(完整word)等差数列专题

1、（完整（完整word）等差数列专题等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母虫表示;.等差数列的通项公式3.若等差数列a3.若等差数列a的首项是a,等差中项01公差是d,则其通项公式为an=a1+(n1)d=(nm)d=p.如果三个数*,4，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果人是x和y的等差中项，则Ax+y.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a,=am+(nm)d(n,mN*).(2)若an为等差数列，且m+n=p+q

2、,则a+a=a+a(m,n,p,qN*).(3)若匕是等差数列，公差为d,则ak,ak+,ak+2,(k,mN*)是公差为md的等差数列.(4)数列nSm,S2mSm,S31s2m，也是等差数列:mk+2m(5)S2n_1=(2n1)an。nd(6)若n为偶数，则S偶一S奇二；若n为奇数，则S奇一S偶=2中(中间项).等差数列的前n项和公式若已知首项a1和末项an,则与=错误!，或等差数列第的首项是a1,公差是d,则其前n项和公式为Sn=na1+错误!d.nnn1n.等差数列的前n项和公式与函数的关系S=错误!n2+错误!门,数列2是等差数列的充要条件是S=An2+Bn(A,B为常数).最值问

3、题nn若a1V0,d0,则Sn存在最小值.在等差数列凡中，a1若a1V0,d0,则Sn存在最小值.一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式:Sn=a+a+a+Fan,Sn=an+an一+a,+得:s=najan。n2两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元.(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为二；a2d；ad,a,a+d,a+2d,.(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为,a3d,ad,a+d,a+3d,，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于nN2的任意自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中项

4、法:验证2an1=an+an2(n3,neN*)成立；(3)通项公式法：验证an=pn+q；(4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列.回顾:.已知等差数列同中，as=9,a/3,则公差d的值为（）A.B.1C.D.-12.已次口数列aj的通项公式是a：2n+5,贝I立匕数列是（）A.以A.以7为首项，公差为2的等差数列C.以5为首项，公差为2的等差数列B.以7为首项，公差为5的等差数列D.不是等差数列3.在等差数列a中，a=13,a=12,若a=2则n等于（A.3.在等差数列a中，a=13,a=12,若a=2则n等于（A.4

5、.A.23B.24C.25两个数1与5的等差中项是（B.3C.D.26D.5.（2005黑龙江）如果数列an是等差数列，则（）A.a1+a8a4+a5B.ajagaq+asA.a1+a8a4+a5B.ajagaq+asC.a1+a82时，a=S-S=(12n-n2)-12(n-1)+(n-1)2=13-2n，TOC o 1-5 h znnn-1当n=1时，132x1=11=a,/.a=132n。1n13由a=13-2n0，得n一，/.当1n0；当n7时，a0。n2nn(1)1a+(1)1a+a+a=a+a+a23123=S=12x332=27；3a+aa+a+aHFa=a+a+aHFa一(a+

6、a+a10123+a)10=2S-S=2(12x6-62)-(12x10-102)=52.61011n当n7时，a+a+a+a=a+a+a+a一(a+a+a)=2S一S=2(12x6-62)-(12n一n2)=n2-12n+72.6n对应练习：5、已知S对应练习：5、已知S为等差数列a的前n项和，S100,S100二10，求S110。考点2：证明数列是等差数列【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有:1、定义法：aa【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有:1、定义法：aan+1n=d（neN，d是常数）oa是等差数列;2、中项法：2a=a+a(neN)on+1nn+2+n是等差数列;

7、n3、通项公式法：a=kn+b（k,b是常数）o（a是等差数列;4、项和公式法：S4、项和公式法：S=An2+Bn（A,B是常数，A丰0）on【例4】已知S为等差数列a的前n项和，b（a是等差数列.n求证：数列求证：数列（是等差数列.n解：方法1：设等差数列解：方法1：设等差数列的公差为d，nS=na+n(n-1)dn12二.bn（完整（完整word）等差数列专题（完整（完整word）等差数列专题11d,：.b-b=a+nd-a-(n-1)d=(常数)n+1ni11d,：.b-b=a+nd-a-(n-1)d=(常数)n+1ni2i22，数列bn是等差数列.方法2：:bn=a+2(n-1)d,1

8、,1/.b=a+ndb=a+(n+1)dn+112，n+212.b+b-an+2n1+i(n+1)d+a+：(n-1)d-2a+nd=2b21,n+1.数列弘n是等差数列。对应练习：6、设S为数列na的前n项和,nS-pna(neN)，nn+（1）常数P的值；（2）证：数列an是等差数列.考点3:等差数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.【例5】1、已知S为等差数列a的前n项和则S112、知S为等差数列a的前n项和，S=m,S=n(n丰m),则Smm+n解:1、S1111(a+a)11-211X2a6-11a-1100.2、方法1：令S-An2+Bn，则nAn2+Bn-mAm2+B

9、m-nnA(n2-m2)+B(n-m)-m-n.n丰m，/.A(n+m)+B=-1,/.S=A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n);m+n方法2:不妨设mn(m-n)(a+a)SS-a+a+a+a+a=n+mnm.mnn+1n+2n+3m-1m2:a+a=a+a=-2，1m+nn+1m:Sm+n(m+n)(a+:Sm+n1m1n-=(m+n)；方法3：是等差数列，：Sn1为等差数列nnJ三点共线.1)mlnm+n)三点共线.nm-nm-mnm-nSm+nm+nn对应练习：7、含2n+1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（.2n.2n+1n+1AB.nnn-1n+1C.D.n2n8.设S、T分别是等差数列8.设S、T分别是等差数列a、a的前n项和nnnna则5=b5考点4：等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用a与S的关系式及等差数列的通项公式可求;2、求出T后，判断T的单调性.【例6】已知S【例6】已知S为数列L的前n项和，S1=n2211+n;数列b满足:b=11b=2b-b，其前9项和为153.n+2n+1n数列a、b的通项公式；nn设T为数列设T为数列c的前n项和(2a11)(2b1)求使不等式T=对VneN都成立的n57+最大正整