从勾股数到勾股定理

1、从勾股数到勾股定理 苍天茫茫，深邃而遥远；大地辽阔，厂袤而无垠。从古时候起，人们就想知道，到底天有多高，地有多大？大约在公元前1100年，周武王的弟弟周公姬旦就曾向当时的一位学者商高求教：“去天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”意思是说，没有台阶供你上天，又没有一种尺子可以让你用来大量大地，那么怎样才能得到天高地大的数值呢？商高所提供的测量方法是“勾股术”：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。”意思是说，在方尺上截取勾宽为三，股长为四，则这端到那端的径长（后来也称弦长）便是五。据说，在大禹治水的时候，就已经运用“勾三股四弦五”的特殊情形进行测量。周公与商高的这段有趣的对话载于我国

2、古代数学著作周髀算经（公元前1世纪）。经过历代数学家的完善，便形成了勾股定理（也称商高定理）：直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边C的平方，a2b2c2满足勾股定理的数组称为勾股数（或商高数）。在西方，人们把这个定理的发现与证明归功于古希腊的毕达哥拉斯，因而称之为毕达哥拉斯定理，满足定理的数组也就称为毕达哥拉斯数。但是1945年，人们在对古巴比伦人遗留下的一块数学泥板的研究中，惊讶地发现上面竟然刻有15组勾股数，其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大约在公元前1900年到公元前l600年之间。这些勾股数组中有些是很大的数，即使在今天也往往是人们所熟悉的。这个数表使人们有理由相信，古巴伦人早已

3、掌握了勾股定理并很可能找到了一种求得勾股数的一般方法，只不过人们还不能从其他的泥板中找出更多的证据来证明这一点。毕达哥拉斯学派倒是明确地给出了勾股数的一组公式：后来，另一个古希腊学者柏拉图（Plato,约前427前347）也给出了类似的式子。被誉为“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图（Diophantus,约246330）也在研究二次不定方程的时候，对勾股数作了一番探讨。他发现不论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子，都没能给出全部勾股数组，于是他找到了一个新方法：如果m、n是两个正整数，且2mn是完全平方数，则是一级勾股数。丢番图究竟是如何得到这组式子的，人们今天已经无从知晓。重要的是，这组式子包含了

4、全部的勾股数组！值得一提的是，在早于丢氏三、四百年的我国古代数学巨著九章算术中，也提出了一组求勾股数的式子，这组式子相当于：与丢番图同时代的中国数学家刘徽在对这部古算书的注释本中用几何的方法对这组公式进行了严格的论证。这是迄今为止用于勾股数的最完美的表达形式之一。关于这个定理，虽然号称毕达哥拉斯定理，但人们在遗留下来的古希腊手稿或译文中并没有找到毕达哥拉斯本人及其学派的有关证明，所以人们只能对他可能用的方法进行一些揣测。有据可查的最早证明见于欧几里得的几何原本（公元前3世纪）之中。欧几里得用几何的方法，作出了一个巧妙的证明，如图1所示。有人把这个图形叫做“僧人的头巾”，也有人把它称为“新娘的轿

5、椅”。我们这里给出证明的概述：AC=2JAB=2CAD=ADKL，类似地BC2BEKL等等。有兴趣的读者不妨自己考虑一下，完成证明的细节。我国数学家赵爽在周髀算经注（公元3世纪初）中，给出了勾股定理的一般形式，并且给出了一个几何证明（如图2）：图中有4个直角三角形和一个小正方形，它们的面积之和应该正好等于正方形ABCD的面积，即印度的数学家兼天文学家婆什迦罗，也给出了与赵爽相同的几何图形（如图3）。但是婆什迦罗在画出这个图形之后，并没有进一步解释和证明，只是说：“正好！”婆什迦罗还给出了这个定理的另外一个证明，即画出斜边上的高，由图4中给出的两个相似三角形，我们有c/b=b/m和c/a=a/n

6、即cm=b2和cn=n2相加便得：a2+b2=c(m+n)=c2勾股定理是数学中最重要的定理之一。也许在数学中还找不到这样一个定理，其证明方法之多能够超过勾股定理。卢米斯（Loomis）在他的毕达哥拉斯定理一书的第二版中，收集了这个定理的37O种证明并对它们进行了分类。勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线。正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理。甚至还有人提出过这样的建议：在地球上建造一个大型装置，以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的