平行四边形经典例题讲解(3套)

1、（附带详细答案）E、FD F C ABCD ADBE DF，BCD C ABCDB C 180B D（附带详细答案）E、FD F C ABCD ADBE DF，BCD C ABCDB C 180B DC D 180AD BC ABCDAB CD 3，BC AD 6ABCD 2 6 2 3 18D C ACABCD对角线 AC BE中，6, AB上两点，BC AD3，DF AF，求证：BCCE，1如图， 是平行四边形A E B 【答案】 证明：平行四边形ACB CAD又 ，BEC DFABECDFACE AF2如图 6，四边形 ABCD 中，ABCD，B=D，求四边形 ABCD 的周长【答案】

2、20、A B 解法一 : 又 即得 是平行四边形四边形 的周长解法二 : A B 连接ABCDBAC DCAB D，ACABC CDAAB ABCDBAC DCAB D，ACABC CDAAB CD 3，BCABCDD C BDABCDABD CDBABC CDACBD ADBAD BC ABCDAB CD 3，BC AD 6ABCD 2 6 2 3 18E，F ABCD AC AFAFDCEBABCDC B QDFBE，CEB(SAS)CAAD 62 6 2 3 18CE，DFDFECEBBE，DFBEF AFD DFE 又BEQQ AF CE，DF180，BE，又 四边形 的周长解法三 :

3、 A B 连接又 即 是平行四边形四边形 的周长3.（在四边形 ABCD 中，D=60，B比A大 20，C 是A的 2倍，求A，B，C的大小【关键词】多边形的内角和【答案】设 A x（度），则 B x 20， C 2x根据四边形内角和定理得， x (x 20) 2x 60 360解得， x 70 A 70 ， B 90 ， C 140 4（如图， 是四边形 的对角线 上两点，求证：（1） （2）四边形 是平行四边形D E F A 【关键词】平行四边形的性质 ,判定【答案】证明： （1） ，CEB BEF 180 AFDAFD AFDCEB DAC BCA，AD BCABCDABCD中，点 E

4、BCEC CFEFM ，使得四边形 DMEP AFDCEB DAC BCA，AD BCABCDABCD中，点 E BCEC CFEFM ，使得四边形 DMEP 是平行四边形？若存在，D P E EF四边形 ABCD 为正方形ABDMEPBE，连接 ME 、 MD 、DP ADCP于点A C BCP（如图 AE与D B 13-2），试判断E 四EPC 的大小关系，边形 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5）25如图 13-1，在边长为 5的正方形 、F分别是 、DC边上的点，且 AE EF ，BE 2. （1）求 的值；（2）延长 交正方形外角平分线并说明理由；（3）在图 1

5、3-2 的 AB 边上是否存在一点请给予证明；若不存在，请说明理由A F F B 【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）Q AE2 3 90QB C 901 3 901 2Q DAM ABE 90，DADAM ABEDM AEQ AE EPDM PE四边形 是平行四边形解法 ：在 AB 边上存在一点 M ，使四边形 DMEP 是平行四边形证明：在 AB 边上取一点 M ，使 AMAD BA， DAM ABE 90RtDAM RtABEDM A， 1 4Q 1 5 904 5 90AE DMQ AE EPD P E y2) xx m（A、O、C E点坐标（用含 mm的值及四边形 ABEFx

6、 C ax2，直线D P E y2) xx m（A、O、C E点坐标（用含 mm的值及四边形 ABEFx C ax2，直线m 2 E（点 E E、D、Bbxm mc（a（0）的图象经过点2）与 xA(1，0)轴交于点 ，B(2，0) ，D四边形 DMEP 为平行四边形A 4 M F B 6（2009年广州市）如图 9，在ABC 中，D、E、F分别为边 AB、BC、CA 的中点。证明：四边形 DECF 是平行四边形。【关键词】平行四边形的判定【答案】 D.E、F分别为 AB.BC.CA的中点，DFBC，DEAC，四边形 DECF是平行四边形 . 7（2009 年包头）已知二次函数C(0，（1）求

7、二次函数的解析式；（2）在直线 ）上有一点 在第四象限），使得 为顶点的三角形与以 为顶点的三角形相似，求 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下， 抛物线上是否存在一点 F ，使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在，请求出 的面积；若不存在，请说明理由y O 【关键词】二次函数、相似三角形、运动变化、抛物线4a 2b c 0，B x E1 E2) ax2EDBAOCAO CO AO COAO 1，CO 2，BD m 2，AO CO 1 2EDEAOED mEF ABEF的横坐标为EF2 m2m7)(mD 4a 2b c 0，B x E1 E2) ax2EDBAOCAO CO AO C

8、OAO 1，CO 2，BD m 2，AO CO 1 2EDEAOED mEF ABEF的横坐标为EF2 m2m7)(mD 1，b3x或 ，时，得m 22E1 m，COE2(m411(22)3，c2，22时，得2m)的坐标为在抛物线的图象上，m 1)211m0，2m12m，23(m142EDm21) 2，0，时，点EDF2m14的坐标为，m 1，2m2，解：（1）根据题意，得c 2.y A O (F2)F1C (x=m) 解得y（2）当 时，得ED BD BD ED当 ，ED BD ED m 2点 在第四象限，当BD点 在第四象限，（3）假设抛物线上存在一点 ，使得四边形 为平行四边形，则EF

9、AB 1，点 F m 1，当点点2(2mmFSYE (m4 2m) F (mF 在抛物线的图象上，4 2m22)(mF (4，SYY A M O N C DOE ABCDADBCEDO FBO， E FOD OBDON7，25，1ABEF2 22(7m5)mFSYE (m4 2m) F (mF 在抛物线的图象上，4 2m22)(mF (4，SYY A M O N C DOE ABCDADBCEDO FBO， E FOD OBDON7，25，1ABEF2 22(7m5)2ABEFABCD BD O作直线 EF DAA D E F B BOF ；DOEm321的坐标为 时，点 的坐标为m 1)21

10、00， m6)1 6D C BOF AAS2（舍去），4341，43(m0，2 m，6F ，342m)1)（舍去），2，5，当点点m(m注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分8（2009年莆田）已知：如图在 中，过对角线 的中点 分别交的延长线、 AB、DC、BC 的延长线于点 E、M、N、F。（1）观察图形并找出一对全等三角形： _ _，请加以证明；E M O N B （2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？【关键词】四边形、全等三角形、变换（1）证明：四边形 是平行四边形又BOM ABCDABCDMBO NDO， BMO DNOBO

11、 DOCDBABCDABCDMBO NDO， BMO DNOBO DOCDBABCDAD CB，AB CDBD DBO旋转180后得到或以点 O为中心作对称变换得到YAB OO到CD mm CD OBOM ；ABDABCD AB 10，AD=m， DDON AASCDB SSS60，又 ABD 证明：四边形 是平行四边形又（2）绕点 8分9(2009年温州)在所给的 9方格中，每个小正方形的边长都是 1按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上(1) 在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数； (2) 在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数 (注：图甲、图乙在答题

12、纸上 ) 【关键词】平行四边形的性质，判定【答案】解：（1）（2）10（2009年中山）在 中，以 为直径作 ，（1）求圆心 的距离（用含 的代数式来表示） ；（2）当 取何值时， 与 相切A B A，O两点作 AE CD，OF CD E F就是圆心 的距离四边形 是平行四边形，A O B RtAEm3OF为 的直径，且OF 5时， CD3mD E F C ADE，m3A B A，O两点作 AE CD，OF CD E F就是圆心 的距离四边形 是平行四边形，A O B RtAEm3OF为 的直径，且OF 5时， CD3mD E F C ADE，m3210，O相切于 Fm10 33A O B 中

13、，AEm，点，5，时， 与D32mCD 60，sinm，OF10 33O相切DAE，AEAD32， msin60AD，AE，O C 【关键词】利用平行四边形证明线段相等【答案】（1）分别过 ，垂足分别为点 ，点 ，AEOF，OF O到CDQ ABCDABCD， AE OFD E F C 在32圆心到 CD 的距离 PF为2（2）QAB O AB当 与即2当11(2009 年宁德市 )（本题满分 8分）如图：点 A.D.B.E 在同一直线上， AD=BE，AC=DF，ACDF，请从图中找出一个与 E相等的角， 并加以证明（不再添加其他的字母与线段）F F D B E ADBF F D B E A

14、DBC 6cm 4cm，由 B出发沿 BD 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由BD t（s）0 t 5）解答下列问题：t PEAB？PEQ 的面积为 y（cm2），求 y 与t之间的函数关系式；t，使 t的值；若不存在，PF PFCDES S2PEQ BCD25A D B E 【关键词】平行四边形的判定【答案】解法 1：图中 CBAE 证明： ADBE ADDBBEDB 即ABDE ACDF AFDE 又ACDF ABCDEF CBAE C A 解法 2：图中 FCBE 证明： ACDF，ACDF 四边形 ADFC 是平行四边形CFAD，CFAD ADBE CFBE，CFB

15、E 四边形 BEFC 是平行四边形FCBE 12（2009年山东青岛市） 如图，在梯形 ABCD 中， ，AD ，CDBC BD 10cm，点 PDC 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为 1cm/s，交 于Q，连接 PE若设运动时间为（1）当 为何值时，（2）设 （3）是否存在某一时刻 ？若存在，求出此时说明理由（4）连接 ，在上述运动过程中，五边形 的面积是否发生变化？说明理由E F E N F PE ABDE DPDE ，DP 10 t，t 10 tt154EF CDCDEFDEQBCDEQDE EQE F E N F PE ABDE DPDE ，DP 10 t，t 10 tt154EF

16、CDCDEFDEQBCDEQDE EQEQ tBMCD CD M P作PN102EDD C D M C ，154C，BDCDEQ 25EF EF N22DQDQE10，DQEBCD，交 于 100 4BPBDCBDC96t4 6，Q P B 【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算【答案】A Q P B 解：（1）DA DB而6 10当 t (s)，PE AB（2） 平行且等于 ，四边形 是平行四边形BC CDt EQ10 4过 B作 ，交 于 ，过BMPQPNQ PNBM2t4 64 6 112SS4 6t1t，10 t，FBP，PFCDES8 6PFCD

17、E10 2tBMD ，PNt5EQgPN1gCDBCD2PEQt2，t2PDE PDESPDE四边形PQPNQ PNBM2t4 64 6 112SS4 6t1t，10 t，FBP，PFCDES8 6PFCDE10 2tBMD ，PNt5EQgPN1gCDBCD2PEQt2，t2PDE PDESPDE四边形PFCD的面积不变，1 2t2 52254 654和FBPS4 6 1gBMStFBP四边形PFCDt512BCD225中，4 6254 4 6，8 6t28 6，4 65t又PQBD1010PNSPEQ（3）若则有25解得（4）在DE BPPD BFPDES五边形SFBPSBCD在运动过程中

18、，五边形13(2009 年达州 )如图 10，O的弦 ADBC,过点 D 的切线交 BC 的延长线于点 E，ACDE 交 BD 于点 H，DO 及延长线分别交 AC.BC 于点 G、F. (1)求证： DF垂直平分 AC；（2）求证： FCCE；（3）若弦 AD5，AC8，求 O的半径 . （附带答案 2）3倍，那么这个平行四边形的【关键词】圆 ,平行四边形（附带答案 2）3倍，那么这个平行四边形的【答案】（1）DE 是O 的切线，且 DF过圆心 O DFDE 又ACDE DFAC DF 垂直平分 AC （2）由（ 1）知： AG=GC 又ADBC DAG=FCG 又 AGD=CGF AGDC

19、GF（ASA）AD=FC ADBC 且 ACDE 四边形 ACED 是平行四边形AD=CE FC=CE5 分（3）连结 AO； AG=GC，AC=8cm ，AG=4cm 在 RtAGD 中，由勾股定理得 GD=AD2-AG2=52-42=3cm 设圆的半径为 r，则 AO=r，OG=r-3 在 RtAOG 中，由勾股定理得 AO2=OG2+AG2 有：r2=(r-3)2+42 解得 r=256 O 的半径为 256cm. 经典例题例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的四个内角各是多少度？根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数设平行四边形的一个内角的度数为，解得45，135，

20、45，135的周长为 60cm，对角线 AC、BD相交于点 O，的周长多 8cm，求这个平行四边形各边的长平行四边形周长的一半的周长多 8cm，可知四边形根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数设平行四边形的一个内角的度数为，解得45，135，45，135的周长为 60cm，对角线 AC、BD相交于点 O，的周长多 8cm，求这个平行四边形各边的长平行四边形周长的一半的周长多 8cm，可知四边形19cm，11cm，19cm，11cm1）平行四边形两邻边之和等于平行中，观察图形，在x，则它的邻角的度数为 3x，根据，cm，由此两为平行四边形，交于点 O，过 O点作 EF交 AB、

21、，从而可中，交于 O，解题意，得这个平行四边形的四个内角的度数分别为例 2 已知：如图，的周长比分析 由平行四边形对边相等，可知30cm，又由 的周长比式，可求得各边的长解，答：这个平行四边形各边长分别为说明：学习本题可以得出两个结论：（四边形周长的一半（ 2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差例 3 已知：如图，在CD于 E、F，那么 OE、OF是否相等，说明理由分析说明证明，与 都是直角三角形，且锐角，因此这两个直角三角形全等。 在这个图形中，全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。四边形 ABCD是矩形，的周长为 59，的周长之差为，与 都是直角三角

22、形，且锐角，因此这两个直角三角形全等。 在这个图形中，全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。四边形 ABCD是矩形，的周长为 59，的周长之差为 15，则ABCD中，的周长. ABCD中，的周长，。， ，_， ABCD，. . 例 4 已知：如图，点 E在矩形 ABCD的边 BC上，且垂足为 F。求证：分析 观察图形，斜边若连结 AE，则 与证明，又例 5 O是 ABCD对角线的交点，则 _，若 与的周长=_. 解答：在的周长ABCD的周长与已知：如图，. . ，. . 解题关键是把几何问题转化的周长ABCD的周长是. ，由钝角顶点 D向ABCD的周长与已知：如图，. . ，. . 解题关

23、键是把几何问题转化的周长ABCD的周长是. ，由钝角顶点 D向 AB，BC引两求这个平行四边形的面积 . 说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将的差转化为两条线段的差 . 例 6 条高 DE，DF，且解答：设 四边形 ABCD为平行四边形，又四边形 ABCD的周长为 36，解由，组成的方程组，得说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，为方程组的问题 . （附带详细答案 3）。B、3和 2 ABCD 是平行四边形，故（2006 年枣庄市）如图）B、2m22 ABCD 是平行四边形，故（2006 （附带详细答案 3）。B、3和 2 ABCD 是平行四边形，故（2006 年枣庄市）如图）B、

24、2m22 ABCD 是平行四边形，故（2006 年北京市海淀区）如图BE=DF。ABEABCD 是平行四边形，故C、4和 1 AD/BC，AD=BC 。所以 DAE=BEA。又2，平行四边形C、1m11 AO=CO，DO=BO，又 AC=12，BD=10，则3，平行四边形CDF。AB=CD ，B=D。又 BE=DF，所以 ABED、1和4 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点D、5m6 ABCD 中，E、F 分别是 BC 和例 1 （2006年河北）如图 1，平行四边形 ABCD 中，AD=5 ，AB=3，AE 平分 BAD交 BC 边于点 E，则线段 BE、EC 的长度分别是（A、

25、2和 3 解析：因四边形AE 平分 BAD，故BAE= DAE= BEA。所以 AB=BE=3 ，CE=53=2。故选 B。例 2O，如果 AC=12，BD=10，AB=m，那么 m的取值范围是（A、10m12 解析：因四边形AO=6，BO=5。故 65m6+5，即 1m11。故选 C。例 3AD 上的点，并且求证：证明：因四边形4，AD=BC ，要使四边形 ABCD4，AD=BC ，要使四边形 ABCD 是平行四边形，还需证ABCD 中，点 E、F在 BD 上，且 BF=DE。点评：平行四边形具有以下性质：两组对边分别平行；两组对边分别相等；两组对角分别相等；对角线互相平分。二、考查平行四边形的判定例 4 （2006年攀枝花市）如图补充