棱锥体积推导市公开课金奖市赛课一等奖课件

1、棱锥体积第1页复习： 1、等底面积等高两个柱体体积相等。 2、V柱体Sh 3、柱体体积公式推导 第2页柱体体积公式推导：等底面积等高几个柱体被平行于平面平面所截截面面积一直相等体积相等V长方体abcV柱体Sh 第3页问题：对比柱体体积公式推导及结论，猜测一下 锥体体积是否含有相同结论？第4页定理一、等底面积等高两个锥体体积相等。h1S1h1S2hShS取任意两个锥体，它们底面积为S，高都是h平行于平面任一平面去截截面面积一直相等两个锥体体积相等第5页定理一、等底面积等高两个锥体体积相等。h1S1h1S2hShS证实：取任意两个锥体，设它们底面积为S，高都是h。 把这两个锥体放在同一个平面上，这

2、是它们顶点都在和平面平行同一个平面内，用平行于平面任一平面去截它们，截面分别与底面相同，设截面和顶点距离是h1，截面面积分别是S1S依据祖搄原理，这两个锥体体积相等。第6页=+=先割后补先补后割第7页与三棱柱相对照，请猜测三棱锥体积公式。ABCA1C1B1第8页与三棱柱相对照，请猜测三棱锥体积公式。ABCA1C1B1第9页BCABCA1C1B1ABCA1BCABCA1C1B1ABCA1BCABCA1C1B1ABCA1BCABCA1C1B1ABCA1BCABCA1C1B1ABCA1与三棱柱相对照，请猜测三棱锥体积公式。BCABCAC1B1ABCA1第10页ABCA1C1B1把三棱锥1以ABC为底

3、面、AA1为侧棱补成一个三棱柱。猜测三棱锥体积公式:第11页ABCA1C1B1连接B1C,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥。 就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。23猜测三棱锥体积公式:第12页 就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。BCA1BCA1C1B1ABCA1BCABCA1C1B1ABCA1BCABCA1C1B1ABCA1BCABCA1C1B1ABCA1BCABCAC1B1ABCA1BCABCAC1B1ABCA123猜测三棱锥体积公式:第13页BCA1B12CA1C1B13ABCA11三棱锥1、2底ABA、BAB面积相等。第14页CA1C1B13ABCA11BCA1B12BCAB2A

4、BCA11BCA1B2ABCA11三棱锥1、2底ABA、BAB面积相等， 高也相等（顶点都是C）。A1BCA1B12BCB2ABC1BCA1B12ABC1高第15页ABCA11CA1C1B13BCA1B12三棱锥2、3底BCB、CBC面积相等。第16页ABCA11CA1C1B13BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCAB12三棱锥2、3底BCB1、C1B1C面积相等。 高也相等（顶点都是A1）。高第17页V1V2V3 V三棱柱猜测:假如三棱锥底面积是S，高是h，那么 它体积是 V三棱锥 V三棱柱= ShABCA11C

5、A1C1B13BCA1B12第18页定理二：假如三棱锥底面积是S，高是h，那么 它体积是 V三棱锥 Sh定理证实：已知：三棱锥1（A1-ABC）底面积S,高是h.求证: V三棱锥 Sh证实:把三棱锥1以ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱 柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三 棱锥1和另两个三棱锥2、3。 三棱锥1、2底ABA1、B1A1B面积相等， 高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3底 BCB1、C1B1C 面积相等，高也相等 （顶点都是A1） V1V2V3 V三棱锥。 V三棱柱 Sh。 V三棱锥 Sh。ABCA1C1B123第19页猜测:n棱锥体积公式：Vn棱锥= Vn棱柱第2

6、0页任意锥体体积公式： 定理三：假如一个锥体底面积是S， 高是h，那么它体积是 V锥体 Sh第21页小结：定理一、等底面积等高两个锥体体积相等。定理二：假如三棱锥底面积是S，高是h， 那么它体积是 V三棱锥 Sh定理三：假如一个锥体底面积是S,高是h， 那么它体积是 V锥体 Sh第22页例1.如图是一石柱, 石柱顶上部是一个正四 棱锥,下部是一个正四棱柱. 已知正四 棱柱底面边长0.5米, 高1米, 正四棱锥 高是0.3米.石料比重d为每一立方米 2400千克. 求这个石柱重量.第23页解:V棱锥=V棱柱=所以石柱重量 P=(V棱柱+V棱锥)d=660(千克).0.5米1米0.3米第24页例2

7、.在三棱锥V-ABC中,已知AC=BC=13,AB=10， 三个侧面与底面所成二面角均为60o, VO平面ABC, 交平面ABC于O. BACVEOFD(2) 求 三棱锥高.(3) 求 三棱锥体积. (1) 求证： O是 ABC内心.第25页OD为VD在平面ABC内射影, 依据三垂线定理, 得VDAB.于是VDO为侧面VAB与底面所成二面角平面角. VDO=VEO=VFO=60o. CV解:（1）连结CO并延长交AB于D, 过O在平面ABC 内分别作AC、BC垂线, F、E为垂足. 连结VD、VF、VE. AEOFDBRETURN因为VO平面ABC,CD AB, 显然 OD =OE =OF =

8、 VOctg60o, 即点O到ABC三边距离相等. 所以 O是ABC内心.第26页CVEOFDAB第27页例3. 已知正四棱锥相邻两个侧面所成二面 角为120o, 底面边长a, 求它高、体积.ABCDSEO第28页ABCDSEO解：连结AC、BD交于O，连结SO， 则SO为正四棱锥高. 过B作BESC, E为垂足.连结DE, 则DEB为二面角D-SC-EB平面角, 所以DEB=120o.第29页ASBCDEO连结OE,第30页例4.如图三棱锥V-ABC中, D为BC上一点,E为 AV上一点, BCED, BCAV, ED AV, 已知 BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm. 求:三棱锥体积

9、.VABCDE第31页NEXTRETURNVABCDEBC=6, ED=4, AV=8.解：第32页RETURNEVABCDBC=6, ED=4, AV=8.第33页例5、如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,G为A1B1上点,E、F在棱AB上,H在C1D1上.(1).若点G在A1B1上滑动, H在C1D1上滑动,线段EF在AB上滑动,则VH-EFG值有何改变?(2).若点G滑动到B1,E、F滑动到A、B点,H滑动到D1点,则VH-EFG体积为多少?ABCDA1B1C1D1GHEF第34页 A D B CE 证实：在平面BCD内，作DE BC，垂足为E，连接AE, DE就是AE在平面BC

10、D上射影。 依据三垂线定理，AE BC。 AED。例6：已知：三棱锥A-BCD侧棱AD垂直于底面BCD， 侧面ABC与底面所成角为 求证：V三棱锥 SABCADcos SAB C ADcos BC AEcos ADV三棱锥 SB CD AD BC DE AD第35页例6：已知:三棱锥A-BCD侧棱AD垂直于底面BCD， 侧面ABC与底面所成角为 求证：V三棱锥 SABCADcos A D B CE 问题1、ADcos有什么几何意义？ F 结论： V三棱锥 SAB C DF 第36页例6、已知：三棱锥A-BCD侧棱AD垂直于底面BCD， 侧面ABC与底面所成角为 求证：V三棱锥 SABCADco

11、s A D B CE 结论： V三棱锥VC-AEDVB-AED 问题2、解答过程中 BC AEcos AD其中 AEcos AD可表示什么意思？AEcosEDSAED EDAD 又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE分别是三棱锥B-AED、C-AED高。 分析：第37页练习1：将长方体沿相邻三个面对角线截去一个三棱锥， 这个三棱锥体积是长方体体积几分之几？（请 列出三棱锥体积表示式）AB CD A CB D问题1、你能有几个 解法？ 问题2、假如这是一 个平行六面 体呢？或者 四棱柱呢？第38页练习2:从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到一个正三棱锥A-BCD，求它体积是正方体体积

12、几分之几？C D AB 问题2、假如改为求 棱长为a正四面 体A-BCD体积。 你能有几个解法？问题1、你能有几个 解法？解一、补形，将三棱 锥补成一个正方体。解二、利用体积公式 V四面体 SBCDh 解三、将四面体分割为 三棱锥C-ABE和三棱 锥D-ABEE第39页小结：1、锥体体积公式证实表达了从整体上掌握知识思想，形象详细地在立体几何中利用“割补”进行解题技巧。2、三棱锥体积证实分两步进行： 、证实底面积相等、高也相等任意两个锥体体积相等： （一个锥体体积计算能够间接求得） 、证实三棱锥体积等于其底面积与高积三分之一： （它充分揭示了一个三棱锥独特征质，可依据需要重 新安排底面，这么也为点到面距离、线到面距离计 算提供了新思索方法。这一点以后再学习。）3、锥体体积计算在立体几何体积计算中，占有主要位置，它 可补成柱体又能够截成台体，它能够自换底面、自换顶点，在 计算与证实中有较大灵活性，技巧利用得当，可使解题过程 简化，经常给人耳目一新感觉。第40页小结：4、定理及推论 定理一、等底面积等高两个锥体体积相等。 定理二、假如三棱锥底面积是S，高是h，那么 它体积是 V三棱锥 Sh 定理三：假