考研高数知识点经典例题章

1、文档编码 : CW9V10O9B2N1 HB10P7O1D8P5 ZW7J3O1J8Z5第六章 多元函数微分学 多元函数的概念,极限与连续性 甲 内容要点 一,多元函数的概念 1二元函数的定义及其几何意义 设 D 是平面上的一个点集, 假如对每个点 Px,y D,按 照某一对应规章 f,变量 z 都有一个值与之对应,就称 z 是变 量 x, y 的二元函数,记以 z=f（ x,y）, D称为定义域； 二元函数 z=f（ x, y）的图形为空间一块曲面,它在 xy 平面上的投影域就是定义域 D； 例如 z 1 x 2 y 2 , D : x 2 y 2 1 二元函 数的图形为以原点为球心,半径为

2、 1 的上半球面,其定义域 D 就是 xy 平面上以原点为圆心,半径为 1 的闭圆； 2三元函数与 n 元函数 uf x, y, z, x, y, z 空间一个点集,称为三元函数 条件极值中, 可能会 uf x1, x2 , , xn 称为 n 元函数 ； 它们的几何意义不再争辩, 在偏导数和全微分中会用到三元函数； 遇到超过三个自变量的多元函数； 二,二元函数的极限 设 f x, y在点 x0 , y0 的 邻 域 内 有 定 义 , 如 果 对 任 意 0,存在 0, 只 要 x 2 x0 y 2 y0 , 就有 f x, y A 就记以 lim x x0 y y0f x, y Alim

3、x, y x0 y 0 f x, y A 或 称当 x, y趋于 x0, y0时,fx, y 的极限存在, 极限值为 A ；否就, 称为极限不存在； 值得留意： 这里 x, y趋于 x0 , y0 是在平面范畴内,可以按任何方式沿任意曲线趋于 x0 , y0 ,所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂,但考试大纲只要求知道基本概念和 简洁的争辩极限存在性和运算极限值不象一元函数求极限要求把握各种方法和技巧； 三,二元函数的连续性 1二元函数连续的概念 第 1 页,共 61 页如 lim f x, y x x0 y y 0f x0 , y0 就称 f x, y在点 x0 , y0 处连 续 如 f

4、 x, y在区域 D 内每一点皆连续,就称 2闭区域上连续函数的性质 f x, y 在 D 内连续； 定理 1（有界性定理）设 f x, y 在闭区域 D 上连续,就 f x, y 在 D 上确定有界 定理 2（最大值最小值定理）设 f x, y 在闭区域 D 上连续,就 f x, y 在 D 上确定 有最大值和最小值 max f x, y M 最大值 , min f x, y m最小值 x, y D x, y D 定理 3 （介值定理）设 f x, y 在闭区域 D 上连续, M 为最大值, m 为最小值,如 m c M , 就存在 x0 , y0 D, 使得 f x0 , y0 C（乙）典

5、型例题 一,求二元函数的定义域 x 例 1 求函数 z arcsin xy 的定义域 3解：要求 x 1 即 3 x 3; 3又 要 求 xy 0即 0, y 0 或 0, y 0 综 合 上 x x 述要求得定义域 3 x 0 0 x 3或 y 0 y 0例 2 求函数 z 4 x 2 y 2 ln y 2 2x 1的定义域 2 2 2解：要求 4 x y 0 和 y 2x 102 2 2x y 2即 2y 1 2x 2 2 2函数定义域 D 在圆 x y 2 的内部（包括边 2界）和抛物线 y 1 2x 的左侧（不包括抛物线上的点） 第 2 页,共 61 页二,有关二元复合函数 例 1 设

6、 f x y, x y x 2 y y 2 , 求 f x, y 设 x y u, x y v 解 x 1u v, y 出 21u v 22u 解： 2代入所给函数化简 f u,v 12 u v u v 12 u v 84故 f x, y 1 x 2 y x y 1 x 2 y 84例 2 设 f x y, xy 2 x 2 3xy y 5, 求 f x, y 解： x2 3xy y 2 52 x 2xy y 2 xy 52 x y xy 5f x, y 2 x y 5例 3 设 z y f x 1,当 y 1 时,z x,求函数 f 和 z 解： 由条件可知 x 1 2 f x 1,令 x

7、1 u, 就 f u x 1 u 1 1uf x 2 x 2x, z y x 1三,有关二元函数的极限 例 1 争辩 lim 1 x y a1 xy x 2 a 0 常 数 x y x 2 解：原式 = lim 1 1 xy xy xy x y 1 t t ey a 而 x lim 1 1 xy xy 令 t xy lim 1 t y a 又 lim y a 2 x xyx y lim y a 1y x 1y1 a1原式 ea 第 3 页,共 61 页例 2 争辩 lim x 0 y 02 x y 024 x 2 y 解：沿 y lx 原式 lim x 0 x 43 lx 2 2l x 沿 y

8、 2 lx , 原式 lim x 0 4 x 4 lx l2 4 l x 1l原式的极限不存在 例 3 争辩 lim x 0 y 02 x 3 y 2 2 y 2 x2 y 0 4 x 2 y 解： 4 x 2 y 2x0 x 2 4x 3 y 23 x 2 y 22 2x y 11y 22 y 2而 lim x 0 y 011 y 20; lim 00 x 0 y 0原式 =0 2用夹逼定理可知 偏导数与全微分 （甲）内容要点 一,偏导数与全微分的概念 1偏导数 二元：设 z f x, y f x x, y f x, y z f x x, y lim x 0 x x z f y x, y l

9、im y 0 f x, y y f x, y y y 三元：设 u f x, y, z f y x, y, z; u z f z x, y, z uf x x, y, z; u y x 2二元函数的二阶偏导数 第 4 页,共 61 页设 z f x, y, x z x , 2z f xy x, y y z x 2z f xx x, y 2 x x y 2 z y x f yx x, y x z , y f yy x, y 2 z 2 y z y y 3全微分 设 z f x, y, 增量 z f x x, y y f x, y 如 z A x B y o x 2 y 2 当 x 0 y 0时

10、就称 z f x, y 可微,而全微分 dz A x B y 定义： dx x, dy y 定理：可微情形下, A f x x, y, B f y x, y dz f x x, ydx f y x, ydy 三元函数 u f x, y, z 全微分 du f x x, y, zdx f y x, y, zdy f z x, y, zdz 4相互关系 f x x, y 连续 f y x, y df x, y 存在 f x x, y , f y x, y 存在 f x, y连续 5方向导数与梯度（数学一） 二,复合函数微分法锁链公式 模型 I. 设 z f u,v, u u x, y, v v x

11、, y v z ux 就 z z uz v ； z z uz x ux v x y uy v y v y 模型 II. 设 uf x, y, z, z z x, y 第 5 页,共 61 页就 ufx f z z , uf y fz z ux x y y x x y y z 模型 III. 设 u f x, y, z, y y x, z z x x du 就 dx f x f y dy fz dz uy x z dx dx vt , t 摸索题：设 z f u, v, w, w wu,v, u ut , v tx, y 求 z 的锁链公式,并画出变量之间关系图 x . 三,隐函数微分法 设 F

12、 x, y, z 0 确定 z z x, y Fz 0 就 z Fx ; z Fy 要求偏导数连续且 x y Fz Fz 四,几何应用（数学一） 1空间曲面上一点处的切平面和法线 2空间曲线上一点处的切线和法平面 （乙）典型例题 例 1 求 ux z 的偏导数 y z z x zx 分别由以下两式确定 解 u x z x z 1 , y y uz x y x y 2 y z 1 y 例 2 u l n x z x y y yx及 z z 设 u f x, y, z 有连续的一阶偏导数,又函数 y exy xy 2和x x z sint dt 求 du dx 0t e 第 6 页,共 61 页例

13、 3例 4解 du f x f y dy f z dz dx dx dx 由 exy xy 2两边对 x求导 , 得e xy y dy x dx y dy x 0 dx 解出 dy y 1 分子和分母排除公因子 exy dx x e x x z t t dt 两边对 x 求得x z dz 0 x z dx 导 ex 解出 dz 1x e x z dx sinx z 所以 du f y f 1 x e x z z f dx x x y sinx z 设 y yx, z z x是由 z xf x y和 F x, y, z 求 dz dx 0 所确定的函其中 f 具有一 数, 阶连续导数, F 具有

14、一阶连续偏导数 解 分别在两方程两边对 x 求导得 dz f x1 dy f dx0化简 xf dy dz f xf dx dxdx Fx Fy dy dx Fz dz Fy dy Fz dz dx Fx dx dx 解出 dz f xf Fy xf Fx Fy xf Fz dx 设 u f x, y, z有连续偏导数 ,z z x, y由方程 x xe y ye z ze 所确定 求du 解一：令 F x, y, z x xe y ye z ze 得x x 1e , Fy y y 1e , Fx F z z 1e z就用隐函数求导公式得 z Fx x 1 e1xz ; z y 1 e1yz

15、x z y z Fz ufx f z z f x fz x 1ex z x x z 1uf y f z z f y f z y 1ey z y y z 1第 7 页,共 61 页例 5 du udx udy f x f z x 1x z e dx f y f z y 1y z e dy x y z 1z 1解二： x 在 xe y yez ze 两边求微分 得 x y 1 xe dx 1 ye dy z 1 ze dz 解出 dz 1 x exdx 1 yey dy 1 zez代入 du f xdx f ydy fz dz f x dx f y dy f z 1 xexdx 1 y eydy

16、1 z ze 合并化简也得 du f x f z x 1ex z dx f y f z y 1ey z dy z 1z 1设 f u, v 具有二阶连续偏导数,且中意 2f 2f 1, u 2 v2 g x, y f 1 2 xy, x 2 2 y ,求 2g2gux 2 x 2 y 解： uxy, v 1 x 22 2 y f v y gy f x f , v f gx f y f f ux uy uv f v 2 g 2 x y x f x x f f uv v v 而 x f 2f u2f v ； x x f 2f u2f v 代入上式 x uu2x uv v v u x 2 v 故：

17、2g2 y 2f 2 xy 2f 2 x 2f f , v 2 x u2uv 2 v 2 g 2 y 2 x 2f 2xy 2f 2 y 2f f u2uv v 2v 所以： 2g2g2 x 2 y 2f 2 x 2 y 2f 2 x 2 y 2 x 2 y u22 v 第 8 页,共 61 页例 6已知 F x , y z z 0确定 zzx, y其中 F u, v, zx, y y 均有连续编导数,求证 x z y z z x y 证： F u, v x F , z y z Gx, y, z 0Gx Fu 1 , z Gy Fv 1 , z Gz Fu x Fv 2 z 2 z 依据隐函数

18、求导公式 例 7z Gx zFu z Gy zFv x Gz xFu yFv y Gz xFu yFv 就得 x z y z z x y 设 x y u2v z , 求 u , x v , x uuvz z 解：对 x y u2v z , 的两边求全微分 ,得 uvz dx 2udu dv dz 2udu dv dx dz dy du zdv vdz du zdv dy vdz du zdx z vdz dy , 2uz1dv 2udy dx 1 2uv dz , 2uz 1uz 1, v 11, uz v x 2uz x 2uz z 2uz 1第 9 页,共 61 页多元函数的极值和最值 （

19、甲）内容要点 一,求 z f x, y的极值 第一步 fx x, y f y x, y 00求出驻点 xk , yk k 1,2, , l 2其次步 令 k f xx xk , yk f yy xk , yk f xy xk , yk 如 k 0 就 f xk , yk 不是极值如 k 0 就 不能确定（有时需从极值定义动身争辩） 如 k 0 就 f xk , yk 是极值如 fxx xk , yk 0 就 f xk , yk 为微小值 进一步 如 fxx xk , yk 0 就 f xk , yk 为极大值 二,求多元（ n 2 ）函数条件极值的拉格朗日乘子法 求 u f x1, , xn

20、的极值 1 x1, , xn 0约束条件 m n m x1 , , xn 0m令 F F x1 , , xn , 1 , , m f x1, , xn i i x1, xn i 1 Fx 0Fx 0F 1 1 x1 , , xn 0F m m x1 , , xn 0k k 求出 x1 , , xn k 1,2, ,l 是有可能的条件极值点,一般再由实际问题的含义确 定其充分性,这种方法关键是解方程组的有关技巧； 三,多元函数的最值问题（略） （乙）典型例题 第 10 页,共 61 页一,一般极值 例 1求函数 z x4 y4 x2 2xy y2 的极值 2 y 12y22解 z 4 x32 x

21、 2 y, z 4 y3 2x x y 要求 z z 0, 得 x y 3 2x 3 2 y 2z x y 故知 x y, 由此解得三个驻点 1x 0 x 1x y 0, y 1, y 1又 2z 12x22, 2z 2, x2 x y y 2 在点（ 1, 1）处 例 2A 2z 1,1 10, B 2z 1,1 2, C2z 1,1 10 2 x x y 2 y 又 AC B 2 10 96 01,1是微小值点 A 0, 微小值 Z 1,1 2在点（ -1,-1）处 A 2 z 2 x 1, 1 10, B 2 z x y 1, 1 2, C2 z 2 y 1, 1 10 AC 2 B 9

22、6 0A 10 0, 1, 1也是微小值点 微小值 Z 1, 1 2在点（ 0, 0）处 A 2z 0, 0 2, B 2z 0, 0 2, C2z 0, 0 22 x x y 2 y AC 2 B 0不能判定 这时 取 x , y （其中 为充分小的正数）就 z 240而 取 x y 时 z 24420由此可见（ 0,0）不是极值点 2 设 z z x, y是由 x 2 6xy 10 y 2 yz 2 z 18 0 确定的函数, 求 z z x, y 的 第 11 页,共 61 页极值点和极值； 解 2 由于 x 2 6 xy 10 y 2 2 yz z 18 0每一项对 x 求导, z 看

23、作 x, y 的函数,得 2 x 6 y 2 y z 2z z 0, （ 1） x x 每一项对 y 求导, z 看作 x, y 的函数,得 6 x 20 y 2 z 2 y z 2z z 0. （ 2） ,微小值 y y 令 z 0, 得 x 3 y 0, z 0, 故 x 3y, x z 0, 3 x 10 y z y. y 将上式代入 2 x 2 6xy 10 y 2 2 yz z 18 0 ,可得 x 9, x 9, y 3, 或 y 3, z 3. z 3. 把（ 1）的每一项再对 x 求导, z 和 z 看作 x,y 的函数,得 x 22 y 2z 2 z 2 x 2 z 2z 0

24、, 2 x 2 x 把（ 1）的每一项再对 y 求导, z 和 z 看作 x,y 的函数,得 x 62z 2 y 2 z x y 2z z 2z 2 z x y 0, x y x 把（ 2）的每一项再对 y 求导, z 和 z 看作 x,y 的函数,得 y 20 2z 2z 2y 2z 2 z 2y 2z 2z 0, y y 2 y 2 y 所以 A 2 z 2 x 9 ,3 , 3 1, B 2 z x y 9 , 3 ,3 1, C2 z 2 y 9, 3, 3 5, 623故 AC 2 B 10, 又 A 10,从而点 9,3是 zx, y的微小值点 36 6为 z9,3 3. 第 12

25、 页,共 61 页类似地,由 A 2z 9 , 3, 3 1 , 6B A 2z 9, 3 , 3 1 , 2C2z 9, 3, 3 5 , 32 x x y 2 y 又 1,极 可知 AC B 2 10, 0, 所以点 9, 3是 z x, y的极大值36 63. 点 大值为 z 9, 3 二,条件极值问题 例 1在椭球面 2 x 2 y 2 z 1 第一卦限上 P 点处作切平面, 使与三个坐标平面所围四周 523222体的体积最小,求 P 点坐标； 2 x 2 y 2 z 解：设 P 点坐标 x,y,z ,就椭球面在 P 点的切平面的法向量为 2 , 2 , 2 5 3 22 2 1切平面

26、： x X x yY y z Z z 0 25 9 225 2xX 29 yY 12 zZ 2 x5 2 23 y 2 2 2 z 2 2 02 2 1xX yY zZ 2 025 9 225 x 轴截距 Y 0, Z 0 X x 9y 轴截距 Z 0, X 0 Y y 4z 轴截距 X 0, Y 0 Z 所以四周体的体积 z 1 25 9 4 150 V 6 x y z xyz 2 2 2约束条件 x y z 1 0 x 0, y 0, z 0用拉格朗日乘子法 ,令 5 2 3 2 2 2 2 2 2F F x, y, z, 150 xyz x 5 2 3 y 2 2 z 2 1 150 2

27、Fx 2 x 0 1 x yz 25 第 13 页,共 61 页Fy 150 2y 00得 2 202 xy z 9Fz 150 2z 03 2 xyz 4F 2 x 2 y 2 z 14 5 2 32 22 450 用 x 乘（ 1） +y 乘（ 2） +z 乘（ 3） xyz 就 2 450 5 xyz 将（ 5）分别代入（ 1）,（2）,（ 3）得 5 3 2x , y , z 3 3 3所以 P 点坐标为（ 5 , 3 , 2）而最小体积 V 15 33 3 3例 2 求坐标原点到曲线 C： x 2 y 2 z 2 1 的最短距离； 2x y z 1解：设曲线 C上点（ x, y, z

28、）到坐标原点的距离为 d,令 W d 2x 2 y 2 z 2 , 约束条件 x 2 y 2 z 2 1 0, 2x y z 1 0 用拉格朗日乘子法,令 F F x, y, z, , x 2y 2 z 2 x 2y 2 z 2 1 2x y z 1 Fx 2x 2 x 2 0 1 Fy 2y 2 y 0 2 Fz 2z 2 z 0 3 F x 2y 2z 21 0 4 F 2x y z 1 0 5 第一,由（ 1）,（ 2）可见,假如取 1, 就 0,由3可知 z 0,再由4, 5得 2 2x y 1 0, 2x y 10第 14 页,共 61 页解得 x 01x y 4 5 35y 这样得

29、到两个驻点 P1 0, 1,0, P2 , ,0其次 ,假如取 435 5 1,由3得 0, 再由 （ 1）（ 2）得 x 0, y 0 这样（ 4）成2 z 1, 是冲突的,所以这种情形设有驻点； 为 最终,争辩 1, 1 情形,由1）（ 2）,（3）可得 （ x 1, y 21 , z 21 代入 4, 5 消去 得 32980此方 程无解,所以这种情形也没有驻点； 综合上面争辩可知只有两个驻点,它们到坐标原点的距离都是 短距离,可知最短距离为 1； 1,由实际问题确定有最 例 3 另外, 由于 C 为双曲线,所以坐标原点到 C 的最大距离不存在； 2.求 f x, y 在椭圆已知函数 z

30、 f x, y的全微分 dz 2xdx 2 ydy,并且 f 1,1 域 2D x, y x 2 y 1 上的最大值和最小值 ； 4解法 1 由 dz 2xdx 2ydy 可知 2 2z f x, y x y C, 再由 f 1,1 2, 得 2,故 C z f x, y x 2 y 2 2f f 令 2 x 0, 2 y 0, 解得驻点 0,0. x y 2在椭圆 x 2 y 4 1上 ,z x 2 4 4 x 2 2,即 2z 5x 2 1 x 1, 其最大值为 z x 1 3,最小值为 z x 0 2, 再与 f 0,0 2 比较,可知 f x, y 在椭圆域 D 上的最大值为 3,最小

31、值为 -2； 解法 2 同解法 1,得驻点 0,0. 第 15 页,共 61 页用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆 2 x 2 y 1 上的极值； 4设 L2 x 2 y 22 x 2 y 1, 4Lx 2 x 2 x 0, 令 L y 2 y 2 2 y y 0, 2 x 10L4解得 4 个可能的极值点 0,2,0,-2,1,0 和 -1,0. 又 f 0,2=-2, f 0,-2=-2, f 1,0=3, f -1,0=3, 再与 f 0,0=2 比较,得 f x, y 在 D 上的最 大值为 3,最小值为 -2； 第七章 多元函数积分学 二重积分 甲 内容要点 一,在直角坐标系中化二重积分

32、为累次积分以及交换积分次序问题 模型 I ：设有界闭区域 D x, y a x b, 1 x y 2 x 其中 1 x, 2 x 在 a, b 上连续, f x, y 在 D上连续,就 Df x, yd Df x, ydxdy bdx 2 x af x, y dy 1 x 模型 II ：设有界闭区域 D x, y c y d, 1 y x 2 y 其中 1 y, 2 y 在 c, d 上连续, f x, y 在 D 上连续 就 Df x, y d Df x, ydxdy ddy 2 y f x, ydx c 1 y 第 16 页,共 61 页关于二重积分的运算主要依据模型 I 或模型 II ,

33、把二重积分化为累次积分从而进行运算, 对于比较复杂的区域 D 假如既不符合模型 I 中关于 D 的要求,又不符合模型 II 中关于 D 的 要求,那么就需要把 D 分解成一些小区域,使得每一个小区域能够符合模型 I 或模型 II 中 关于区域的要求, 利用二重积分性质, 把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和, 而每个小区域上的二重积分就可以化为累次积分进行运算； 在直角坐标系中两种不同次序的累次积分的相互转化是一种很重要的手段, 具体做法是 先把给定的累次积分反过来化为二重积分,求出它的积分区域 D,然后依据 D 再把二重积 分化为另外一种次序的累次积分； 二,在极坐标系中化二重积分

34、为累次积分 在极坐标系中一般只考虑一种次序的累次积分, 也即先固定 对 进行积分, 然后再对 进行积分,由于区域 D 的不同类型,也有几种常用的模型； 模型 I 设有界闭区域 D , , 1 2 其中 1 , 2 在 , 上连续, f x, y f cos , sin 在 D 上连续； 2 就 f x, yd f cos , sin ddd1 f cos , sin dDD, 0 其中 模型 II 设有界闭区域 D , 在 , 上连续, f x, y f cos , sin 在 D 上连续； 就 Df x, yd Df cos , sin d d d0f cos , sin d（乙）典型例题

35、一,二重积分的运算 例 1 运算 e y 2 dxdy ,其中D 由 y=x,y=1 和 y 轴所围区域 D1 12 2y y 解： 假如 e dxdy dx e dy D 0 x y2 那么先对 e 求原函数就不行,故考虑另一种次序的累 次积分； De y 2 dxdy 1y y 2dx 0dy e 0第 17 页,共 61 页这时先对 x 积分, 1ey2 当作常数处理就可以了； 1ey 2 111 1 e原式 = y 2 ye dy 0220例 2 运算 2 | y x |dxdy |x| 1 0 y 21x2 2y 2 x dy 解：原式 = dx 2 x y dy 10 x 2 y

36、2212 x 3y x2 dx 21 y 2 x dx y 231y 031y x 22213 | x | dx 213 2 2 2 x dx 531313例 3 求 I 2 x 2 y yd DD : x x 2 1 2y 2 41y 2 解一： D 大x2 DD 大D 小D 大2x 2y d 20对称性 y 2圆 圆 y d圆 2圆 2 r dr 16 0d033D小圆 D小圆 2 x 2 y d 02d2cos 2 r dr 32 092D2 x 2 y y d16 3 2 9解二： 由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知 yd 0D第 18 页,共 61 页D2 x 2 y d 2D2

37、 x 2 y d 上 原式 2D 上2 x 2 y d dD 上 2 x 2 y d 2 122r 2dr 22d r 2 d 002cos 224416 916 3 92 33二,交换积分的次序 2 a 2ax 例 1 交换 dx f x, ydy 的积分次 0 2ax x2 序 解 原式 = f x, ydxdy Dx 其 中 D由 y 2 2ax x 和 y 2ax 以 及 2 a 所围的区域 a22 y DD1UD2UD3 由 y 2 ax 解出 x 2 y 2 a y 2 ax 2 x 解出 x a因此按另一次序把二重积分化为累次积分对三块小区域得 原式 aaa22 y a2 a f

38、 x, ydx 2a 2 a f x, ydx dy f x, y dx dy dy 例 2 0y2 0aa 2 y2 f 0 ay 2 2a 2 a 设 f y连续 ,证明 f a I ax a f y y dy dx 0 x x 0证明：交换积分次序 I aaa2y 2dx a2y 2dy f y 0y x 第 19 页,共 61 页令 x ay ay s i nt, 就a2y c o st d ,t f a f 0 22dx ay cost 2 dt a y cost 2I a2af ydy f ydy 020三,二重积分在几何上的应用 1,求空间物体的体积 例 1 求两个底半径为 R

39、的正交圆柱面所围立体的体积 2R2,它们所围立体在第一卦限 解 设两正交圆柱面的方程为 2 x 2 y 2 R 和x 22 z 中的那部分体积 R3V 1DR 2 x2 dxdy 其中 D 为 0 x R, 0y R22 x RR2 x 2R因此 V1 dx R22 x dy 2 R 2 x dx 3000而整个立体体积由对称性可知 例 2 V 8 V1 16 3R32 24R 和圆柱面 x 2 y 2Rx R 0 所围（包含原点那一 2 求球面 x 2 y 2 z 部分）的体积 解 V 14D4R2 x 2 y 2 d x d y 其中 D 为 xy 平面上 y 2 2Rx x 与 x 轴所

40、围平面区域用极坐标系进行运算 V 44R2r 2 rdrd 22R cos 24 R2r 2 4 d D0032 32R 3 1 sin d 32 33 R 23032,求曲面的面积（数学一） 三重积分（数学一） 甲 内容要点 第 20 页,共 61 页一,三重积分的运算方法 1,直角坐标系中三重积分化为累次积分 （ 1）设 是空间的有界闭区域 z z2 x, y, x, y D x, y, z z1 x, y 其中 D 是 xy 平面上的有界闭区域, z1 x, y, z2 x, y 在 D连续,就 z2 x, y （ 2）设 f x, y, zdv Ddxdy f x, y, zdz x,

41、 y, z z1 x, y z , x, y Dz 其中 D z为竖坐标为 z 的平面上的有界闭区域,就 f x, y, z dv dz f x, y, zdxdy D z 2,柱坐标系中三重积分的运算 上连续函数 f x, y, z在 上 f x, y, z dxdydz f r cos , r sin , zrdrd dz 相当于把 x,y化为极坐标（ r , ）而 z 保持不变 3,球坐标系中三重积分的运算 x sin cos 00cos 2sin dddy sinsin 2z cos 0f x, y, zdxdydz f sin cos , sin sin , （乙） 典型例题 一,有

42、关三重积分的运算 例 1 运算 2 3 xy z dxdydz,其中 由曲面 z xy, y x, x 1, z 0 所围的区域 解 1x xy 12 3 xy z dxdydz dx dy 2 3 xy z dz 0001x 15 6x y dy 1112 x dx dx 04028 364 0第 21 页,共 61 页例 2 运算 x 2 2ay 2 2 bz 2 2 dxdydz,其中 c 由曲面 x a2 y b2 z 2 2c 1 所围的区域 22解 令 x a sin cos , y b sin sin , z c cos 4 5abc 就 2 x a 22 y 2 z dxdyd

43、z 2d0sin d14dabc b22 c 00例 3 运算 2 x 2 y 2 z dxdydz, 其中 由曲面 2 x 2 y 2 z z 所围的区域 解 用球坐标 例 4 x2 y2 z2 dxdydz 2d2dcos 3 sin d2 所围的区100024 cos sin d25 cos 210 24050运算 2 x 2 2y dxdydz,其中 由曲面 x 2 y 2z, z 域 2 y dxdydz 2d222 22 r23 r dr 解 2 x 003 r dr dz 02r 2 22r4r6216 212 03二,在物理上的应用 例 1 求 椭圆锥面 x a2 y b2 z

44、 2 和平面 2 z c c 围成物体的重设密度匀称恒为 1 22心 解 设重心坐标（ x, y, z ）物体所占空间区域为 由对称性可知 x 0, y 0zdxdydz z dxdydz abc 由锥体体积公式可知 dxdydz 3令 x ar cos , y br sin , z ct 第 22 页,共 61 页例 2 211球体上任一点的密度与该点到 Po 而 2 zdxdydz abc d r d r t d t 00r2 2 abc 1r 1 r dr 22 abc 04因此,重心坐标 x 0, y 0, z 3c 4设有一半径为 R的球体, Po 是球表面上的一个定点, 的距离平方

45、成正比（比例系数 k0） ,求球体重心的位置 2 解一： 设球面方程为 x 2 y 2 z 2 R , Po为 R, 0,0 ,球体 的重心坐标为 （ x, y, z ） 由对称性可知 y 0, z 02 y 2 z dv x k x 2 R x k x 2 R 2 y 2 z dv 由区域的对称性和函数的奇偶性,就有 Po2R xdv 02dv x x2R 2 y2 z2 dv 0于是 2 x R 2 y 2 z dv 2 x 2 y 2 z dv R2d0dR4sin dR23 4 R 32 R500315 x x R2y 2 z 2 dv 2R x2dv 2 R 2 x 2 y 2 z

46、dv 8R6315 因此 x R,重心坐标为 R,0,0 44解二： 2 设球面坐标 x 2 y 2 z R 2 R , 0,0,0,重心坐标（ x, y, z ） 由对称性可知 x 0, y 0第 23 页,共 61 页z 于是 z z k x2y2 z2 dv 2 k x 2 y 2 z dv 222 R cos 2 z x 2 y 2 z dv 4dd5cos sin d 00064 R627 cos sin d8R63032 x 2 y 2 z dv 22d2 R cos 4sin d32 5 R4 d 0015 055 R,重心坐标 0,0, 4R 4曲线积分（数学一） 甲 内容要点

47、 一,第一类 曲线积分（对弧长的曲线积分） 参数运算公式 我们只争辩空间情形（平面情形类似） 设空间曲线 L 的参数方程 x xt , y yt, z zt , t 2 2 2就 L f x, y, zds f x t, yt, z t x t y t z t dt （假设 f x, y, z和 x t, t , z t皆连续 ）这样把曲线积分化为定积分来进行运算 y 二,其次类 曲线积分（对坐标的曲线积分） 参数运算公式 我们只争辩空间情形（平面情形类似） 设空间有向曲线 L 的参数方程 x xt , y yt, z zt ,起点 A 对应参数为 , 终点 B 对应参数为 留意 : 现在 和

48、 的大小不愿定 假如 P x, y, z, Q x, y, z, R x, y, z皆连续 , 又 x t , y t , z t 也都连续 , 就 L AB P x, y, z dx Q x, y, zdy R x, y, z dz P xt , y t , zt x t Q x t , yt , z t y t R x t , y t , zt z t dt 这样把曲线积分化为定积分来运算； 值得留意： 假如曲线积分的定向相反, 就其次类曲线积 第 24 页,共 61 页分的值差一个负号,而第一类曲线积分的值与定向无关,故曲线不考虑定向； 三,两类曲线积分之间的关系 空间情形：设 L= A

49、B 为空间一条逐段光滑有定向的曲线, P x, y, z, Qx, y, z, Rx, y, z 在 L 上连续,就 AB P x, y, zdx Q x, y, zdy Rx, y, zdz A 到 B 方向的切线 的 AB P x, y, zcos Q x, y, zcos R x, y, zcos ds 其中 cos ,cos ,cos 为曲线弧上 AB 上点 x, y, z处沿定方向余弦 . 向 四,格林公式 关于平面区域上的二重积分和它的边界曲线上的曲线积分之间的关系有一个特别重要的定 理,它的结论就是格林公式； 定理 1,（单连通区域情形） 设 xy 平面上有界闭区域 D 由一条逐

50、段光滑闭曲线 L 所围的单连通区域, 当沿 L 正定向移动 时区域 D 在 L 的左边,函数 Px, y, Q x, y 在 D 上有连续的一阶偏导数,就有 DQ P dxdy y LPdx Qdy x 五,平面上曲线积分与路径无关的几个等价条件 设 P x, y , Q x, y 在单连通区域 D 内有一阶连续偏导数,就下面几个条件彼此等价 1任意曲线 L=AB 在 D 内 2 D 内任意逐段光滑闭曲线 3 p x, y dx Q x, y dy LP x, ydx Qx, ydx 与路径无关 C,都有 Cp x, ydx Q x, ydy 0du x, y 成立 4 D 内到处有 Q P

51、x y （乙）典型例题 一,用参数公式直接运算 例 计 算 曲 线 积 分 I L z y dx x z dy x y dz , 其 中 L 是 曲 线 x 2 y 2 1,从 Z 轴正憧憬负向看 L 的方向是顺时针方向； x y z 2解：曲线 L 是圆柱面 x 2y 21 和平面 x y z 2 的交线,是一个椭圆周,它的参数方 程（不是唯独的选法） 最简洁可取 x cos ,y sin ,z 2 x y 2 cos sin , 第 25 页,共 61 页依据题意规定 L 的定向,就 从 2 变到 0,于是 cos cos sin sin cos dI 02 cos sin 2 2 cos

52、 sin 202 si n c o s 2c o2s 1 d 22二,用格林公式等性质来运算曲线积分 x x 例 1,求 I L e sin y b x y dx e cos y ax dy ,其中 a , b 为正的常数, L 为 2从点 2a,0 沿曲线 y 2ax x 到点（ 0, 0）的弧 解一：用格林公式,但 L 不是封闭曲线,故补上一段 L1 ,它为从（ 0,0）沿 y0 到 2a,0 的有向直线；这样 L L1 构成封闭曲线,为逆时针方向 于是 I L L1 P d x Q d y L1 Pdx Qdy I 1 I 2 ,令 e sin y b x x y P x e cosy

53、ax Q ,依据格林公式 I1 Pdx Qdy Q P dxdy L L1 D x y D b a d x d y 2 a 2 b a这里 D 为由 L 和 L1 围成的上半圆区域； 另外,在 L1 上, y 0, dy 0 ,故 2 2a b bx dx I 2 L1 Pdx Qdy 2a 0于是 I I 1I 2222 a b 2a3解二：我们把所给曲线积分拆成两项 x x I L e sin ydx e cosydy L b x y dx axdy I 3 I 4 在 I 3 中,由于 e cos y x e sin y x ,故积分与路径无关 x y 又看出 d e x sin y e

54、 x sin y dx e x cosy dy 第 26 页,共 61 页因此 I 3 e sin y x 0,0 02a,0 而在 I 4 中,取 L 的参数方程 x a acost, y asint, t 从 0 到 2 2 2 2 3 3 2于是 I 4 0 a bsint a bsin t cost a bsin t a cost a cos t dt 2 a 3 2 2 a 2 b 2 3因此, I I 3 I 4 2 a b a2 2例 2,运算曲线积分 xdy2 ydx ,其中 L 是以（ 1,0）为圆心, R（ 1）为半径的圆周 ,取 L 4x y 逆时针方向 . 解 令 P

55、4 x2y , Q x y 2 2 4 x y 2 当 x, y 0,0 时 , Q p 成立 x y 因此 ,不能在 L 的内部区域用格林公式 设法用曲线 C 在 L 的内部又包含原点在 C 的内部 ,这样在 C与 L 围成的二连通区域内 可以用格林公式 今取曲线 C: x 2cos R1y sin 从 2到 0 为顺时针方向 令 C 与 L 围成区域为 D二连通区域 依据格林公式 0DQ pdxdy Lpdx Qdy Cpdx Qdy cos , y sin 的圆 x y 逆时针 顺时针 于是 I Lpdx Qdy Cpdx Qdy Cpdx Qdy 顺时针 逆时针 用 C的参数公式代入后

56、,得 12I 222d0 注：这里取 C 为上述椭圆周,最终运算最简洁,假如取 C 为 x 第 27 页,共 61 页2 2周,那么最终的积分就比较复杂 I 0 24cos 2sin 2 d 例 3,设函数 y 具有连续导数,在环绕原点的任意分段光滑简洁闭曲线 L 上,曲线积分 y dx 2xydy 的值恒为同一常数； L 2x 2y 4y dx 2 xydy I 证明：对右半平面 x0 内的任意分段光滑简洁闭曲线 C,有 C 2 x 2y 4 0 ； II 求函数 y 的表达式； I 证 如图,设 C 是半平面 x0 内的任一分段光滑简洁闭曲线, 在 C 上任意取定两点 M,N , 作环绕原

57、点的闭曲线 MQNRM ,同时得到另一环绕原点的闭曲线 MQNPM . 依据题设可知 MQNRM y dx 2 xydy MQNPM y dx2 xydy 02 2 x 4 y 2 2x 4 y 依据其次类曲线积分得性质,利用上式可得 y dx 2xydy c 2x 2y 4y dx 2xydy y dx 2xydy 2 4 2 4NRM 2 x y MPN 2x y y dx 2xydy y dx 2xydy 2 4 2 4NRM 2 x y NPM 2x y y dx 2 xydy y dx 2 xydy 2 4 2 4MQNRM 2 x y MQNPM 2 x y 0 II 解：设 P

58、2 2x y , Q 2 xy , P,Q 在单连通区域 x0 内具有一阶连续偏导数； ； 4 y 2 2x 4 y 由 I 知,曲线积分 Ldx 2xydy 在该区域内与路径无关, 故当 x0 时,总有 Q P 2 2x 4 y x y Q 2 2y 2x 4 y 4 y 4x 2xy 2 4x y 5 2y , x 2 2x 22 2 x 4 y 2第 28 页,共 61 页P y 2x22y4 4y y3 2 2x y 2x2y 4 y 24y 3 y , y 2xy 4 2y 4 比较,两式的右端,得 y 2 y , 2 y5y 3 5 2 y 3 4cy 5 2 y , y y4 4

59、y y 3 4 由得 y 2 y c ,将 代入得 所以 c 0,从而 y 2 y 三,应用 例 在变力 F yzi zx j xyk的作用下一质点由原点沿直线到椭球x a2 y 2 2 bz 2 2c 12面 上第一卦限的点 M, , 问 , , 取何值时, F 作功 W 最大,并 求 Wmax ； 解：设线段 OM 的参数方x t, y t, z t , 0 t 1,就 F 在 OM 上作程 功 2W OM F dxi dy j dzk OM yzdx zxdy xydz 132 t dt 022用拉格朗日乘子法求条件极值；构造函数 G , , , 1a2b22 c G 220（ 1） a

60、G 2 0（ 2） b2G 20（ 3） 2 c 222G 1a22 b2 c 0（ 4） 123得 3210（ 5） 由 1得 22代入（ 5）得 2a2,就 3a , a33同理得 3b, 3c , 33第 29 页,共 61 页Wmax 33abc 3 9abc 3abc 3故原点到 3a, 3 3b, 3c 作功最大,最大功为 339第 30 页,共 61 页曲面积分 （数学一） （甲）内容要点 一,第一类曲面积分（对面积的曲面积分） 基本运算公式 设曲面 S 的方程 z z x, y , x, y DS 上 连 续 , 就 z x, y 在 Df x, y, z 在 上 有 连 续