微分中值定理课件

1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 高 等 数 学 A（1）第十六讲 微分中值定理授课教师：彭亚新高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 第五章 微分中值定理本章学习要求： 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。 第五章 微分中值定理本章学习要求：第一节 微分中值定理第五章 微分中值定理一. 费马定理二. 罗尔中值定理三. 拉格朗日中值定理四. 柯西中值定理第一节 微分中值定理第五章 微分中值定理一. 费马定费马定理罗尔中值定理拉格朗日

2、中值定理柯西中值定理泰勒中值定理 微分中值定理费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理 我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”. 这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日、柯西等数学家. 我们常常需要从函数的导数所给出极值的定义极值的定义一. 费马定理 可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理一. 费马定理 可微函数在区间内部取极值的必要费马定理的几何解释 如何证明？费马定理的几何解释 如何证明？则有于是（极

3、小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？则有于是（极小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？但是不保证在内部！但是不保证在内部！水平的可保证在内部一点取到极值水平的可保证在内部一点取到极值二. 罗尔中值定理设则至少存在一点定理二. 罗尔中值定理设则至少存在一点定理 实际上, 切线与弦线 AB 平行. 实际上, 切线与弦线 AB 平行.最小值至少各一次.证最小值至少各一次.证最小值至少各一次.由费马定理可知：最小值至少各一次.由费马定理可知：例1证其中,例1证其中,综上所述,综上所述,连续可微端点函数值相等例2分析连续可微端点函数值相等例2分析例2证由罗尔定理, 至少存在一点例2证由

4、罗尔定理, 至少存在一点 分析问题的条件, 作出辅助函数是证明的关键 . 分析问题的条件, 作出辅助函数是证明的关键 且满足罗尔定理其它条件,例3证且满足罗尔定理其它条件,例3证想想, 看能不能找到证明的方法.例4分析想想, 看能不能找到证明的方法.例4分析例4证则由已知条件可知:例4证则由已知条件可知:该矛盾说明命题为真 .如果使用一次罗尔定理后, 能否再一次使用罗尔定理?如果需要, 当然可以使用.该矛盾说明命题为真 .如果使用一次罗尔定理后, 能否再一次使例5证例5证例6证例6证三. 拉格朗日中值定理设则至少存在一点定理三. 拉格朗日中值定理设则至少存在一点定理 切线与弦线 AB 平行如何

5、利用罗尔定理来证明？ 切线与弦线 AB 平行如何利用罗尔定理来证明？则由已知条件可得：故由罗尔定理, 至少存在一点证则由已知条件可得：故由罗尔定理, 至少存在一点证定理的证明方法很多, 例如, 可作辅助函数拉格朗日有限增量公式定理的证明方法很多, 例如, 可作辅助函数拉格朗日有限增量某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们, 在 t=a 到t=b 的时间段内, 连续运动的物体至少会在某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们, 在 t还有什么？还有什么？推论 1推论 1推论 2( C 为常数 )推论 2( C 为常数 )推论 3 用来证明一些重要的不等式推论 3 用来证明一些

6、重要的不等式推论 4 用来判断函数的单调性推论 4 用来判断函数的单调性在推论 4 中, 在推论 4 中, 推论 5则再由推论 4 , 即得命题成立 . 该推论可以用来证明不等式.证推论 5则再由推论 4 , 即得命题成立 . 该推论可以用例11解例11解例9证延拓!例9证延拓!例10证从而例10证从而解例7解例7例12解例12解又故从而即例13证又故从而即例13证即例14证即例14证故从而例8证故从而例8证 在拉格朗日中值定理中, 将曲线用参数方程表示 , 会出现什么结论？ 在拉格朗日使曲线在该点的切线与弦线平行, 即它们的斜率相等.注意:并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定.使曲线在该点的切线与弦线平行, 即它们的斜率相等.注意:并不四. 柯西中值定理设则至少存在一点四. 柯西中值定理设则至少存在一点有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理, 就可证明柯西中值定理了.有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理, 就可证明柯西中值故 由罗尔中值定理至少存在一点使得亦即证故 由罗尔中值定理至