2022年秋高中数学第八章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积第2课时球的表面积和体积课后提能训练新人教A版必修第二册

1、PAGE PAGE 6第八章 8.3 第2课时A级基础过关练1(2021年长春月考)高为1的圆锥内接于半径为1的球，则该圆锥的体积为()Aeq f(,6) Beq f(,3) Ceq f(2,3) D【答案】B【解析】根据题意，高为1的圆锥内接于半径为1的球，则圆锥底面圆的半径r1，则该圆锥的体积为eq f(1,3)r2heq f(,3)，故选B.2已知球的表面积为16，则它的内接正方体的表面积S的值是()A4B32C24D12【答案】B【解析】设球的内接正方体的棱长为a，由题意知球的半径为2，则3a216，所以a2eq f(16,3)，正方体的表面积S6a26eq f(16,3)32.故选B

2、.3用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为()Aeq f(8,3)Beq f(32,3)C8Deq f(8r(2),3)【答案】C【解析】设球的半径为R，则截面圆的半径为eq r(R21)，截面圆的面积为Seq blc(rc)(avs4alco1(r(R21)eq sup12(2)(R21).R22.球的表面积S4R28.4把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为()Aeq f(rr(h),2)Beq f(r2h,4)Ceq r(3,f(r2h,4)Deq f(r2h,2)【答案】C【解析】设铁球的半径为R，因为eq f(1,3

3、)r2heq f(4,3)R3，所以Req r(3,f(r2h,4).故选C.5(2021年成都模拟)将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A2 B3 C4 D6【答案】B【解析】由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个球面积，S12eq f(1,2)4123.6若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为_【答案】3【解析】设此球的半径为R，则4R2eq f(4,3)R3，R3.7已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为_【答案】16【解析】设正四棱锥的高为h，底面边长为a.由Veq f(1,3)a2

4、ha26，得aeq r(6).由题意知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3r)2(eq r(3)2r2，解得r2，则S球4r216.8已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若这两个正四棱锥的体积之比为12，则该球的表面积为_【答案】36【解析】两正四棱锥有公共底，且体积比为12，它们的高之比为12，设高分别为h，2h，球的半径为R，则h2h3h2R，Req f(3,2)h.又底面边长为4，R2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)h)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(h,2)eq sup12(2)

5、(2eq r(2)2，解得h2，R3，S球4R236.9某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积解：该组合体的表面积S4r22rl41221310.该组合体的体积Veq f(4,3)r3r2leq f(4,3)13123eq f(13,3).10已知过球面上A，B，C三点的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AB18，BC24，AC30，求球的表面积和体积解：因为ABBCAC182430345，所以ABC是直角三角形，B90.又球心O到截面ABC的投影O为截面圆的圆心，也即是RtABC的外接圆的圆心，所以斜边AC为截面圆O的直

6、径(如图所示)设OCr，OCR，则球半径为R，截面圆半径为r.在RtOCO中，由题设知sin OCOeq f(OO,OC)eq f(1,2)，所以OCO30，所以eq f(r,R)cos 30eq f(r(3),2)，即Req f(2,r(3)r，(*)又2rAC30r15，代入(*)得R10eq r(3).所以球的表面积为S4R24(10eq r(3)21 200.球的体积为Veq f(4,3)R3eq f(4,3)(10eq r(3)34 000eq r(3).B级能力提升练11已知长方体共顶点的三条棱长分别是3，4，x，且它的8个顶点都在同一个球面上若这个球的表面积为125，则x的值为(

7、)A5B6C8D10【答案】D【解析】设球的半径为r，则4r2125，r2eq f(125,4).又3242x2(2r)2，916x2125，x2100，即x10.故选D.12已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的表面积为()A153 B160 C169 D360【答案】C【解析】由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，其体对角线就是外接球的直径，所以球O的半径Req f(1,2)eq r(3242122)eq f(13,2)，所以球O的表面积S4eq blc(rc)(avs4alco1(f(13,2)e

8、q sup12(2)169，故选C.13如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为()A43 B31 C32 D94【答案】C【解析】画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则ODr，PO2r，PDO90，CPB30.又PCB90，CBeq f(r(3),3)PCeq r(3)r，PB2eq r(3)r，圆锥的侧面积S1eq r(3)r2eq r(3)r6r2，球的表面积S24r2，S1S232.14若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是()AS球S圆柱S正方体 BS正方体S球S圆柱CS圆柱S球S正方体 DS球S正

9、方体S圆柱【答案】A【解析】设等边圆柱底面圆半径为r，球半径为R，正方体棱长为a，则r22req f(4,3)R3a3，eq blc(rc)(avs4alco1(f(R,r)eq sup12(3)eq f(3,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,r)eq sup12(3)2.S圆柱6r2，S球4R2，S正方体6a2，eq f(S球,S圆柱)eq f(4R2,6r2)eq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(R,r)eq sup12(2)eq r(3,f(2,3)1，eq f(S正方体,S圆柱)eq f(6a2,6r2)eq f(1,)eq blc(rc

10、)(avs4alco1(f(a,r)eq sup12(2)eq r(3,f(4,)1.故选A.15在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是_【答案】eq f(9,2)【解析】当球的半径最大时，球的体积最大在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为ABBC，AB6，BC8，所以AC10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径req f(6810,2)2，直径为4侧棱所以球的最大直径为3，半径为eq f(3,2)，此时体积Veq f(9,2).16(2021年沈阳月考)已知体积为eq r(3)的正三棱锥VABC的外接球的球心为O，满足e

11、q o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()0，则该三棱锥外接球的体积为_【答案】eq f(16,3)【解析】由题意知，eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(CO,sup6()，说明正三角形ABC的顶点在球O的大圆上设球的半径为R，则该三棱锥的底面正三角形ABC的高为eq f(3R,2)，ABC的边长为eq r(3)R，所以正三棱锥VABC的体积为eq f(1,3)eq f(r(3),4)(eq r(3)R)2Req r(3)，解得R34，则该三棱锥外接球的体积为eq f(4,3)R3eq f(16,3).17已知盛有水的圆柱形

12、容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中若取出这两个小球，则水面将下降多少厘米？解：设取出小球后，容器中的水面下降了h cm，两个小球的体积为V球2eq blcrc(avs4alco1(f(4,3)blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)sup12(3)eq f(125,3)(cm3)该体积等于它们在容器中排开水的体积V52h，所以eq f(125,3)52h，解得heq f(5,3).故取出这两个小球，水面将下降eq f(5,3) cm.18已知一倒置圆锥的母线长为10 cm，底面半径为6 cm.(1)求该圆锥的高；(2)若有一球刚好放进该圆锥(球与圆锥

13、的底面相切)中，求这个球的半径以及此时圆锥剩余空间的体积解：(1)设圆锥的高为h cm，底面半径为R cm，母线长为l cm，则heq r(l2R2)eq r(10262)8，所以圆锥的高为8 cm.(2)球放入圆锥后的轴截面如图所示，设球的半径为r cm.易得OCDACO1，则eq f(OC,AC)eq f(OD,AO1)，即eq f(8r,10)eq f(r,6)，解得r3.圆锥剩余空间的体积为圆锥的体积减去球的体积，即V圆锥V球eq f(1,3)628eq f(4,3)33963660(cm3)，故此时圆锥剩余空间的体积为60 cm3.C级探索创新练19有三个球，第一个球可内切于正方体，第二个球可与这个正方体的各条棱相切，第三