高等数学b学习26微分中值定理课件

1、高等数学b学习26微分中值定理课件高等数学b学习26微分中值定理课件一、罗尔(Rolle)定理1.引理（费马(Fermat)定理） 牛牛文库文档分享一、罗尔(Rolle)定理1.引理（费马(Fermat)定理2. 罗尔（Rolle）定理 则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f() =0 .设函数 f (x) 满足条件：1) 在闭区间 a,b上连续.2) 在开区间(a,b)内可导.3) f (a) = f (b) 牛牛文库文档分享2. 罗尔（Rolle）定理 则在 (a,b) 内至少存在一物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释: 牛牛文库文档分享物理解释:变速直线运动在折

2、返点处,瞬时速度等于零.几何解释:3、罗尔定理还指出了这样的一个事实：若 f (x) 可导，则 f(x)=0 的任何两个实根之间，至少有 f(x) =0 的一个实根.例2 不求导数, 判断函数 f(x) = (x 1) (x 2) (x 3)的导数f(x)有几个零点及这些零点所在的范围. 牛牛文库文档分享3、罗尔定理还指出了这样的一个事实：若 f (x) 可导，则4. 注意 1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如 牛牛文库文档分享4. 注意 1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其2) 罗尔定理的三个条件是充分不必要的,即若有一个不满足,其结论也可能成立.例如, 牛牛

3、文库文档分享2) 罗尔定理的三个条件是充分不必要的,即若有一个不满足例3例4说明:证明 在 内有根用零点定理.证明 在 内有根用罗尔定理. 牛牛文库文档分享例3例4说明:证明 在 内有根用零点定理关键技巧: 根据题意会知道如何构造辅助函数.若希望用Rolle定理证明方程 f(x)=0 根的存在性，则构造的辅助函数F(x) 应满足关系式F(x) = f(x) 及Rolle定理条件.例5 牛牛文库文档分享关键技巧: 根据题意会知道如何构造辅助函数.若希望用Roll例6 牛牛文库文档分享例6 牛牛文库文档分享二、拉格朗日(Lagrange)中值定理则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f (b)

4、f (a) = f ()(ba) (a,b) .Lagrange 中值定理： 设函数 f (x) 满足条件：1) 在闭区间 a,b上连续.2) 在开区间(a,b)内可导. 牛牛文库文档分享二、拉格朗日(Lagrange)中值定理则在 (a,b) 内作辅助函数证明：拉格朗日中值公式 牛牛文库文档分享作辅助函数证明：拉格朗日中值公式 几何解释:例1 牛牛文库文档分享几何解释:例1 牛牛文库文档分享增量 y 的精确表达式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值定理也称为微分中值定理 牛牛文库文档分享增量 y 的精确表达式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉两个

5、推论:(1) 设 f (x) 在 (a,b) 内可导且 f (x)=0，则 f(x)=C.(2) 设 f (x) ,g(x) 在 (a,b) 内可导且 f (x) =g(x) ， 则 f(x)=g(x) C. 牛牛文库文档分享两个推论:(1) 设 f (x) 在 (a,b) 内可导且拉格朗日中值定理的应用: 1、用 Lagrange 中值定理证明等式：例2说明欲证 时, 只需证在 I 上练习： 牛牛文库文档分享拉格朗日中值定理的应用: 例2说明欲证 时, 2、用 Lagrange 中值定理证明不等式：Step1 找出适当的函数 f (x) 及区间,Step2 验证 f (x) 满足Lagran

6、ge 中值定理条件,Step3 对 f () 作适当放大或缩小，推出所要证的结果.例4例3 牛牛文库文档分享2、用 Lagrange 中值定理证明不等式：Step1 三、柯西(Cauchy)中值定理则在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 Cauchy 中值定理 设函数 f (x)、 g (x) 满足条件：1) 在闭区间 a,b上连续.2) 在开区间(a,b)内可导且 g(x) 0 . 牛牛文库文档分享三、柯西(Cauchy)中值定理则在 (a,b) 内至少存在证作辅助函数 牛牛文库文档分享证作辅助函数 牛牛文库文档分享几何解释:注意:弦的斜率切线斜率 牛牛文库文档分享几何解释:注意:弦的斜率切

7、线斜率 Lagrange 中值定理是Cauchy 中值定理 的特例. 牛牛文库文档分享Lagrange 中值定理是Cauchy 中值定理 的特例.思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?两个 不一定相同错!上面两式相比即得结论. 牛牛文库文档分享思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?两个 不错!上面两式相例分析:结论可变形为 牛牛文库文档分享例分析:结论可变形为 牛牛文库文档例证 牛牛文库文档分享例证 牛牛文库文档分享四、小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理费马引理中值定理的数学符号简洁表述: P125 牛牛文库文档分享四、小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系

8、罗尔定理拉格朗日2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论关键: 利用逆向思维设辅助函数 牛牛文库文档分享2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式中值定理的数学符号简洁表述: P125 牛牛文库文档分享中值定理的数学符号简洁表述: P125www.n1. 填空题思考与练习 函数在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理条件, 则中值 牛牛文库文档分享1. 填空题思考与练习 函数在区间 1, 2 上满足练 习 题 牛牛文库文档分享练 习 题 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享练习题

9、答案 牛牛文库文档分享练习题答案 牛牛文库文档分享费马(1601 1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的. 牛牛文库文档分享费马(1601 1665)法国数学家,他是一位律师,数学拉格朗日 (1736 1813)法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来, 数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学 产生全面影响的数学家之

10、一. 牛牛文库文档分享拉格朗日 (1736 1813)法国数学家.他在方程论,柯西(1789 1857)法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等,有思想有创建, 响广泛而深远 .对数学的影他是经典分析的奠基人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 牛牛文库文档分享柯西(1789 1857)法国数学家, 他对数学的贡献主 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享例3证由零点定理矛盾,即 为方程小于1

11、的正实根. 牛牛文库文档分享例3证由零点定理矛盾,即 为方程小于1的正实根.www例4证由Rolle定理知说明:证明 在 内有根用零点定理.证明 在 内有根用罗尔定理. 牛牛文库文档分享例4证由Rolle定理知说明:证明 在 推广:例6 牛牛文库文档分享推广:例6 牛牛文库文档分享（即例5）设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.提示: 牛牛文库文档分享（即例5）设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理证：不妨设有例 设 , 证明对任意 牛牛文库文档分享证：不妨设有例 设 有例 设 , 证明对任意题设条件可减弱为 牛牛文库文档分享有例 设 例4证由上式得 牛牛文库文档分享例4证由上式得 牛牛文库文档分享练习：试证至少存在一点 ，使解 令则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件,使因此存在 牛牛文库文档分享练习：试证至少存在一点 ，使提示:由结论可知, 只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设且在内可导, 证明至少存在一点使2. 设 牛牛文库文档分享提示:由结论可知, 只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设且在证：设辅助函数显然在 0,1 上满足罗尔定理条件,因此至少存在使得求证存在使3. 设 f (x) 在 0,1 连续, 在 (0,1) 可导, 且即