(江苏专用版)20182019学年高中数学学业分层测评6圆锥曲线的极坐标方程应用苏教版选修44

1、学业分层测评(六)圆锥曲线的极坐标方程及应用(建议用时：45分钟)学业达标x2y21过椭圆2591的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A、B两点，若FA2FB，求直线l的斜率x2y2【解】椭圆1中，a5，3，4，259bcb29所以e5，pc4.取椭圆的左焦点为极点，x轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方49549程为454cos.15cos设A(，)、B(，)由题设得2.于是99，54cos254cos12125119119解得cos12，所以tan5，即直线l的斜率为5.2已知椭圆方程为16，过左焦点引弦AB，已知AB8，求AOB的面积53cos【解】如图，设A(1，)、B

2、(2，)16所以1253cos16160.由于AB8，160所以259cos28，所以25cos9，sin23.由椭圆方程知2c3b16ea5，c3，则c3.11SAOBSAOFSBOF2OF1sin2OF2sin8.3如图4-2-4，过抛物线y22px(p0)的焦点F的弦AB与x轴斜交，M为AB的中点，MNAB，并交对称轴于N.4-2-42求证：MNAFBF.【证明】取F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为p1cos.设A(1，)、B(2，)，则ppp2AFBF1cos1cossin2.1)22211pppcos2(1cos1cos)sin2.所以tanMNMFpcosp.

3、sin2tansin2所以MNAFBF.4如图4-2-5，已知圆：224x0，抛物线G的极点是坐标系的原点，焦点是已Fxy知圆的圆心F，过圆心且倾斜角为的直线l与抛物线G、圆F从上至下按次交于A、B、C、D四点4-2-5当直线的斜率为2时，求ABCD；当为何值时，ABCD有最小值？并求这个最小值【解】圆F：x2y24x0的圆心坐标为(2,0)，半径为2，所以抛物线的焦点到准线的距离为4.以圆心F为极点，Fx为极轴建立极坐标系则圆F的坐标方程为2，抛物线G的极4坐标方程为1cos.设A(1，)、D(，)，所以ABAF2，CDFD2，即ABCDAFFD42444444412881cos24sin2

4、4.4由题意，得tan2，所以sin.58所以ABCDsin246.8(2)ABCDsin24，当sin21，即2时ABF2的面积取到最小值4.5已知抛物线p，过焦点作互相垂直的极径、，求的面积的1cosFAFBFAB最小值【解】设A(1，)、B2，2，则ppp11cos，21sin.1cos2FAB的面积为S1121pp221cos1sinp2cossinp2.cossinsincos2设tsincos，则sincos1t.2121所以1cossinsincos1t2t2(t1)2.又tsincos2sin42，2，所以当t2，即3p22.时，FAB的面积S有最小值246已知椭圆C的中心在原

5、点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆短轴的一个极点，且F1PF290.求椭圆C的离心率；(2)若直线l过左焦点F与椭圆交于A、B两点，且ABF的面积的最大值为12，求椭12圆C的方程【导学号：98990017】【解】2222222(1)由于F1PF290，所以PF1PF2F1F2，即aa4c.所以ec.a2以椭圆的左焦点F1为极点，Fx为极轴建立极坐标系，设椭圆的方程为22pp.122coscos2A(1，)、B(2，)，则ABAFFB12pp2cos2pp22p2cos2cos2cos2.由于FF2c，所以ABF的边AB上的高h为2c|sin|，ABF的面积S2ABh1222122pc|s

6、in|22pc|sin|2cos21sin22pc1.|sin|sin|1|sin|2，由于|sin所以当|sin|1，即2或32时S取到最大值所以当l过左焦点且垂直于极轴时，ABF2的面积取到最大值2pc，所以2pc12，b262.a2c262.又c2，a2所以a2122，c262.所求椭圆的方程为x2y21.12622x2y2lxyP是l上一点，射线交椭圆于，又点7已知椭圆1，直线：1，2416128OPRQ在OP上，且满足|OQ|OP|OR|2，当点P在l上搬动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线【解】如图，以O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系，则：2482，椭圆的极坐标方程为2c

7、os23sin直线l的极坐标方程2cos24.3sin由于点Q、R、P在同一射线上，可设点Q、R、P的极坐标分别为(，)、(1，)、(，)，依题意，得2248，12cos223sin22cos24.3sin由|OQ|OP|OR|2得221(0)将代入，2448得2cos3sin2cos23sin2，4cos6sin则2cos23sin2(0)这就是点Q的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程，得2x23y24x6y，x2y2即1(x、y不同样时为0)5523点Q的轨迹为以(1,1)x轴，长、短半轴长分别为1015为中心，长轴平行于2，3的椭圆(去掉坐标原点)能力提升8建立极坐标系证明：已知半圆直径

8、|AB|2r(r0)，半圆外一条直线l与AB所在直线垂直订交于点，并且|2(2ar)若半圆上相异两点，到l的距离|、|TATa2MNMPNQ满足|MP|：|MA|NQ|：|NA|1，则|MA|NA|AB|.【证明】法一以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为2rcos，设M(1，1)，N(2，2)，则12rcos1，22rcos2，|MP|2a1cos12a2rcos21，|NQ|2a2cos22a2rcos22，|MP|2a2rcos212rcos1，|NQ|2a2rcos222rcos2，2cos1，cos2是方程rcosrcosa0的两个根，由韦达定理：cos1cos21，|2cos12rcos22|.MANArrAB法二以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为2rco