复变函数与积分变换：3-4 解析函数的高阶导数_第1页
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1、3.4 解析函数的高阶导数一、高阶导数定理二、柯西不等式三、刘维尔定理一、高阶导数定理分析则由柯西积分公式有又如果函数 在区域 D 内解析，在 上连续，一、高阶导数定理定理如果函数 在区域 D 内解析，在 上连续，则 的各阶导数均在 D 上解析，证明(略)意义解析函数的导数仍解析。应用 推出一些理论结果。 反过来计算积分且 P71定理 3.9 (进入证明?)解例计算解P73 例3.12 部分 (1) 令解 例计算则(复合闭路定理)C2C1C2 i- i如图，作 C1 , C2两个小圆，记为解 例计算C2C2- iC1 i(2)(高阶导数公式)同样可求得(3)二、柯西不等式定理设函数 在 内解析

2、，且 则(柯西不等式)证明函数 在 上解析，令 即得 P73定理 3.10 三、刘维尔定理定理设函数 在全平面上解析且有界，则 为一常数。设 为平面上任意一点，证明函数 在 上解析，且根据柯西不等式有令 即得由 的任意性，知在全平面上有则 为一常数。P74 定理3.11证(反证法) 则函数 在全平面上解析，设函数其中， n 为正整数，例(代数基本定理)证明方程 在全平面上至少有一个根。假设 在全平面上无根，即又故 在全平面上有界，根据刘维尔定理有(常数)，(常数)，与题设矛盾。证(1) 任取正数则函数 在 内解析，由高阶导数公式有(注意 在 上的性态不知道)证(1)(2) 由有证(2) (1)

3、(3) 令 得证(1) 由于 在 内解析，根据高阶导数定理可得在 内， 也解析；(2) 由 可得在 内， ，在 内解析；(3) 根据柯西积分公式有证(4) 由即得 休息一下附：高阶导数定理的证明定理如果函数 在区域 D 内解析，在 上连续，则 的各阶导数均在 D 上解析，且证明由函数 在 上连续，有在 上有界，即设边界 C 的长度为 L。(1) 先证 的情形，即证附：高阶导数定理的证明证明(1) 先证 的情形，即证根据柯西积分公式有附：高阶导数定理的证明证明(1) 先证 的情形，即证记为 下面需要证明：当 时，附：高阶导数定理的证明证明(1) 先证 的情形，即证dDCz0如图，设 d 为 z0 到 C 的最短距离，取 适当小，使其满足则即得即由于前面已经证明了解析函数的导数仍是解析函数，附：高阶导数定理的证明证明(2

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