专题16相似三角形的性质

1、专题 16 相三角形的性阅读与考相似三角形的性质有： 对角相等； 对边成比例； 对线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比； 周之比等于相似比； 面之比等于相似比的平性质 3 主应用于三角内接特殊平行四边形的问题，性质 5 进步丰富了面的有关知识，拓展 了我们研究面积问题的视.如图，正方形 EFGH 内于ABC，BC设 BC AD ，用 a、 代数式表示正方 形的边 HF D GC例题与解【 】图，已 eq oac(,知) eq oac(, )ABCD 中过点 的线顺次与 AC，AD 及 CD 延长线相交于 E，G若 ， ， FG 的是 晟杯”上海市竞赛试题）解思：由相似三角形建立含 FG 的

2、系式，注意中间比的代GFD C1 2 3t 1 2 3t 【 】图，已知ABC 中GF，且 AD : : FB ，则 eq oac(,S)ADE: S形FGE: S形FBCG（ ） （龙江省中考试题）1: C.1:8: 解思 eq oac(,：) eq oac(,，) 都 相似 面的代数式分别表 ADE形 DFGE、 四边形 FBCG 的积ADEFGB 【 3如图，在ABC 的部取一点 ，过 P 点三条分别与ABC 三边平行的直线，这样所得的三个三角形 t ， ， 的积分别为 4 49求ABC 的积（第二届美国数学邀请赛试题）解思：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形

3、的面积，可考虑 应用相似三角形的性.AFIDtEBPtH GC如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形可以得到： PHG ； IE DF ； AC ABDE HI ； AB SABC t t ) 1 32上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而心 独运，请读者给出证.【 4如图ABC 中，O 是三角形内一点，满足 BAO CAO ACO 求证： 2 .（北京大学自主招生考试试题）解 题 思 ： 实 际 上 是 一 个 著 名 的 问 题 ： 布 洛 卡 点 问 题 设 P 是 ABC 内 一 点 ， 满 足 称 是ABC 布洛卡点，则有

4、 BAC cot cotO 【 】图，在梯形 中，BC ， DC ， AB ， 动 M 从B 点发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动 N 时从 C 点发沿线段 CD 以 秒 1 个单位长度的速度向终点 运，设运动的时间为 t 秒.（1求 的长；（2）当 MNAB 时求 t 的；（3）试探究：t 为值时 MNC 为腰三角.（济南市中考试题）解思 ：对（2，造相似三角形，由三角形似得对应边成比例，进而解决问题；对 于（3要情况讨在证明含线段平行关系的问题时，常常联想到以下知识：勾股定理；相似三角形面积比等相 似比的平方 DNMC1 1 1 22 1 1 1 1 1 22 1

5、 1 2 2 1 1 2 2 2【 】 设 eq oac(,A) eq oac(, ) C 的面积为 ， eq oac(,A) eq oac(, )B C 的面积为 S ( ， eq oac(,当)A C eq oac(,A) eq oac(, )B C ，S 0.4 时，则称 eq oac(,A) eq oac(, ) 与 eq oac(,A) eq oac(, ) C 有定的“全等度 如，已知形 ABCD，AD， S ， BCD ，连接 AC.（厦门市中考试题）（1）若 AD=DC求证： 与 一定的“全等度解思：本题设置了“全等度”这一新概念，要求在对其理解的基础上进行辨析和判断，并举例

6、说明符合或不符合概念特征的正例或反例，这是试题对概念理解考查的有力保A DEB C能力训 如，在ABC 与BED 中若A 级 BC ，且ABC 与 的长之差为 ， BD BE 则 周长为DDFD（第 题） （ 题） （ 3 题） 如 : 1:2AC 若ABC 的积为 ADE 的面积为（苏州市中考试题） 如ABC 中 交 eq oac(,S)EFC eq oac(,S)FED eq oac(,S): eq oac(,S)ABC 若方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为 和4cm，则此正方形的边长为（武汉市中考试题） 如图 eq oac(, )ABCD 中E 是

7、AB 中点F 是 AD 的点 AC 于点 ， 的长线交 的延长线于 点那么 eq oac(,S): eq oac(,S) ） C. DDFMFDN CM（第 题） （ 题） （ 题 如直角梯形 中BCD =CD 为梯形内一点且 将 绕 转 使 与 DC 重DCF EF 交 CD 于 M 已 ， 则 DM : MC 的为 ）C. （荆州市中考试题） 如 eq oac(,，) ， 与 CD 交于点 O 与 DEBC 分交于点 N，则下列结 论错误的是（ ） OM AMOMB C. OC OM 2 eq oac(,S)ABC 如，在正方形 ABCD ，M 是 AD 的点N 点在 CD 上 若 ， 为

8、（ ）CN的值C. 2 5AMANBB C（第 题 （第 9 题） 如，已知梯形 ABCD 中，ADBC . 求：C 2 CD 2 10. 如 ，在 eq oac(,Rt)ABC 中 BAC AD 于 F，OE BC 于点 .，ADBC 点 ，点 是 边一点，连接 BO 交DDFF 图 1（1求证：ABF COE图 （2）当 O 为 AC 边点，ACAB 时如图 2求OFOE的值；（3）当 O 为 AC 边点，ACABOF 时请直接写出 的OE（武汉市中考试题）11. 如， 中 AB ， 在 AB 边上移动（不与 AB 重合 交 E，连接CD.设 eq oac(,S)ABC， eq oac(,

9、S) .（1当 D 为 中时，求 : 的值；A（2当 AD S， y ，用 的数式表示 y，并求 的值范围； SD EB （福州市中考试题）12. 在腰 中 AB ， 动 ， 分在两腰 AB， 上M 不与 ，重合， 不 A， 重 . 将 沿 所的直线折叠，使点 A 的对应点为 （1）当 为何值时，点 P 恰落在 BC 上（2）设 ， 与腰 重部分的面积为 ，试写出 y 与 的数关系式. 当 x 何值BAM PCB 级 如ABC 中DEFGGIEF. 若 eq oac(,，) eq oac(,，)GIC 的积分别为 ， cm2 cm2，则 的积为ADEA DFGPBHI B C（第 题 （ 2

10、题 如，梯形 中，AD， ABC ，对角线 P 点已知 AD : BC 3:4，则 : 值是（绍兴市中考试题） 如形 OPQR 接于ABC eq oac(,，) 和 的面积分别是 S 和 ，那么正方形 OPQR 的长是（ ） （国初中数学联赛试题）2 3 O F32 D B1D（第 题） （ 4 题） （ ） 如图，梯形 ABCD ，且 CD AB ，EFCD，EF 将梯形 ABCD 分面积相等的两部分，则 : ED ） 望杯”邀请赛试题）1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 A.2 C. 如，ABC ，E 分是边 ，AB 上点，且 . 如 eq oac(,果)，EBD， 的长依次是

11、 ， ， ，明： 2 （全国初中数学联赛试题） 如 ABC 的一点，等长的三条线段 DE，FG 和 分平行于边 ， 和 CA并且 ， BC ， CA 求： : IF FB （江苏省竞赛试题） DH RIF Q（第 6 题 （ 题 如，锐角 ，PQRS 是 内接矩形，且 nS矩形 ，其中 为不小于 的自然数 求：为无理数.（上海市竞赛试题） 如，已知直线 l 的解析式为 y x 直线 l 与 轴， 轴分别相交于 AB 两，直线 l经过 ，C 两，点 C 的标为 (8,0) 又知点 x 轴从点 A 向点 移，点 Q 在线 l 上从点C 向 移动，点 P，Q 同出发，且移动的速度都为每秒 个位长度. 设动时间为 t 秒（1）求直线 l 的析式；（2）设PCQ 的积为 ，求出 关于 的函数关系式；（山西省中考试题） yO P 如，设ABC 三上的 内正方形（两个顶点在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另两边上）的面积相. 求：ABC 正三角.（江苏省竞赛试题） G FCD 10. 在形 和形 CEFG ，已知AD CG 连接 DE AF 交点 ，接 （1）如图 ，当 k AF时，点 B，C 三在同一条直线上，求 的值.DE（2）如图 ，当 k 时将图 中的矩形 CEFG 绕点 顺针旋转一个角. 求AFDE的值； 求：AF.（3）如图 3当 时请直接写出用含 k 的子表示