微积分课件：D12-4傅立叶级数

1、第四节一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数 第十二章 傅里叶级数 四、以2l为周期的函数的Fourier级数展开式一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :令得函数项级数为角频率,为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.定理 1. 组成三角级数的函数系证:同理可证 :正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在上的积分不等于 0 .且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 二、函数展开成傅里叶级数定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 在-,上可积

2、右端级数可逐项积分, 则有证: 由定理条件,对在逐项积分, 得(利用正交性)类似地, 用 sin k x 乘 式两边, 再逐项积分可得叶系数为系数的三角级数的傅里叶系数 ;由公式 确定的以的傅里的傅里叶级数 .称为函数 称为记作说明：问题：在什么条件下f(x)的fourier级数收敛于f(x)？定理3 (收敛定理, 展开定理)设 f (x) 是-, 上满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在-, 上连续或只有有限个第一类间断点;2) 在(-, )内至多只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数处处收敛 , 且和函数s(x)是以2为 x 为间断点 x 为连续点周期的函数,在-,

3、 上 x =说明:(1)定理表明f(x)满足dirichlet条件,仅在f的连续点处有一般不能将和函数s(x)等同于f(x)(2)无论f(x)在-,外是否有定义,或f(x)是否为周期函数,只要f(x)在-,上满足dirichlet条件,f(x)的Fourier级数存在且处处收敛,和函数是(-,)上以2为周期的周期函数(3)若f(x)是以2为周期的连续函数,在-,之外可能也有s(x)=f(x)(4)此处不要求f(x)可微,函数展开成Fourier级数的条件比展开成幂级数的条件要低得多例1. 设在-,上展开f(x)为Fourier级数解:由公式有f(x)在(-,)内连续,和函数连续吗？例2. 将函

4、数级数 .解:展成傅里叶利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得说明:设已知又三、正弦级数和余弦级数1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理4 . f (x)为-,上的奇函数, 其傅里叶级数为f (x)为-,上的偶函数, 其傅里叶级数为傅里叶系数为它的傅里叶系数为正弦级数余弦级数例3. 将函数在-,上展开成Fourier级数解:f(x)是偶函数,故的表达式为 f (x)x ,在0,2上将 f (x) 展成傅里叶级数.例4. 设是周期为2 的周期函数,它在解(一):f(x)以2为周期解(二):f(x)在-,上的表达式为例5. 求在-,上展开成Fou

5、rier级数练习. 设的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在解: 若不计周期为 2 的奇函数, 因此n1根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:级数的部分和 n2n3n4逼近 f (x) 的情况见右图.n5F (x)在 - , 上展成正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成F (x)在 - , 上展成余弦级数余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成2. 在0,上的函数展成正弦级数或余弦级数例6. 将函数分别展成正弦级数与余弦级数 . 解: 先求正弦级数.去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,注意:在端点 x = 0,

6、, 级数的和为0 ,与给定函数因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 再求余弦级数.将则有作偶周期延拓 ,说明: 令 x = 0 可得即四、在上展开f(x)为fourier级数令记则在-,上，将代回x，即得所求展开式为为f(x)的连续点为f(x)的间断点说明:(1)若f(x)为奇函数,则f(x)的连续点处(2)若f(x)为偶函数,则f(x)的间断点处f(x)的连续点处f(x)的间断点处例:将展开成以2为周期的Fourier级数，并由此求级数 的和 。 (91考研)解：f(x)为偶函数令x=0得内容小结1. 周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中注意: 若为间断点,则级数收敛于

7、2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在 0 , 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 ,展开为正弦级数 作偶周期延拓 ,展开为余弦级数1. 在 0 , 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .思考与练习处收敛于2.则它的傅里叶级数在在处收敛于 .提示:设周期函数在一个周期内的表达式为 ,3. 设又设求当的表达式 .解: 由题设可知应对作奇延拓:由周期性:为周期的正弦级数展开式的和函数, 定义域4. 写出函数傅氏级数的和函数 .答案:备用题 1.叶级数展式为则其中系提示:利用“偶倍奇零”(93 考研)的傅里 2. 设是

8、以 2 为周期的函数 ,其傅氏系数为则的傅氏系数提示:令傅里叶 (1768 1830)法国数学家. 他的著作热的解析 理论(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献, 他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响. 狄利克雷 (18 05 1859)德国数学家. 对数论, 数学分析和数学物理有突出的贡献, 是解析数论 他是最早提倡严格化方法的数学家.函数 f (x) 的傅里叶级数收敛的第一个充分条件; 了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和, 举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.他的主要的创始人之一, 并论文都收在狄利克雷论文集 (1889一1897)中. 1829年他得到了给定证明4. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为解: 先求傅里叶