点E，则BDE的周长为_.12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_.三.解答题13如图，在菱形ABCD中，ABC120，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PBPE的最小值是，求AB的值14如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD若ADBD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论15.如图，四边形ABCD中，ABCD，AC平分BAD，CEAD交AB于E（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断ABC的形状，并说明理由一.选择题1.【答案】C； 2

13、.【答案】C； 3.【答案】D；【解析】BC2EF4，周长等于4BC16.4.【答案】B；【解析】BCD=120，B=60，又ABCD是菱形，BA=BC，ABC是等边三角形，故可得ABC的周长=3AB=155.【答案】C；【解析】四边形ABCD是菱形，BACBAD，CBAD，BAC50，BAD100，CBAD，ABCBAD180，ABC180100806.【答案】D；【解析】DAFFAOOAE30，所以2BECEAE，3BE3，BCBE.二.填空题7.【答案】；【解析】由题意，菱形相邻内角为60和120，较长对角线为.8【答案】20，24；【解析】菱形边长为5，则周长为20，面积为.9.【答案

14、】；【解析】菱形的边长为5，面积为 ，则高为.10.【答案】4在菱形ABCD中，BD是ABC的平分线，PEAB于点E，PE4，点P到BC的距离PE411.【答案】60；【解析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在RtAOB中利用勾股定理求出OB12，BD2OB24，DE2OC10，BE2BC26，BDE的周长为6012.【答案】（3,4）；【解析】过B点作BDOA于D，过C点作CEOA于E，BD4，OA，AD8，解得，所以OEAD853，C点坐标为（3,4）.三.解答题13.解：ABC120 BCDBAD60；菱形ABCD中，ABAD ABD是等边三角形；又E是AB边的中点，B关于AC的

15、对称点是D ，DEAB连接DE ，DE与AC交与P ，PBPD ；DE的长就是PBPE的最小值；设AE，AD， DE，所以，AB.14. 四边形BFDE是菱形，证明：ADBD，ABD是直角三角形，且AB是斜边，E为AB的中点，DEABBE，四边形ABCD是平行四边形，DCAB，DCAB，F为DC中点，E为AB中点，DFDC，BEAB，DFBE，DFBE，四边形DFBE是平行四边形，DEEB，四边形BFDE是菱形15.【解析】解：（1）ABCD，CEAD，四边形AECD为平行四边形，23，又AC平分BAD，12， 13，ADDC， AECD是菱形；（2）直角三角形理由：AEEC24，AEEB，E

16、BEC，5B，又因为三角形内角和为180，245B180，ACB90， ACB为直角三角形一.选择题1.下列命题中，正确的是( ) A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（ ） A.30和150 B.45和135 C.60和120 D.80和1003已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（ ） A6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324.（2012陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交

17、于点O，OEAB，垂足为E，若ADC130，则AOE的大小为（）A75 B65 C55 D505. 如图，五个平行四边形拼成一个含30内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）若四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD面积是11，则四个平行四边形周长的总和为（ ）A.48 B.36 C.24 D.186. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，A120，则图中阴影部分的面积是（）A. B.2 C.3 D.二.填空题7. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线长为_.8如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为4和1，则BC_.9如图，菱形A

18、BCD的边长是2，E是AB中点， 且DEAB，则菱形ABCD的面积为_. 10已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是12，则菱形的两条对角线的长和面积分别是 11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC8，BD6，过点O作OHAB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH 12.（2012西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC12，BD16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使POE为等腰三角形的P点坐标（5，0）和（5，0）请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标_.三.解答题13. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DEA

19、B（1）求ABD的度数；（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EFBD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15如图，菱形ABCD的边长为2，BD2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AECF2(1)求证：BDEBCF；(2)判断BEF的形状，并说明理由；(3)设BEF的面积为S，求S的取值范围【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；2.【答案】A； 【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30，另一个内角为150.3.【答案】C；【解析】设两条对角线的长为.所以有，所以两条对角线的长为12 ，16. 4.【答案】B；【解析】在菱形ABCD中，ADC130，BAD18013050，BAOBAD5025，OEAB，AOE90BAO9025655.【答案】A ；【解析】菱形的面积等于1118，设菱形边