复变函数与积分变换课件：3-2 柯西积分定理

1、3.2 柯西积分定理一、柯西基本定理二、闭路变形原理三、复合闭路定理四、路径无关性五、原函数(?)证明Green公式C - R方程D(?)Green公式C - R方程证明一、柯西基本定理定理设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，G 为 D 内的任意一条简单闭曲线， 上述定理又称为柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理。 则有GG P60定理 3.2 注(1) 定理中的曲线 G 可以不是简单闭曲线。(2) 定理中的条件还可以进一步减弱。定理设单连域 D 的边界为 C，函数 f (z)在 D 内解析，则有CD在 上连续，D一、柯西基本定理定理设函数 f (z) 在单连通域 D 内

2、解析，G 为 D 内的任意一条简单闭曲线，则有GG P60注 二、闭路变形原理 将柯西积分定理推广到二连域定理设二连域 D 的边界为 (如图)，函数 在 D 内解析，在 C 上连续，或Dab证明如图，作线段 a b，则二连域 D 变为单连域，由或则从而有 P61定理 3.4 D 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。二、闭路变形原理 闭路变形原理如图，设 在 D 内解析，在边界 上连续，G 为 D 内的一条“闭曲线”，则P62 DrCG解如图以 为圆心 r 为半径作圆，则函数 在因此有当 时，当 时。上解析，重要 三、复合闭路定理

3、将柯西积分定理推广到多连域函数 在 D 内解析，或设多连域 D 的边界为 (如图)，定理DC1C2C0C3Cn在 C 上连续，则证明(略) P62推论 令解则奇点为(1) 当 C 为 时，C(1)(2) 其中 C 为：例计算C3210P62 例3.7 修改 令解C1C2则奇点为(2) 当 C 为 时，令 C1： C2：则C(1)(2) 其中 C 为：例计算C3210的简单曲线，四、路径无关性定理设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，C1, C2 为 D 内的任意两条从 到证明由 可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，则有 P60定理 3.3 计算例其中 C 为如图所示的一个半

4、圆。xyCi2G解设 G 如图所示，处处解析，问是否可以直接计算？因此有即由于 在复平面上P61 例3.6 五、原函数设在单连域 D 内，函数 恒满足条件定义则 称为 在 D 内的一个原函数。1. 基本概念及性质函数 的任何两个原函数相差一个常数。性质设 和 是 的两个原函数，则证明其中，c 为任意常数。函数 的原函数 称为 的不定积分，定义记作 P64定义 3.2 补 D五、原函数2. 由变上限积分构成的原函数定理若 在单连域 D 内处处解析，则 在 D 内解析，且 令证明(思路)(1)直线段 P63定理 3.5 (跳过?)证明(思路)(2)(当 充分小时)即D五、原函数2. 由变上限积分构成的原函数定理若 在单连域 D 内处处解析，则 在 D 内解析，且 令直线段由于 也是 的一个原函数，证明有3. Newton-Leibniz