数学建模与实验常态化教学的实践课件

1、报告人：李 建 平数学建模与实验常态化教学的实践二、对大学数学教学改革的思考三、在大学数学教学中融入数学建模与实验四、高等数学课程实验五、国内数学建模与实验发展现状数学建模与实验常态化教学的实践一、引子“为什么我们的学校总是培养不出杰出人才？”钱学森之问（2005）一、引子1）急功近利的社会大环境的影响学生对学位的追求胜过对学问的追求，教师对自身发展的追求多于对人才培养的追求，教育环境对短期指标的追求大过对立身之本的追求。2）文化和体制的影响青年学生的科学批评精神受到抑制，从小养成崇拜权威和书本的习惯清华大学理学院院长、物理学家、中科院院士朱邦芬教授的思考：一、引子3）教学上的偏差目前全世界诺

2、贝尔奖获得者730人，犹太人占164位，华裔占8位。犹太人问孩子：今天你提了什么问题？我们问孩子：今天老师教了什么？你学了什么知识？差别：我们的学生会学书本知识，但不会提出问题研究问题一、引子教学的两个基本问题（1）教什么？（2）怎么教？共性：教育部标准。符合认知规律。这才是改革的重点！没有必要灌更多。变教学生“学会”为教学生“会学”！一、引子剑桥、MIT等经验。教学改革与创新应突出：研究性教学与研究性学习教学的互动性，学生的主体性，知识的构建性 留给学生自由思考的空间 培养批评性思维的品质和敢于质疑的习惯 营造自主学习、团队学习、研究性学习的氛围 树立挑战难题攀登科学高峰的信心 建立有效的师

3、生交流和个性化指导机制 激发学生热爱学习的兴趣，强化献身科学的志向一、引子数学建模与实验是近30年来国际上大学数学教育的一项重要改革。是问题驱动的研究性教学的典范。是案例教学与个性化教学的典范。是自主学习、团队合作学习的典范。数学建模与实验是突出应用能力与创新能力培养的典范。一、引子2010年8月24日，上海交大“深化数学建模与数学实验课程改革”研讨会。功利主义取向：重竞赛轻建设师资:力量不够，教学观念，和科研的结合，案例目前数学建模与实验教学存在的主要问题学生:动力不足，如考研不做要求百花齐放，加强交流，共享建设成果一、引子2006年，李大潜院士指出，到目前为止，数学建模还只是原有的数学教学

4、体系上的一个补丁，只有将数学建模的思想融入数学类主干课程中去，才能算是真正牢固地占领了阵地。2005年，国防科技大学全面修订工科数学教材，将数学建模与实验融入到教材中。除了保留和加强数学建模、数学实验课程外，在公共课教学中全面推进数学建模与实验进教材、进课堂、进考试。一、引子二、对大学数学教学改革的思考 一个例子引发的思考：当0 x1时，试比较|ln(1+x)|与|ln(1-x)|的大小。方法1 逻辑推导（老师在课堂上只讲了这个方法）方法2 实验观察方法3 几何观察1二、对大学数学教学改革的思考“数学教学，逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练，固然这可以发展形式演算的能力，但却无助于对数学的真正

5、理解，无助于提高数学思维能力。”Courant What is mathematics?二、对大学数学教学改革的思考物理学中的研究方法：观察建模模型的研究得出结论用更多的观察检验模型 乏味的数学教学：定义定理证明 用冰冷的美丽掩盖了火热的思考二、对大学数学教学改革的思考构造数学理论的方式与其它的自然科学并没有什么不同。首先，我们要考虑一些对象并对一些特殊的事例进行观察。接着我们试图要找到一些我们所观察到的结果在应用上的限制，即寻找那些防止我们不正确地把我们所观察的结果扩展到更广泛领域的反例。作为一个结果我们尽可能地明确提出那由经验得来的发现（如费马猜想和庞加莱猜想）。这之后将是检验我们的结论到

6、底有多可靠的困难的阶段（数学证明）。 实验观察与数据实验分析与更多的实验数学模型与验证分析更深入的数学分析或证明二、对大学数学教学改革的思考数学家海姆：实验与猜想是不够的 一位“物理学家”声称：所有大于2的奇数都是素数。 因为： 二、对大学数学教学改革的思考数学教学既要重视抽象思维与严密的数学逻辑演绎推理，也要重视几何与物理的直觉、重视实验观察与事实归纳，要特别重视培养学生多角度思考问题的习惯。要敢于质疑，“我们还能做什么”要成为一种课堂提问的习惯。想别人没有想到的，克服权威崇拜，树立批评意识。要融入数学建模培养创新能力！ 依托数学建模与实验，让数学教学变得生动活泼！ 数学建模不只是一种竞赛，

7、更应成为常态化教学模式。日常教学特别重视多角度看问题，激荡思维几何、物理、数值、分析等角度敏锐的直觉、形式化推导与严格证明结合起来重视知识的联系与发展 变换条件、探索结论、归纳提炼、举例验证、反例说明等多种能力训练二、对大学数学教学改革的思考几个简单的教学实例二、对大学数学教学改革的思考实例1 关于数学的逻辑符号正确正确？二、对大学数学教学改革的思考有界函数-无界函数：否定说法正面说法：反面说法：二、对大学数学教学改革的思考几何意义：有界函数无界函数二、对大学数学教学改革的思考具挑战性的例子：二、对大学数学教学改革的思考 通俗易懂的解释可以帮助学生获得一个透彻的理解。 功夫往往在教材之外。 只

8、有关注学生的困惑，教学才会相长。二、对大学数学教学改革的思考问题：给出可微但偏导数不连续的例子。一元函数的情形：二元函数的情形：将上述函数的曲线绕 z 轴旋转实例2 二元函数中的反例二、对大学数学教学改革的思考问题：给出一个二元函数在一点处恰有一个偏导数不存在的例子。低维对高维的启发案例学习隐含重要的数学思想与运用二、对大学数学教学改革的思考问题：给出平面Ax+By+Cz=1与椭球面相交、相切和相离得条件。原点到平面的距离结论：特殊对一般的启发二、对大学数学教学改革的思考实例3 方括号函数二、对大学数学教学改革的思考几何解释地板函数：Floorx天花板函数：Ceilingx?分段表达式二、对大

9、学数学教学改革的思考方括号函数的几何图形美丽的阶梯曲线引导学员欣赏数学的美！多角度讲解加深理解二、对大学数学教学改革的思考 数学是科学的皇后。不要让她冰冷的美丽，高贵的气质，扼杀我们火热的思考。 不要拿数学吓唬学生，不要让学生对数学只有敬畏与害怕，要让学生感觉数学有趣、有用。 不要给学生留下数学就是公式的错误印象。要学会数学地思考，公式是思考的自然结果。二、对大学数学教学改革的思考实例4 中值定理推广(朱健民教授钱班教学案例）最重要的公式！问题：向量值函数r=r(t)成立微分中值定理吗？反例：问题深入：对向量值函数有类似微分中值定理的结论吗？运动观点的结论：存在时刻 t =c 使二、对大学数学

10、教学改革的思考问题再深入：能根据已有的知识基础给出上述结论一个严格证明吗？似乎是个完美证明！但是问题的最终解决：有点现代数学的味道了！二、对大学数学教学改革的思考问题：实例5 三矢量双重向量积与 和 共面形式化推导的关键：证明可以用验证的方法。探索结论并不比证明容易！结论：二、对大学数学教学改革的思考传统数学教学强调知识的系统性、完备性、严密性与技巧性大学数学教学传统特点与改革动向 优化、更新教学内容，通过实例化教学拓展知识视野传统数学教学注重抽象分析和逻辑推理能力的培养通过多样化的教学形式，发展学生全面综合素质二、对大学数学教学改革的思考传统数学教学以理论教学为主，缺少以现实世界为背景的实例

11、 重视数学建模，加大实践性教学力度，提高学生用数学的能力很少将现代教育技术手段融入到教学中 充分利用信息技术，广泛开展多媒体教学、网络教学与实验教学，提高教学的效果与效率三、在大学数学教学中融入数学建模与实验高等数学线性代数概率统计数学实验与建模第二课堂与学科竞赛融入数学实验与建模的思想方法穿插数学软件学习使用四年内贯彻数学素质与创新能力培养提高用数学的能力培养创新能力三、在大学数学教学中融入数学建模与实验1.在教材中融入2.在教学中融入3.在考试中融入将问题贯穿于教学全过程，实现教学模式的创新用现代观点处理教学素材，实现教学内容的创新将数学软件应用于课堂教学，实现教学手段创新。 三、在大学数

12、学教学中融入数学建模与实验1.在教材中融入 高等数学（上、下），国防科技大学高等教育出版社，2007.5三、在大学数学教学中融入数学建模与实验主要特色：贯彻现代教育理念，运用现代教育技术，优化更新微积分内容，努力实现课程体系和内容的整合 在教材中，穿插数学软件的学习与使用，融入数学实验与数学建模的思想方法 突出数学思想，通过多角度描述来加深对内容的理解 习题分为基础题、综合题、应用题、实验题 三、在大学数学教学中融入数学建模与实验案例1(内容章节：函数）问题.试建立一个数学模型，反映人对金钱的态度。 （1）从直觉开始 用 x 表示钱数，u 表示人的满意度（0 u b) （5）参数的意义 （6）

13、变化率与微分方程模型 满意度的变化率与不满意程度成正比三、在大学数学教学中融入数学建模与实验 （7）其它应用 1）风险投资 参数 表示反感冒险系数 2）培训：从入门到精通 用 t 表示时间，u 表示知识掌握程度 参数 表示学习能力三、在大学数学教学中融入数学建模与实验案例2(内容章节：曲率） 高速公路、铁路以及过山车等都要考虑弯道设计（离心力）。三、在大学数学教学中融入数学建模与实验问题.如何度量曲线的弯曲程度。 P0M1M2M3M0弯曲的细棒切线的转角越大，弯曲越大M0M1M3M2弧长越大，弯曲越小 （1）影响因素分析三、在大学数学教学中融入数学建模与实验 曲线的弯曲程度（平均曲率）与切线的

14、转角成正比，与弧长成反比。 （2）形成概念 曲率是平均曲率的极限值，是切线转角关于弧长变化率的绝对值。三、在大学数学教学中融入数学建模与实验 实例1：直线是不弯曲的。 （3）特例验证AB 实例2：同一圆上每一点的弯曲一样。不同圆半径越小越弯曲。OABRR三、在大学数学教学中融入数学建模与实验 （4）计算公式（理论推导）曲率曲率圆半径 （5）应用举例例子1：椭圆型工件打磨三、在大学数学教学中融入数学建模与实验例子2：铁路缓和曲线设计RyxOAl三次缓和曲线：DRCmv离心力这是一个很恰当的数学建模的例子三、在大学数学教学中融入数学建模与实验案例3(内容章节：可逆矩阵）字母ABCDEFGHI JK

15、LM表值12345678910111213字母NOPQRSTUVWXYZ表值1415161718192021222324250Lester S. Hill(18911961)问题的引入：希尔密码三、在大学数学教学中融入数学建模与实验Ai = iBi = i 问题1: 加解密方阵A和B之间有什么关系？ 问题2: 已知两者中的一个, 如何求另一个？AB = BA = E 三、在大学数学教学中融入数学建模与实验实例演示Our marshal was shot ou rm ar sh al wa ss ho tt ek rm kb ix yj yc ee ls hh分组查表加密模运算密文解密明文密钥三

16、、在大学数学教学中融入数学建模与实验案例4(内容章节：方向导数与梯度） 在和风细雨的操坪上放了一个橄榄球，求其上一雨点下滑的轨线。最速下降曲线及其投影三、在大学数学教学中融入数学建模与实验3.在考试中融入三、在大学数学教学中融入数学建模与实验三、在大学数学教学中融入数学建模与实验什么是数学实验？ 以问题为载体，以计算机为手段，以数学软件为工具，以学生为主体的探索活动统称为数学实验。 数学实验就是不直接把现成的结论教给学生，而是根据数学思想的发展，创造问题情境，让学生进行大量的图形观察和实际问题的演算，从直观想象进入到发现、猜想和归纳，然后进行验证及理论证明。 四、高等数学课程实验实验、探究、发

17、现将成为为重要的学习方式。影响学生的数学学习方式影响数学教师的教学方式数学实验确定了学生认知主体的地位，给学生创设了实践的良好环境。 通过数学实验，培养学生的创新思维能力 利用观察性实验，鼓励学生猜想归纳 利用验证性实验，更好地理解理论方法利用探索性实验，培养多角度创新性思考四、高等数学课程实验数学概念的抽象性通常都有某种“直观”的想法为背景。在教学过程中可通过数学实验，把这种“直观”的背景实验化、可视化，通过多角度的展示引导学生抓住其本质，了解它的变形和发展及与其它问题的联系。 通过数学实验，突破课堂教学中的难点 通过数学实验，加强学生“用数学”的意识和能力 四、高等数学课程实验 （1）将数

18、学软件与实验融入到教材中，通过数学实验诠释数学问题的实质。课程实验的三个环节 （2）在课堂教学中开展实验演示，将抽象的数学内容可视化、实验化，化解教学难点。 （3）在课后留验证性、开放性问题供学生实验探索，鼓励学生自己寻找问题，促进创新能力培养。四、高等数学课程实验数学实验教学两种模式：实验课程，课程实验1.教材融入举例（1）极坐标方程的图形：熟悉数学软件使用，激发兴趣四、高等数学课程实验（2）双极函数利用数学软件，开展实验探索四、高等数学课程实验四、高等数学课程实验四、高等数学课程实验（3）函数极值的一个反例 函数单调性的分界点是函数的极值点，反之不真。化解教学难点四、高等数学课程实验（4）

19、空间形体的截痕四、高等数学课程实验（5）曲顶柱体的体积概念引入直观化、实验化、可视化四、高等数学课程实验（6）数列的极限四、高等数学课程实验2.课堂演示实验举例当一个动圆沿直线滚动时，动圆上（内、外）一定点的轨迹是什么？（1） 摆线与旋轮线四、高等数学课程实验当一个动圆沿定圆（在定圆内、外）滚动时，动圆上（内、外）一定点的轨迹是什么？圆内旋轮线 圆外旋轮线四、高等数学课程实验(3)傅里叶级数的收敛性与吉布斯现象四、高等数学课程实验(2)空间立体的变化（朱建民教授钱学森班教学案例）四、高等数学课程实验LWHLet B be a solid box with length L, width W,

20、and height H. Let S be the set of all points that are a distance at most 1 from some point of B. Express the volume of S in terms of L, W, and H.四、高等数学课程实验H(4)条件收敛级数的重排 一个条件收敛的级数可以通过交换它的项的前后位置得到一个新的重排级数能收敛到任何预先给定的实数。四、高等数学课程实验重排级数收敛于1四、高等数学课程实验(5)曲面的面积 一般光滑曲线的弧长可以用其内接折线长的极限来计算。是否可以用光滑曲面的内接多面形的极限来计算曲

21、面面积？四、高等数学课程实验许瓦兹的例子 四、高等数学课程实验数学实验理论分析四、高等数学课程实验进一步分析四、高等数学课程实验2.课后实验项目四、高等数学课程实验实验演示：1）蒲丰投针2）蒙特卡洛随机模拟3）无理数数字串的随机特性四、高等数学课程实验（2）定积分数值计算从数值实验看辛普森公式四、高等数学课程实验（3）分形实验演示： L系统 -植物的算法美四、高等数学课程实验（4）图像信息隐藏函数 四、高等数学课程实验通俗易懂的解释可以帮助学生获得一个透切的理解。 在教学中贯彻多角度的思考方法不仅提升学生思维品质，而且可以提高教学效果。数学实验是一种很重要的教学角度。四、高等数学课程实验尽管教

22、授从科研中比从教学中获益很多，但是教学所带来的成就感使得多数教授甘心把时间花在课堂教学上。-哈佛校长博克回归大学之道发挥团队的力量，不断积累，教学越来越精彩！四、高等数学课程实验更多的例子高等数学课程实验科学出版社，2011.4四、高等数学课程实验四、高等数学课程实验五、国内数学建模与实验发展现状20世纪80年代：建模课程80年代初开始进入少数几所大学数学系的课堂，到80年代末有几十所学校开设建模课程（主要在数学系），1989年开始少数学校学生参加美国大学生数学建模竞赛，出版几本教材。20世纪90年代：建模课程由数学系推广到理工、经管等学生，到90年代末有几百所学校开设，1992年全国大学生数学建模竞赛开始举办，到2000年有517所学校3210队参加，出版约50本