2022年秋新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用习题课导数及其应用课件新人教A版选择性必修第二册

1、高频考点一|导数与函数的单调性例1(2021全国甲卷)设函数f(x)a2x2ax3ln x1，其中a0.(1)讨论f(x)的单调性(2)若yf(x)的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)计算函数f(x)的导数f(x)；(3)解不等式f(x)0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f(x)0，得到函数f(x)的递减区间提醒求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误1求函数的极值的方法(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干

2、小开区间，并列成表格检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值2求函数的最值的方法(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在a，b上的最值集训冲关1函数f(x)13xx3()A有极小值，无极大值 B无极小值，有极大值C无极小值，无极大值 D有极小值，有极大值解析：f(x)3x23，由f(x)0，得x1.当x(1,1)时，f(x)0，f(x)的单调递增区间为(1,1)；同理，f(x)的

3、单调递减区间为(，1)和(1，)，当x1时，函数有极小值1，当x1时，函数有极大值3，故选D.答案：Dh(x)minh(1)10，从而g(x)0，故g(x)在1，)上单调递增，g(x)ming(1)2，k2.故实数k的取值范围为(，2解(1)f(x)x(x2)(ex11)，由f(x)0得x12，x20，x31.当2x1时，f(x)0；当x2或0 x1时，f(x)0，所以函数f(x)在(2,0)和(1，)上是增函数，在(，2)和(0,1)上是减函数(2)证明：f(x)g(x)x2ex1x3x2(ex1x)设h(x)ex1x，h(x)ex11，由h(x)0得x1，则当x1时，h(x)1时，h(x)

4、0，即函数h(x)在(1，)上单调递增因此，当x1时，h(x)取最小值h(1)0.即对任意实数x都有h(x)0，又x20，所以f(x)g(x)0，故对任意实数x，恒有f(x)g(x)1利用导数解决不等式问题的策略利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解其实质是这样的：要证不等式f(x)g(x)，则构造函数(x)f(x)g(x)，只需证(x)0即可，由此转化成求(x)最小值问题

5、，借助于导数解决2解决恒成立问题的方法(1)若关于x的不等式f(x)m在区间D上恒成立，则转化为f(x)maxm.(2)若关于x的不等式f(x)m在区间D上恒成立，则转化为f(x)minm.(3)导数是解决函数f(x)的最大值或最小值问题的有力工具3证明不等式时的一些常见结论(1)ln xx1，等号当且仅当x1时取到；(2)exx1，等号当且仅当x0时取到；(3)ln xx0；集训冲关1已知a0，函数f(x)ax(x2)2(xR)若对任意x2,1，不等式f(x)32恒成立，求a的取值范围解：因为f(x)ax(x24x4)ax34ax24ax，所以f(x)3ax28ax4aa(3x28x4)a(3x2)(x2)(2)证明：当a1时，f(x)e(x2x1ex1)ex.令g(x)x2x1ex1，则g(x)2x1ex1.当x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增所以g(x)g(1)0.因此f(x)e0.讨论方程根的个数，研究函数图象与x轴或某直线的交点个数的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列