高中 高一 数学 不同函数增长的差异 教学设计

1、.4.3不同函数增长的差异(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章)深圳第二外国语学校 焦凤爱一、教学目标1. 在信息技术的辅助下，了解指数函数、对数函数、一次函数的增长差异；2. 通过图象和表格数形结合地体现各类函数间增长变化的差异，了解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义，提升对三类函数的认识；3. 在认识函数增长差异的过程中，发展数学运算、逻辑推理和数学建模的素养.二、教学重难点1. 在信息技术的辅助下，直观了解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义；2. 几种增长函数模型的应用.三、教学过程1.情境引入，复习回顾问题1：在我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数

2、、指数函数、对数函数中哪些函数在定义域上是增函数？【预设的答案】【设计意图】通过图像可以看到，一次函数、指数函数以及对数函数的增长方式存在很大的差异，为接下来研究这三类不同函数增长方式的差异做铺垫.2.问题探究，学以致用虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.下面就来研究一次函数，指数函数，对数函数在定义域内增长方式的差异.探究一：以函数与 为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异. 分析：(1) 在区间(-,0)上，指数函数值恒大于0，一次函数值恒小于0，所以我们重点研究在区间(0,+)上它们的增长差异.(2) 借助信息技术，在同一直角

3、坐标系内列表、描点作图如下：问题2：观察这两个函数图象及其增长方式，你有什么发现？【预设的答案】结论1：函数与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4);结论2：在区间(0,1)上，函数的图象位于之上;结论3：在区间(1,2)上，函数的图象位于之下;结论4：在区间(2,3)上，函数的图象位于之上.问题3：请大家想象一下，取更大的值，在更大的范围内两个函数图象的关系?【预设的答案】随着自变量取值越来越大，函数的图象几乎与轴垂直，函数值快速增长，函数的增长速度保持不变，和的增长相比几乎微不足道.【设计意图】通过画出特殊的指数函数和幂函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理，数

4、学抽象、数学运算等核心素养.小结：函数与在0,+)上增长快慢的不同如下：虽然函数与在0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度.尽管在x的一定范围内，但由于的增长最终会快于的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有.推广：一般地指数函数与一次函数的增长都与上述类似.即使k值远远大于a值，指数函数虽然有一段区间会小于，但总会存在一个，当时，的增长速度会大大超过的增长速度.例1. 三个变量随变量变化的数据如下表：其中关于呈指数增长的变量是 .【设计意图】通过练习巩固所学知识，巩固对函数增长差异性的认识，增强学生的直观想象、数学抽象、逻辑推

5、理的核心素养.探究二：以函数与为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异. 分析：(1) 在区间(-,0)上，对数函数没意义，一次函数值恒小于0，所以研究在区间(0,+)上它们的增长差异.(2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：问题3：观察这两个函数图象及其增长方式，你有什么发现？【预设的答案】虽然函数与在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异. 在(0,+)上增长速度不变，在(0,+)上的增长速度在变化.随着的增大，的图象离x轴越来越远，而函数的图象越来越平缓，就像与轴平行一样.问题4：将放大1000倍，将函数与比较，仍有上面规律吗？【预设的答案】【设计意图

6、】通过画出特殊的对数函数和幂函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养.推广：一般地，虽然对数函数与一次函数 在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.不论值比值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长会慢于的增长，因此总存在一个，当时，恒有.例2函数的图象如图所示（1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；（2）比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对的大小进行比较). 【预设的答案】（1）对应的函数为，对应的函数为.（2）当时，；当

7、时，；当时，；当或时，【设计意图】通过练习巩固所学知识，巩固对函数增长差异性的认识，增强学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理的核心素养.探究三：类比上述过程，（）画出一次函数，对数函数和指数函数的图象，并比较它们的增长差异；小结：虽然函数，函数与在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异.在上增长速度不变，函数与在上的增长速度在变化.函数的图象越来越陡，就像与轴垂直一样；函数的图象越来越平缓，就像与轴平行一样.（2）试着概括一次函数，对数函数和指数函数的增长差异；推广：一般地，虽然一次函数，对数函数和指数函数在上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数保持固定的增

8、长速度，而指数函数的增长速度越来越快；对数函数的增长速度越来越慢.不论值比值小多少，在一定范围内，可能会小于，但由于的增长会快于的增长，因此总存在一个，当时，恒有；同样，不论值比值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长会慢于的增长，因此总存在一个，当时，恒有.（3）讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义直线上升：增长速度不变，是一个固定的值；对数增长：增长速度越来越慢，图象越来越平缓，就像与轴平行一样；指数爆炸：增长速度越来越快，以相同倍数增加，图象越来越陡，最终就像与轴垂直一样.例3.下列函数中随的增大而增大且速度最快的是（ ）.A. B. C. D. 【预设的答案】结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确.【设计意图】通过练习巩固所学知识，巩固对函数增长差异性的认识，增强学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理的核心素养。例4. 函数的图象如图所示，则可能是（ ）.A.