近世代数基础测验卷

1、测验题一、填空题(42分)1、设集合心与航分别有代数运算。与且M瓦,则当。时，：也满足结合律;当。时，：也满足交换律。2、对群中任意元素。,有(。幻-1=；3、设群G中元素a的阶是n, nlm则血=；4、设是任意一个循环群，若也1=8,贝与 同构；若a=n ,则与 同构；5、设G=(。)为6阶循环群，则G的生成元有；子群有；6、n次对称群S的阶 ；置换t = (1378)(24)的阶是；n/1 23 4)c 口 23 4)7、设a=l 3 4 J昨 1 3 2/ 则郎=；8、设。=(14)(235), t = (136)(25),则 oe t =；9、设H是有限群G的一个子群，则IGI=；10

2、、任意一个群都同一个同构。二、证明题(24)1、设G为n阶有限群，证明：G中每个元素都满足方程2、叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群G的任意两个子群H与K 的交H D K仍然是G的一个子群。3、证明:如果群G中每个元素都满足方程X2 = e,则G必为交换群。2、b-1 a-i ；32、b-1 a-i ；3、4、5、e；整数加群；n次单位根群；? ,a3 e,a2,a4 f,a,a2,a3,a4,a5 ；a, a5 ；6、n!;4(1 27、I4 1二、解答题(34)1、叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算a b = a + b + 4作成群。2、写出三次对称群53的所有

3、子群并写出%关于子群H=d), (23)的所有左陪集和所有右陪集。参考答案：一、填空题1、满足交换律;1、满足交换律;8、9、(456)(32)8、9、IHI:(G:H)10、(双射)变换群;二、证明题1、已知 G =1 n I, lal=k，则kln令 n=kq,则 an = akq = (ak)q = e即G中每个元素都满足方程xn = e2、充要条件：a, b g H, n ab g H; a g H n a-i g H ； 证明：已知H、K为G的子群，令Q为H与K的交设 a, b g H，则 a, b g H, a, b g KH是G的子群，有ab e HK是G的子群，有ab e K:

4、.ab e QVa e H，则 a e H且a e K由定理1，可知a -i e H综上所述，H也是G的子群。3、证：Va, b e G;ab e Ga - a -i = a - a = a 2由消元法得a = a -1ab = (ab) -1 = b -ia -1 = baG是交换群。三、解答题1、解：设G是一个非空集合，。是它的一个代数运算，如果满足以下条件:结合律成立，即对G中任意元素a, b, c，有(a b)。c = a。(b。c)G中有元素e，它对G中每个元素a，都有e。a = a对G中每个元素a,在G中有元素a-1，使a-1。a = e则G对代数运算。作成一个群。对任意整数a,b

5、，显然a+b+4由a,b唯一确定，故。为G的代数运算。(a。b)。c=(a+b+4)。c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8a。(b。c)=a+b+c+8即(a。b)。c= a0 (b。c)满足结合律V a 均有(-4)。a=-4+a+4=a故-4为G的左单位元。(-8-a)。a=-8-a+a+4=-4故-8-a是a的左逆元。2、解：I S3 1= 6其子群的阶数只能是1，2, 3, 61阶子群(1)2 阶子群(1) (12) (1) (13) (1) (23)3 阶子群(1) (123) (132)6阶子群S3左陪集：(1) H= (1) (23) = (23) HH= (12) (123) = (123) HH= (13) (132) = (132) H右陪集