函数导数公式证明

1、函数导数公式及证明函数种类常量函数幂函数指数函数对数函数三角函数原函数f(x)C，C为常量f(x)xaf(x)xmf(x)axf(x)exf(x)logaxf(x)lnxf(x)sinxf(x)cosx求导公式f(x)0(xa)axa1(xa)(n)a(a1).(an1)xan(a0,1,2.,n1)(xm)(n)m!xmn,(nm)(mn)!(ax)axlna(ax)(n)axlnna,(0a1)(ex)ex(ex)(n)ex(logax)1xlna(logax)(n)(1)n1(n1)!,(0a1)xnlna(lnx)1x(lnx)(n)(1)n1(n1)!xn(sinx)cosx(sin

2、x)(n)sin(xn)2(cosx)sinx反三角函数双曲函数反双曲函数f(x)tanxf(x)cotxf(x)arcsinxf(x)arccosxf(x)arctanxf(x)arccotxf(x)sinhxf(x)coshxf(x)tanhxf(x)cothxf(x)arsinhxf(x)arcoshxf(x)artanhx(cosx)(n)cos(xn)2(tanx)sec2x1x1(tanx)2cos2(cotx)csc2x11(cotx)2sin2x(arcsinx)11x2(arccosx)11x2(arctanx)11x2(arccotx)11x2(sinhx)coshx(co

3、shx)sinhx(tanhx)1cosh2x(cothx)1xsinh2(arsinhx)1x21(arcoshx)1x21(artanhx)11x2复合函数导数公式复合函数f(x)g(x)f(x)gg(x)f(x)g(x)0fg(x)求导公式f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)gg(x)f(x)gg(x)f(x)gg(x)Cgf(x)Cgf(x)f(x)gg(x)f(x)gg(x)f(x)g(x)g2(x)fg(x)f(g(x)gg(x),1证明幂函数f(x)xa的导数为f(x)(xa)axa1证：(x)f(xVx)f(x)(xVx)nxnflimVxlim0VxVx0Vx依照二项式定

4、理张开(xVx)nlim(Cn0 xnCn1xn1VxCn2xn2Vx2.Cnn1xVxn1CnnVxn)xnVxVx0消去Cn0 xnxnlimCn1xn1VxCn2xn2Vx2.Cnn1xVxn1CnnVxnVxVx0分式上下约去Vxlim(Cn1xn1Cn2xn2Vx1.Cnn1xVxn2CnnVxn1)Vx0因Vx0，上式去掉零项Cn1xn1nxn1lim(xVxx)(xVx)n1x(xVx)n2.xn2(xVx)xn1Vx0Vxlim(xVx)n1x(xVx)n2.xn2(xVx)xn1Vx0 xn1xgxn2.xn2gxxn1ngxn12证明指数函数f(x)ax的导数为(ax)ax

5、lna证：f(x)limf(xVx)f(x)limaxVxaxVx0VxVx0Vxlimax(aVx1)VxVx0令aVx1m，则有Vxloga(m1)，代入上式limax(aVx1)limaxmVx1)Vx0Vx0loga(mlimaxmlimaxlnaaxlnaln(m1)01lim1Vx0Vxln(mVx01)mlnam1)ln(m1)x1依照e的定义elim(1，则lim(m1)me，于是xVx0 xlimaxlnaaxlnaxlna1lneaVx0ln(m1)m3证明对数函数fxlogax的导数为f(x)(logax)1()xlna证：f(x)limf(xVx)f(x)limloga

6、(xVx)logaxVx0VxVx0VxlogaxVxloga(1Vx)ln(1Vx)limVxxlimxlimxVx0Vx0VxVx0Vxlnaxln(1Vx)ln(1Vx)VxxlimVxxlim0 xVx0 xlnaVxxlna依照e的定义elim(11)x，则limln(1Vx)xVx0 xxxVxe，于是xln(1Vx)Vxlne1limxVx0 xlnaxlnaxlna4证明正弦函数f(x)sinx的导数为f(x)(sinx)cosx证：f(x)limf(xVx)f(x)limsin(xVx)sinxVx0VxVx0Vx依照两角和差公式sin(xVx)sinxcosVxcosxsi

7、nVxlimsin(xVx)sinxlimsinxcosVxcosxsinVxsinxVx0VxVx0Vx因lim(sinxcosVx)sinx，约去sinxcosVxsinx，于是Vx0limcosxsinVxVx0Vx因limsinVx1，于是Vx0Vxlim(cosxsinVx)cosxVx0Vx5证明余弦函数f(x)cosx的导数为f(x)(cosx)sinx证：f(x)limf(xVx)f(x)limcos(xVx)cosxVx0VxVx0Vx依照两角和差公式cos(xVx)cosxcosVxsinxsinVxlimcos(xVx)cosxlimcosxcosVxsinxsinVxc

8、osxVx0VxVx0Vx因lim(cosxcosVx)cosx，约去cosxcosVxcosx，于是Vx0limsinxsinVxVxVx0sinVx1，于是因limVxVx0lim(sinxsinVxsinxVx)Vx06证明正切函数f(x)tanx的导数为f(x)(tanx)1cos2x证：f(x)limf(xVx)f(x)limtan(xVx)tanxVx0VxVx0Vxsin(xVx)sinxlimcos(xVx)cosxlimsin(xVx)cosxsinxcos(xVx)Vx0VxVx0Vxcos(xVx)cosx依照两角和差公式sin(xVx)sinxcosVxcosxsinV

9、x,cos(xVx)cosxcosVxsinxsinVx代入上式lim(sinxcosVxcosxsinVx)cosxsinx(cosxcosVxsinxsinVx)Vx0Vxcos(xVx)cosxlimcosxcosxsinVx(sinxsinxsinVx)sinVx(cosxcosxsinxsinx)Vxcos(xVx)cosxlim0Vxcos(xVx)cosxVx0Vx因cos2xsin2x1sinVxlimVx0Vxcos(xVx)cosx因limsinVx1，limcos(xVx)cosx，上式为Vx0VxVx0sinVx11lim2Vx0Vxcos(xVx)cosxcosx7证

10、明余切函数f(x)cotx的导数为f(x)(cotx)1sin2x证：f(x)limf(xVx)f(x)limcot(xVx)cotxVx0VxVx0Vxcos(xVx)cosxlimsin(xVx)sinxlimcos(xVx)sinxcosxsin(xVx)Vx0VxVx0Vxsin(xVx)sinx依照两角和差公式sin(xVx)sinxcosVxcosxsinVx,cos(xVx)cosxcosVxsinxsinVx代入上式lim(cosxcosVxsinxsinVx)sinxcosx(sinxcosVxcosxsinVx)Vx0Vxsin(xVx)sinxlimsin2xsinVxc

11、os2xsinVxsinVx(sin2xcos2x)Vxsin(xVx)sinxlim0Vxsin(xVx)sinxVx0Vx因sin2xcos2x1,且limsinVx1，limsin(xVx)sinx，代入上式Vx0VxVx0limsinVx112Vx0Vxsin(xVx)sinxsinx8证明复合函数f(x)g(x)的导数为(x)g(x)f(x)g(x)f证:f(x)f(xVx)g(xVx)f(x)g(x)g(x)limVxVx0f(xVx)f(x)g(xVx)g(x)limVxVxVx0f(x)g(x)9证明复合函数f(x)g(x)的导数为f(x)g(x)(x)g(x)f(x)g(x)

12、f证:f(xVx)g(xVx)f(x)g(x)f(x)g(x)limVxVx0limf(xVx)f(x)f(x)g(xVx)f(x)g(xVx)g(xVx)g(x)Vx0Vxf(xVx)f(x)g(xVx)f(x)g(xVx)f(x)g(xVx)f(x)g(xVx)g(x)limVxVx0f(xVx)f(x)g(xVx)f(x)g(xVx)g(x)limVxVx0f(xVx)f(x)g(xVx)g(xVx)g(x)limVxf(x)VxVx0f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)f(x)gg(x)f(x)gg(x)10证明复合函数的导数为f(x)g(x)g(x)g2(x)证:f(xVx)f(

13、x)g(xVx)g(x)f(x)g(x)limVxVx0f(xVx)g(x)f(x)g(xVx)limVx0Vxg(x)g(xVx)f(xVx)f(x)f(x)g(x)f(x)g(xVx)g(x)g(x)limVxg(x)g(xVx)Vx0f(xVx)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(xVx)g(x)f(x)g(x)limVxg(x)g(xVx)Vx0f(xVx)f(x)g(x)f(x)g(xVx)g(x)limVxg(x)g(xVx)Vx0f(xVx)f(x)g(x)f(x)g(xVx)g(x)limVxVxg(x)g(xVx)Vx0f(x)gg(x)f(x)gg(x)g2(x)1

14、1证明复合函数fg(x)的导数为fg(x)f(g(x)gg(x)证:f(g(x)limf(g(xVx)f(g(x)VxVx0令ug(x),则有Vug(xVx)g(x)limf(uVu)f(u)VxVx0limf(uVu)f(u)VuVuVxVx0limf(uVu)f(u)g(xVx)g(x)VuVxVx0f(u)gg(x)f(g(x)gg(x)12证明复合函数lnf(x)f(x)的导数为lnf(x)f(x)证:令uf(x),lnf(x)lnugu1guf(x)uf(x)13求复合函数xx的导数解:令uxxlnuxlnxu等式左边求导为lnuuxlnxlnxx1lnx1等式右边求导为xlnxx(

15、lnx)x于是有ulnx1,uu(lnx1)u则(xx)(lnx1)xx14.证明反三角函数arcsinx的导数为(arcsinx)11x2证:令yarcsinx,则sinyx对上式两边求导,等式右边x1等式左边(依照复合函数求导公式),其导数为(siny)(cosy)gy于是有(cosy)gy1y11(cosy)1sin2y再将yarcsinx代入上式(arcsinx)111sin2(arcsinx)1x215.证明反三角函数arccosx的导数为(arccosx)11x2证:令yarccosx,则cosyx对上式两边求导,等式右边x1等式右边(依照复合函数求导公式),其导数为cosy(siny)gy于是有(siny)gy1,整理后以下：y11(siny)1cos2y再将yarccosx代入上式(arccosx)111cos2(arccosx)1x216.证明反三角函数arctanx的导数为1x2(arctanx)1证:令yarctanx,则tanyx对上式两边求导,等式右边x12y)gy等式右边(依照复合函数求导公式),其导数为tany(1tan于是有(1tan2y)gy1,整理后以下：y11tan2y再