电磁场与电磁波-矢量分析

1、第一章 矢量分析本章主要介绍与电磁场理论有关的矢量分析方法及定理主要内容：矢量分析基础标量场的方向导数梯度矢量场的通量和散度矢量场的环量和旋度圆柱坐标系与球坐标系亥姆霍兹定理1.1 矢量分析基础标量与矢量矢量的表示与运算法则标量场与矢量场标量场的等值面和矢量场的矢量线1.1.1 标量与矢量标量：只用大小就能够完整描述的物理量称标量。例：温度、质量、电量。矢量：既有大小、又有方向的物理量。 例：力、速度、力矩、磁场强度、加速 度等。1.1.2 标量和矢量的表示（约定）标量用白体表示 例如： S 、 V矢量用黑体表示 例如： F 、 V矢量的大小用相应的白体表示 例如:用A表示A的大小则称 A 为

2、 A 的模值记为： A =|A| 或 A = |A|eA=AeAeA为单位矢量，表征矢量的方向。矢量的图形表示：线段的长度代表矢量的大小、线段的方向代表矢量的方向。矢量大小矢量的方向A矢量的手写表示：常用字符上加一个箭头表示。A一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector）。 一个大小为1的矢量称为单位矢量（Unit Vector），常用小写字母e表示。 在直角坐标系中， 用单位矢量ex、 ey、 ez表征矢量分别沿x、y、 z轴分量的方向。 1.1.3 矢量的运算法制矢量的加法运算矢量的减法运算两个矢量的乘积两个矢量的乘积有两个定义：点积叉积运算结果运算

3、结果标量矢量运算结果标积矢积两个矢量的点积：写成其值为： 点积的性质：交换律分配律按乘数比例两个矢量的叉积：写成其值为：叉积的性质：不服从交换律但服从分配按乘数比例例A1-1 若是否意味着总是等于呢？解：因为可写成于是得出如下结论：(a)都满足或或(b)(c)1.1.4 标量场与矢量场常矢矢量的大小（模）和方向都不发生变化（保持不变）例如：无限大极板间的电场强度； 地面某点的物体所受的重力变矢矢量的大小（模）和方向或两者之一会发生变化的矢量例如：环绕地球运行的人造地球卫星的速度 圆形轨道：速度大小不变，速度方向变 椭圆轨道：速度的大小和方向都在变标量函数：当某个量(比如温度 T )随着另一个量

4、(比如时间 t )而变，我们就说T是t的函数，这是标量函数表示为： T = T( t )对于矢量也存在相应的函数，称为矢性函数例如：卫星的速度是时间 t 的矢性函数场的定义： 如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。若该物理量为标量，则称标量场, 可用标量函数表示f(x,y,z)；若该物理量为矢量，则称矢量场, 可用矢性函数表示F(x,y,z)；若该物理量与时间无关，则该场称为静态场； 若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。 F(x,y,z,t)f(x,y,z,t)笛卡尔坐标系我们的标量函数（标量场）通常用笛卡尔坐标系

5、表示，我们的矢性函数也可以用笛卡尔坐标系来表示根据矢量的运算规则，多个矢量可以进行矢量相加，反过来，一个矢量以可以分解为多个矢量的和 空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定， 如图所示。 从原点指向点P的矢量 r 称为位置矢量(Position Vector)， 它在直角坐标系中分解成3个分量之和 式中， X、 Y、 Z是位置矢量 r 在x、 y、 z 轴上的投影。 代表x、y、z方向上模为1的单位矢量 这样一来，任何一个矢性函数都可以用3个标量函数来表示：用这种方式表示矢量，使得对矢性函数的各种运算就转变为分别对3个标量函数的运算。例如：这样只要分别求标量

6、函数的极限即可。直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：任意两矢量的标量积， 用矢量的三个分量表示为任意两矢量的矢量积， 用矢量的三个分量表示为1.1.5 标量场的等值面和矢量场的矢量线标量场的等值面 一个标量场可以用一个标量函数来表示。 在直角坐标系中， 可将表示为 = (x, y, z) 由所有场值相等的点所构成的面（线），称为等值面（线），其方程为： (x, y, z)=const随着const的取值不同， 得到一系列不同的等值面。 对于由二维函数v=v(x, y)所给定的平面标量场， 可按v(x, y)=C得到一系列不同值的等值线。 例：r =(x2+y2+z2)1/2 所代表的为一球面，

7、当r分别取不同的值a、b时，得到不同的等值面方程： (x2+y2+z2)1/2 =a (x2+y2+z2)1/2 =b 分别代表半径为a、b的球面。若想求通过M（1，0，1）的球面，可先将M代入r =(x2+y2+z2)1/2 求出球面半径r： r =(12+02+12)1/2 =2 1/2 则通过M（1，0，1）的球面方程为：x2+y2+z2 =2其方程为:（1）标量场-等值线(面)形象描绘场分布的工具场线思考在某一高度上沿什么方向高度变化最快？h(x, y,z)=const密稀（2）矢量场的矢量线所谓矢量线(ector Line)， 是这样一些曲线： 在曲线上的每一点处， 场的矢量都位于该

8、点处的切线上。 例：电力线、磁力线、流速场中的流线等。 图 1-1 矢量场的矢量线 一根长直导线的磁场的磁感应线用铁粉的图形描绘。 矢量线方程的表达式： 设P为矢量线上任一点， 其矢径为r， 则根据矢量线的定义， 必有 （1-1a） 在直角坐标系中， 矢径r的表达式为 （1-1b） 将其代入式（1-1a）即得矢量场的矢量线满足的微分方程为（1-1） 例1-1 求数量场 =(x+y)2-z通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。 解：点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为 或 例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy

9、2ez的矢量线方程。解： 矢量线应满足的微分方程为 从而有 解之即得矢量方程 c1和c2是积分常数。 1.2 标量场的方向导数和梯度1.2.1 标量场的方向导数 图 1-2 方向导数的定义 方向导数表征标量场空间中，某点处场值沿各个方向变化的规律。方向导数的定义： 设M0是标量场=(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l, 在l上M0的邻近取一点M，MM0=，如图所示。若当M趋于M0时(即趋于零时)， 的极限存在，则称此极限为函数(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为 若函数=(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可微，cos、cos、cos为l方向的方向余弦，则

10、函数在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且为 证明：M点的坐标为M(x0+x, y0+y, z0+z)，由于函数在M0处可微，故 两边除以，可得 当趋于零时对上式取极限，可得 记住！方向导数的物理意义：标量场在M0处沿l方向的增加率。：标量场在M0处沿l方向的减小率。：标量场在M0处沿l方向为等值面方向（无改变）。 例1-3 求数量场 在点M(1, 1, 2)处沿方向 的方向导数。 解：l方向的方向余弦为 而 在点M处沿l方向的方向导数 点M(1, 1, 2)数量场在 方向的方向导数为 1.2.2 标量场的梯度 在直角坐标系中，令 则沿 方向的单位矢量为： 标量场(x, y, z)在 方向上

11、的方向导数为 其中： 由（1-4）知，当 与 的方向一致时，即 时，标量场在点M处的方向导数最大，也就是说沿矢量G方向的方向导数最大，此最大值为 梯度的意义：1、标量场的梯度是矢量，且是坐标位置的函数。2、标量场的梯度的幅度表示标量场的最大增加率。3、标量场的梯度方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向。4、标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在此方向上的投影。 设c为一常数，u(M)和v(M)为标量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。 梯度的重要性质证明： 例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量的模， 即 ， 证明： 证： 因为 所以 求方向导数的方法：例1-5 求

12、在M(1，0，1)处沿方向的方向导数。解： 由例1-2知r的梯度为 点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, 所以r在M点处的梯度为: 而 所以 r在M点沿l方向的方向导数为 : 例1-6 已知位于原点处的点电荷q在点M(x, y, z)处产生的电位为 ，其中矢径 为 ，且已知电场强度与电位的关系是E= -，求电场强度E。 解： 作业：1.1 1.2 1.31.3 矢量场的通量和散度 1.3.1 矢量场的通量 1、面元及法线：将曲面的一个面元用矢量 来表示，其方向取为面元的法线方向， 其大小为 ，即 是面元法线方向的单位矢量。图 1-3 法线方向的取法 的指向有两种情况：对开曲面上的面元，遵

13、守右手螺旋法则，如图1-3(a)所示； 对闭曲面，取外法线方向。2、通量：若矢量场 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义： 如果曲面是一个封闭曲面，则 为矢量 沿曲面 的通量。 例：设河水的流速是v m/s，河道横截面积为S m2，则河水的流量是：下面两个方形容器哪个单位时间里接的雨水多?左图右图3、通过闭合面S的通量的物理意义：若0：则闭合面内有发出矢量线的正源。若 0 (有正源) l时，其空间电位的表达式为 解： 在球面坐标系中，哈密顿微分算子的表达式为 求其电场强度因为 说明：矢量场可分解为一个有源无旋场和有旋无源场之和，即:若矢量场 在某区域V中处处有:则 由其在边界上的场分布确定。（注意：若整个空间散度和旋度都为0，则此矢量场不存在。）1.6 亥姆霍兹定理 在有限空间区域中，则矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和， 即 1.6.1 亥姆霍兹定理1、无旋场：若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个区域内有 ，则称该区域内，场 为无旋场。无旋场的重要性质：1.6.2 无旋场与无散场 讨论：标量场梯度的重要性质：无旋场的旋度始终为0，可引入标量辅助函数表示无旋场，即： 标量函数 称无旋场 d 的标量位函数，称标量位。2、无散场：若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个区域