天津第二南开中学 2023年高二数学理联考试卷含解析

1、天津第二南开中学 2023年高二数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ）A. B. AB与CD相交C. D. AB与CD所成的角为参考答案：D将平面展开图还原成几何体，易知AB与CD所成的角为，选D。2. 设是定义在R上的奇函数，且当时，单调递减，若则的值 （ ） A恒为负值 B恒等于零 C恒为正值 D无法确定正负参考答案：A略3. 已知数列an对任意的p，qN*满足ap+q=ap+aq，且a2=6，那么a10等于（）A1

2、65B33C30D21参考答案：C考点：数列的概念及简单表示法 分析：根据题目所给的恒成立的式子ap+q=ap+aq，给任意的p，qN*，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的解答：解：a4=a2+a2=12，a8=a4+a4=24，a10=a8+a2=30，故选C点评：这道题解起来有点出乎意料，它和函数的联系非常密切，通过解决探索性问题，进一步培养学生创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力4. 正方体中,与平面所成角的余弦值是A. B. C. D. 参考答案：B略5. 某班m名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，

3、若在这m名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则m等于（）A45B48C50D55参考答案：D【考点】频率分布直方图【分析】根据频率分布直方图，求出数学成绩不低于100分的频率，再根据数学成绩不低于100分的人数为33求得m【解答】解：由频率分布直方图知，数学成绩不低于100分的频率为（0.030+0.020+0.010）10=0.6，在这m名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，m=330.6=55故选：D6. 设全集U=1，2，3，4，5，集合A=2，3，4，B=2，5，则B（?UA）=（）A5B1，2，5C1，2，3，4，5D?参考答案：B【考点】1F：补集及其运算；1D：

4、并集及其运算【分析】先求出?UA，再由集合的并运算求出B（?UA）【解答】解：CUA=1，5B（?UA）=2，51，5=1，2，5故选B7. 已知如图所示的程序框图(未完成)，设当箭头a指向时，输出的结果为Sm，当箭头a指向时，输出的结果为Sn，则mn的值为（ ）A12 B30 C24 D20参考答案：D8. 与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是( )A BC D 参考答案：A9. 哈六中15届高二有名学生, 现采用系统抽样方法, 抽取人做问卷调查, 将人按随机编号, 则抽取的人中, 编号落入区间的人数为（）参考答案：B10. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面

5、直线AE与CD所成角的正弦值为（）A. B. C. D. 参考答案：B【分析】首先求出，由，得是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理可得答案【详解】设正方体的棱长为2，为棱的中点，是异面直线与所成角（或所成角的补角），异面直线与所成角的正弦值为故选：B【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，异面直线所成的角常用方法有：将异面直线平移到同一平面中去，达到立体几何平面化的目的；或者建立坐标系，通过求直线的方向向量得到直线夹角或其补角.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则= . k*s5*u参考答案：8略12. 球

6、的体积是，则此球的表面积是 参考答案：13. 空间中点M（1，2，3）关于x轴的对称点坐标是 参考答案：（1，2，3）14. 已知全集，集合，则_.参考答案：略15. 某单位为了了解用电量y（度）与气温x（C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（C）181310-1用电量（度）24343864由表中数据，得线性回归方程当气温为4C时，预测用电量的度数约为 参考答案：6816. 设(1+i)x=1+yi，其中x，y是实数，则|x +yi |= 参考答案：; 17. 过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为 参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解

7、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本题满分12分）设a0，a1，函数yalg(x22x3)有最大值，求函数f(x)loga(32xx2)的单调区间参考答案：单调减区间为(3，1，单调增区间为1,1)设tlg(x22x3)lg(x1)22当x1时，t有最小值lg2，-2分又因为函数yalg(x22x3)有最大值，所以0a1.-4分又因为f(x)loga(32xx2)的定义域为x|3x1，-6分令u32xx2，x(3,1)，则ylogau.因为ylogau在定义域内是减函数，当x(3，1时，u(x1)24是增函数，所以f(x)在(3，1上是减函数同理，f(x)在1,1)上是增函数_-1

8、0分故f(x)的单调减区间为(3，1，单调增区间为1,1)-12分19. 抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点位分别求（1）抛物线的方程（2）双曲线的方程（本题满分12分）参考答案：(1),(2) 20. 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只能送一次派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，问该公司如何合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润

9、?并求出最大利润参考答案：设该公司当天派用甲、乙型卡车的车辆数分别为x，y 1分则根据条件得x，y满足的约束条件为 5分目标函数 z=450 x+350y6分作出约束条件所表示的平面区域如图，9分然后平移目标函数对应的直线 450 x+350y=0（即 9x+7y=0）知，当直线经过直线x+y =12 与 2x+y=19的交点 (7,5) 时，目标函数取得最大值，即z=4507+3505=4900 12分答：该公司派用甲、乙型卡车的车辆数分别7辆和5辆时可获得最大利润4900 元21. 等差数列的前项和记为.已知（）求通项；（）若，求.参考答案：略22. 设椭圆E： =1（a，b0）经过点M（

10、2，），N（，1），O为坐标原点（）求椭圆E的方程；（）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A、B且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由参考答案：【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由椭圆的离心率及过点过M（2，），N（，1）列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆E的方程（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，与椭圆联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能求出|AB|的取值范围【解答】解：（）椭圆E：（a，b0）过M（2，），N（，1）两点，解得：，椭圆E的方程为（）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为y=kx+m，解方程组，得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，则=16k2m24（1+2k2）（2m28）=8（8k2m2+4）0，即8k2m2+40，要使，需使x1x2+y1y2=0，即，所以3m28k28=0，所以，又8k2m2+40，即或，直线y=kx+m为圆心在原点