初三数学复习-数与式(知识点讲解)

1、【 整 数 零 【 整 数 零 初数复 数式第课实的关念知识要点（一）实数的有关概念 （1）实数的分类实数 数 有理数 负整数 数 无限不循环小当然还可以分为：正实数、零、负实数。有理数还可以分为：正有理数，零，负有理数（2）数轴：数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中，实现数形结合的载体，数轴的三要 素：原点、正方向和单位长度 实数与数上的点一一对应的 ，我们还可以利用这种一、 一对应关系来比较两个实数的大小。（3）绝对值 a 绝对值的代数意义： | a 0)( 绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。 （4）相反数、倒数1实数的相反数为，非零实数a的倒数

2、记为 ，零没有倒数。a若 a、b 两个数为互为相反数，则 a+b=0。若 m、n 两个数互为倒数，则 mn=1。（5）三种非负数： | ，a2， a 0) 都表示非负数。“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简，求值。 （6）平方根、算术平方根、立方根的概念。如果一个数的平方等于 a这个数就叫做 的方根一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 有一个平方根，它是 0 本；负数没有平方根a(a根作 一个正数 的的平方根，叫1 / 10， ， ， ， ， ， ， ， 中无理数的个数是做 a 的算术平方根a(a的算术平方根记作 （7）科学计数法、有效数字和近似值的概念。近似

3、数：有效数字：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位一个近似数，从左边第一个不的字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字科学记数法：把一个数用 (1 整的式记数的方法叫科学记数法【典型例：】 例 1 贵州盘，3 分数A1 B2 cos45 （ ） C3 D4点评：此题主要考查了无理数的定义，其中：（1）有理数都可以化为小数，中整数可以看作小数点后面是零的小数，例如 5=5.0；数都可化为有 限小数或无限循环小数（2）无理数是无限不循环小数其中有开方开不尽的数（3）有限小数和无限循环小数可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来表示；而无限不 环小

4、数不能化为分数，它是无理数P2 例 4、（2012湖北省恩施市题号 16 值 ）观察下表：根据表中数的排列规律，B+D=_.例补、 河北 17,3 分17、某数学活动小组的 20 位学站成一列做报数游戏，规则是：从2 / 10 前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加 1 ，第 1 位学报 2 位学报 这样得到的 个数积为_. 第课：数运及较小【知识要点一 、实数的运算 加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 ；个数同 相 加，仍得这个数减法：乘法：减去一个数等

5、于加上这个数的相反数几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负几个数相乘，有一个因数，就为除法：除以一个数，等于乘上这个数的倒数两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除除任何一个不等的都得 乘方与开方n数所表示的意义是 个 相，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负正可开平方，负数不开平方；正数、负数都以开立 零数与负指数二 、实数大小的比较 对 于 数 轴 上 的 任 意 两 个 点 ， 靠 右 边 的 点 所 表 示 的 数 较 大 2.正数都大于 0负数都小于 0，两个正数，绝对值较大的那个正大；两个负数

6、；绝对值大的反而 对 于 实 数 、 b ， 若 0 a b ；a-b=0 a=b ；a-b 0 a b. 对 于 实 数a ， ， ， 若a ， ， 则a c.无理数的比较大小：3 / 10利 用 平 方 转 化 为 有 理 数 ： 如 果a 0 ， 2 则a b ；或利用倒数转化：如比较 与 .三 、实数运算顺序加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算这三级运算的顺序是三、二 一如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算四 、实数的运算律加法交换律：加法结合律：乘法交换律：ab=ba乘法结合律：乘法分配律【典型例：】P3 例 3（2012 山东省

7、聊城，10，3 分）如右图所示的数轴上，点 B 与 关点 对，、B 两对应的 实数是 3 和1，则点 C 所应的实数是（ ）A. 1+B. 2+C. 2 3 -1 D. 2 +1P4 例 4(2012 广东头，21，7 )观察下列等式：第 1 个等式：a =第 2 个等式：a =第 3 个等式：a =第 4 个等式：a = ）；= ）= ）= ）请解答下列问题：（1）按以上规律列出第 5 个等a = = ；4 / 10整 式 分 式整 式 分 式（2）用含有 n 的数式表示第 n 个式a =（n 为正整数）；（3）求 a +a +a 的 分析： （1）（2）观察知，找第个等号后面的式子规律是关

8、键：分子不变，为 1；分母 是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为 序号的 2 倍 和号的 2 倍加 1（3）用变化规律计算第三课时整式与因式解（一）【整式知识理】 代数式的分类1.整式有概念代数式 式 有理式 多项式 无理式（1单项式：含有的积的代数叫做单项。单项式 _ 叫做这个项式的系数；单项式_叫做这个项式的次数；（2多项式：个的和，叫做项式。_ 叫做常项。多项式中 _ 次数，就是这个多项式的次数。多式中 的个数，是这个多式 的项数。2.同类、合并同项（1同类项： （2合并同类：_叫做同类项 叫做合并同项；（3合并同类法则：（4去括号法：括号前“”号 _括号前是“”号，_（5添

9、括号法：添括号，括号前“+号，插到括号里的各项符号都 ；括号是“”， 括到括号里各项的符都 。3.整式运算（1整式的加法：运算质上就是并同类项，遇到括号要先去括号。（2整式的乘法：4. 幂运算：5 / 10n n 同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。即 a m a m , n 都是正整数）。 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即： m , 都是正整数）。积的乘方等于每一个因数乘方的积。即： （ n 是正整数）同底数幂相除，底数不变，指数相减。即：m （ ），0，（a0, 是正整数）5整式的乘法：（1 ）项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因 式。

10、单项式乘以多项式： 。（3乘法公式：平方差：。完全平方公式： 。6.整的除法：（1）项式相：把它们的系数、相同字母分别相除，作为商的因式；对于只在除式 里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，相同字母相除要用到同底数幂的运算性质（2）多项式除以单项式：先把个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 。（二）因式分解知梳理】 分 解 因 式 把 一 个 多 项 式 化 成的 形 式 ， 这 种 变 形 叫 做 把 这 多 项 式 解 因 式 分解困式的方法 ：提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将项式化 成 两 个 因 式 乘 积 的 形 式

11、 ， 这 种 分 解 因 式 的 方 法 叫 做 提 公 因 式 法 运 用 公 式 法 ： 平 方 差 式 : 完 全 平 方 公 式 :；分解因式的步骤 ：（）分解 因式，首先考虑是否公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否用公式法分解 （2 ）用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑完全平方公式；若是三项以上 ，可先进行适当的分组 ，然后分解因式 。6 / 10【型题】例、分解因式（x-1）（x-1+1的结果是（ ）A（x-1）（x-2） x C（x+1 （x-2）P6 例 5( 2012 年江省宁波市20,6)同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：第第第

12、第（1） 第 5 个图形有多少颗黑棋子？（2） 第个图形有 颗子？说明理由。第四课时【整式识梳理】1分式有关概念（1分式：分母中含有字母的式子叫做式 。对于一个分式来说：分式 时分式有意义。当 _ 时式没有意义。只有在同时满足 _ ，且 _两个条件时，分式的值才是零。（2最简分式：一个分式的分子与分母_，叫做最简分式。（3约分：把一个分式的分子与分母的 约去，叫做分式的约分。将一个分式约分的主要步骤是：把分式的分 子与分母_然后约去分子与分母的_ （4）通分：把几异分母的分式分别化成与 等的 _ 的式叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的_。（5 ）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次

13、幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求几个分式的最简公 分母时，注意以下几点：当分母是多项式时，一般应先 ；如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；若分母的系数是负数，一般先把“”号提到 分式本身的前边。2分式性质：（1基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的值 （2符号法则： _ 与_符号， 改变其中任何两个，分式的值不变。即：3.分式的运算：注意：为运算简便， 若分式的分子与分母的各项系数是分数或小数时，一般要化为整数。若分式的分子与分母的最高次项系数是负数时，一般要化为正数。（1）分式的加减法

14、法则：）同分母的分式相加减， ，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先 ，化为的分式，然后再按进行计算（ 2 ） 分 的 乘 除 法 则 ： 分 式 乘 以 式 用 _ 做 积 的 分 子 ， _ 做 积 分 ， 公 式 ：7 / 10 _ ； 式 式 母 _ 被 乘 式： ；（3分式乘方是_ ，式_4分式的混合运算顺序，先 ，再算 ，最后算 ，有括号先算括号内。5对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值【型题】类型一分式的基本质例、浙江省乌，3）列计算错的是 )A0.2a a 0.7a 7 B x y yCa b D1 2 c c类型二分式化简求例 广东庆，20，7

15、）化简，后求值：(1 1 x) ，其中 =-4【知识理】二次根：形如第五课时 的开方二次根式（a）的式子叫做二次根式。注意：（ 1）在次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但须注意：因为负数没有平方根，所以 0 是 为二次根式的前提条件，如 ， x，等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。（2）二次根式有意义的条件：二次根式的意义可知，当 0 时， a 意义，是二次根式，所以要使 二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。（3）次式（a）的负性（a）示 a 的算术平方根，也就是说，（a）是一个非负数，即0（a0）、最简次根式：同时满足：被开方数的因数是整数，因

16、式是整式（分母中不含根号）； 被 开 方 数 中 含 能 开 得 尽 方 的 因 数 因 式 。 这 样 的 二 次 根 式 叫 做 最 简 二 次 根 式 。 、类二次根式：几个二次根式 成简次式 ，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。、二次根式的性质（1( a（a）8 / 102 2 2 22 2 2 2描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注意：二次根式的性质公式( 2a（a）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若 a0，则a a 2，如： 2)2，1 2 。（22 a ( ( a 0)描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

17、注意：、化简 a 时一定要弄明白被开方的底数 a 正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本身 ， 即 2 a ( a 0)； 若 a是 负 数 ， 则 等 于 a的 相 反 数 -a, 即2 3 1.732 ；5 2.236 ；7 2.646；、 中 取值范围可以是任意实数，即不论 取何， a 一有义；、简 时，先将它化成a，再根据绝对值的意义来进行化简。（3( a )2与a的同不点： ( ) 与 表的意义不同的， ) 表一正数 的算术平方根的平方，而 a 表示一个实数 a 的方的算术平根；在 ( ) 2 中 ，a中 a 可以是正实数， 0，负数。但( a 2与a都是非负数，即( a ) 2 ，a 2 。因而它的运算的结果是有差别的，( ) 2 （0 ， a ( 0) ( a 0)、相同点：当被开方数都是非负数，即 a0 ， ) = ；a0 时， ( ) 2 意义，而a。、二根的算（1）因式的外移和内移：如果开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，