《常微分方程》教学日历

1、周次第一周，第1次课。章节名称第一讲: 1.1 常微分方程模型授课方式理论课教学时数2教学内容提要问题的提出常微分方程的一般形式1) 函数方程(泛函方程)2) 微分方程A 常微分方程B 偏微分方程3) n 阶常微分方程(n阶方程)二、几个具体的例子例1 物体作水平运动例2 自由落体运动例3 弹簧振子的水平自由运动例4 天体运动中的二体问题例5 几何问题三、本讲习题习题1.1, 1, 2.周次第 一 周， 第 2 次课章节名称第二讲: 1.2微分方程求解思想授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、计算与近似计算1. 微分方程的解2. 微分方程的通解与特解3. 初值问题(Cauchy问题)4. 近

2、似解二、几何分析1. 积分曲线2. 等倾线(isocline)、水平等倾线，竖直等倾线例1、例2三、微分方程形式1. 隐式微分方程2. 规范形式、一阶方程3. 一阶微分方程组4. 线性微分方程、一阶线性微分方程的规范形式四、本讲习题 习题1.2 1, 2，5(2).选作题：求以初速度在空气中铅直上抛的物体的运动方程,其中物体质量为,阻尼与速度的平方成正比,比例系数.又问物体达到最高点的时间是多少？周次第 二 周， 第 1 次课章节名称第三讲: 1.3基本问题授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、主要结果事实: 微分方程的通解含有任意参数问题: 给一个含有任意参数的函数,是否能找到一个微分方程

3、,使得这个函数正好是这个方程的解呢?定理二、证明思路1.Jacobi行列式不为02.建立方程组3.求解参数、补充:隐函数定理，联系数学分析相关知识4.解与方程的对应三、本讲习题习题1.3 1(1)(3)选作题：平面上安放长度为的细磁棒, 如果撒上一些小铁钉, 他们将按磁场的方向排列. 可将细磁棒简化为放在两端点处的两个异性点磁荷, 磁量分别为+1和-1. 试求出这个磁场满足的微分方程. 进而, 画出磁场的方向场图并分析上面的积分曲线.周次第二周， 第 2 次课章节名称第四讲: 2.1 变量分离形式授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、初等积分法1 初等积分法的定义2 微分方程的隐式解二、变量

4、分离方程1 变量分离形式方程2 方程通解的求法3 方程特解的求法例1、例 2三、可化为变量分离方程的类型1 一阶线性微分方程常数变易法与常数变易公式、例3 2 Bernoulli方程例43 齐次方程4 线性分式形式的微分方程例5四、本讲习题 习题2.1 1, 2(1)(3)(4)(9)(12), 3(2)(8)(14), 4(1)(6), 7(1)(3)选作题：设是方程的两个互异解.求证对于该方程的任一解,下式恒成立, 其中是某常数.周次第 三 周， 第 1 次课章节名称第五讲: 2.2 恰当方程形式授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、恰当方程1 恰当方程(全微分方程) 的形式与所满足的条

5、件2 首次积分提出两个问题 1) 如何判断一个微分方程是否为恰当方程？2) 若方程是恰当的,如何寻求全微分的原函数?二、恰当方程的判定定理定理 判定微分方程是恰当方程的充分必要条件例1三、积分因子法问题:有的方程即使是分组也无法看出它是恰当方程. 这时我们问:是否可以将方程做等式变形从而化成一个恰当方程呢?1 积分因子、结论问题: 如何来寻求这些积分因子?2 特殊情况下的积分因子例23 其它情况4 进一步分析例3四、本讲习题 习题2.2 1(2)(3)(5), 4(1)(3)(5), 5, 8选择题：假设微分方程有形如的积分因子，试确定其中的常数, 并求解该方程.周次第 三 周， 第 2 次课

6、章节名称第六讲: 2.3隐式方程授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、隐式方程1 一阶隐式方程的形式2 求解思想1) 将看成独立的变量2) 将代数方程所定义的曲面参数化3) 通过变量替换的方法把方程(1)化为导数已解出的显式方程4) 用上两节已给出的方法求解3 具体求解方法二、几类可解的特殊的隐式方程1 可以解出y的方程2 可以解出x的方程3 不显含y的隐式方程4 不显含x的隐式方程 例1三、其他情形1 隐式方程中可解出， 例22 隐式方程轮不显含x,y， 例3周次第 四 周， 第 1 次课章节名称第七讲: 2.4 初等积分法的一些应用授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、奇解1 曲线族的

7、包络、包络的性质、C-判别曲线、例12 方程的奇解3 方程的奇解判别、p -判别曲线、例2二、高阶微分方程求解的基本思想: 1) 不显含未知函数y的方程2) 不显含自变量x的方程3) 齐次方程4) 全微分方程例3， 例4 三、平面保守系统1 一个具体例子、相平面、轨道、相图2 更一般的情况四、Riccati方程1 Riccati方程的求解2 一种特殊情况3 结果五、本讲习题习题2.4 1(2)(3)(4), 2(1)(2), 3(1)(9), 6选作题：1) 求解下列方程 2) 试证若是方程的满足初始条件的解.周次第 四 周， 第 2次课章节名称第八讲: 3.1 存在性与唯一性授课方式理论课教

8、学时数2教学内容提要一、问题的提出解的存在性为方程的求解提供理论基础、存在唯一性是近似计算的前提二、存在唯一性定理三、矩阵函数的性质四、定理的证明证明共分五步完成、小结五、本讲习题习题3.1 1, 2, 3选作题：设连续,且, 其中非负. 试用逐步逼近法证明：周次第 五 周， 第 1 次课章节名称第九讲: 3.2 齐次线性方程组的通解结构授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、线性相关与无关的定义二、解的叠加原理定理的证明思路三、Wronski行列式四、Liouville定理1 Liouville定理的证明2 基解矩阵与标准解矩阵的定义3 初值问题的解说明:对Liouville定理的一点解释五

9、、本讲习题习题3.2 3, 4选作题：设,是周期连续的, 且为基解矩阵, 证明: 也是基解矩阵且存在可逆矩阵, 使得.周次第 五 周， 第 2 次课章节名称第十讲: 3.3 非齐次线性方程组的通解授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、通解结构二、通解定理三、常数变易法通解定理的证明四、本讲习题习题3.3 1, 3选作题：设是区间上的阶连续矩阵函数, 是区间上的不恒为零的维连续列向量. 试证非齐次线性方程组存在且至多存在个线性无关的解周次第 六 周， 第 1 次课章节名称第十一讲: 3.4 高阶线性方程授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、高阶方程与一阶方程组1 n阶线性微分方程的一般形式2

10、 齐次与非齐次的情况二、Wronski行列式定义 三、Liouville定理四、通解结构五、例题六、本讲习题习题3.4 1, 2, 3, 5选作题：不用 Liouville 公式而直接用变量代换来对方程降阶并证明其通解表达式.周次第 六 周， 第 2 次课章节名称第十二讲: 3.5 复值解和级数解法授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、复值矩阵函数 1. 复值矩阵函数的定义2. 复值矩阵函数的求导与积分二、复值线性方程组定理1，定理2 三、Cauchy定理四、幂级数解法五、例题六、本讲习题习题3.5 1, 3, 4选作题：用幂级数法求方程满足初值条件的解.周次第 七 周， 第 1 次课章节名

11、称第十三讲: 4.1 齐次问题授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、微分方程的算子形式二、齐次方程的基本解组1. Euler待定指数函数法定理1、定理2、推论三、例题四、本讲习题习题4.1 1(3),(6),(8), 2选作题：分析振动方程的特征根并给出通解,这里周次第 七 周， 第 2 次课章节名称第十四讲: 4.2 非齐次问题授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、逆算子的基本性质1. 三条性质二、非齐次方程的算子解法1. 定理i) 解析展开法或解析相除法ii) 代换法iii) 二项式法2. 三点注意事项三、例题四、本讲习题习题4.2 1(4),(6),(8)选作题：证明Cauchy-E

12、uler方程在适当的自变量代换下, 能化为常系数线性齐次方程.周次第 八 周， 第 1 次课章节名称第十五讲: 4.3 常系数线性方程组授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、矩阵指数函数1. 引理2. 矩阵指数函数的三条基本性质二、齐次方程组的基本解组1. 定理1-3三、例题四、本讲习题习题4.3 1, 3(3), (5), (7)选作题:给定齐次方程组, 证明若的所有特征根实部都,则所有解当时趋于0；若实部都且零实部的特征根都是简单根, 则一切解对都有界；若有一个特征根实部, 则有解趋向无穷.周次第 八 周， 第 2 次课章节名称第十六讲: 4.4 应用:机械振动授课方式理论课教学时数2教

13、学内容提要一、关于弹性振动问题分成下列几种情况讨论无阻尼自由振动、物理解释、谐振动有阻尼自由振动、有限运动、阻尼谐振无阻尼强迫振动有阻尼强迫振动共振现象二、本讲习题习题4.4 1, 2选作题：考虑一个由电感, 电容和电源串联组成的简单闭合电路, 其中.试证当时,将发生共振现象,且当时,电位差变得无界.周次第 九 周， 第 1 次课章节名称第十七讲: 5.1 Picard存在唯一性定理授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、问题的提出 二、Lipschitz条件的定义 三、Picard存在唯一性定理 四、定理的证明1. 证明思想: Picard逐步逼近法2. 证明分五步完成五、几何意义有具体图例

14、六、例题七、本讲习题习题5.1 1, 3, 5, 8选作题：试求初值问题的Picard迭代序列,并通过求迭代序列的极限求出初值问题的解.周次第 九 周， 第 2 次课章节名称第十八讲: 5.2 Peano存在性定理授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、Peano存在性定理二、定理的证明思想: Euler折线法1. Euler折线法的构造及其几何意义三、一致有界与等度连续1 一致有界与等度连续的定义2 对定义的进一步说明四、Ascoli-Arzela引理1. 比较 上的有界的无限点集必有收敛子列.五、Peano存在性定理的证明1. 分四步完成 六、逼近解的定义七、本讲习题习题5.2 第1, 2

15、题选作题：利用Peano存在定理证明隐函数定理的存在性部分.周次第 十 周， 第 1 次课章节名称第十九讲: 5.3解的延拓授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、存在性定理的局限性 1. 问题 随着定义区域增大,由存在性定理所能确定的解的存在区间反而还缩小了!二、解的延拓思想三、解的延拓的几何意义四、饱和解1. 断言 任一饱和解的存在区间必为一个开区间2. 思考题：证明这一断言五、解的延拓定理1. 证明思想(1) 情形1(2) 情形2六、整体解:若干推论推论1、推论2七、Wintner定理八、本讲习题习题5.3 1, 5(1)选作题：证明方程任一解的存在区间都是有界的.周次第 十 周， 第

16、2 次课章节名称第二十讲: 5.4 微分不等式与比较定理授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、Gronwall不等式1. 思考题 证明这一定理二、推广的Gronwall不等式1. 定理的证明思想2. 推论三、第一比较定理四、最大解和最小解1. 定理五、第二比较定理六、本讲习题习题5.4 1, 3, 4选作题：证明若初值问题的积分曲线与直线当时有交点,则其中，为初值问题的解.周次第 十一 周， 第 1 次课章节名称第二十一讲: 5.5解对初值和参数的依赖性授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、问题的提出1. 问题：当初值或参数值发生微小改变时相应的解如何改变?二、问题的化简三、局部连续依赖性

17、定理2. 定理的证明思想四、整体连续依赖性定理3. 整体连续依赖性的几何意义五、依赖性1. 例题2. C依赖性定理六、本讲习题习题 5.5 1, 4选作题：给定方程求和在处的表达式, 并证明若是方程满足初值条件的解,则恒有周次第 十一 周， 第 2 次课章节名称第二十二讲: 5.6微分方程数值解授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、微分方程的数值解1. 数值解的概念2. 基本思想3. 单步法与多步法二、Euler公式1. Euler公式的特点、显式单步法、简单、直观三、梯形方法1. 梯形方法的特点、隐式单步法四、改进的Euler公式1. 改进的Euler公式的特点2. 与梯形方法一样有二阶精

18、度3. 算法比梯形方法简单, 计算量不大五、局部误差的估计六、显式Runge-Kutta方法1. q级显式Runge-Kutta方法的一般形式2. 四阶Runge-Kutta公式七、本讲习题习题5.6 2, 3选作题：证明改进的Euler公式具有二阶精度.周次第 十二 周， 第 1 次课章节名称第二十三讲: 6.1动力系统概念授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、微分方程的数值解二、微分方程定性理论的创立和发展1. 微分方程定性理论的创立者三、自治系统及其基本概念1. 相空间、向量场、轨道2. 微分方程定性理论的主要任务3. 平衡点、定常解、奇点、闭轨或周期轨四、自治系统的解的性质1. 积分

19、曲线的平移不变性2. 群性质3. 轨道唯一性上述性质的证明思想五、动力系统周次第 十二 周， 第 2 次课章节名称第二十四讲: 6.2 Liapunov稳定性授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、问题的背景1. 问题：在什么条件下, 简化后的皆与实际解之间的误差不会导致“差之毫厘,失之千里”的结果?2. 稳定性问题：一个例子二、Liapunov稳定性的概念1 Liapunov稳定、Liapunov稳定的几何意义2 Liapunov渐近稳定、Liapunov渐近稳定的几何意义3 Liapunov不稳定三、线性系统零解稳定性的判定1 一般线性系统零解稳定性的判定2 常系数线性系统零解稳定性的判定

20、四、线性系统零解稳定性的判定五、一个重要引理1. 证明这一引理六、定理的证明第一步 利用常数变易公式将方程表示为等价积分形式第二步 利用Gronwall不等式对方程的解进行估计, 证明其有界第三步 证明解向右可延拓到区间第四步 证明零解是渐近稳定的七、本讲习题习题 6.2 3, 4, 6选作题：设在上连续,，的解存在唯一,其零解稳定,且存在和使得分别由初值条件和确定的解当时都趋于零.证明零解渐近稳定.周次第 十三 周， 第 1 次课章节名称第二十五讲: 6.3 Liapunov直接法授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、Liapunov直接法的思想1. Liapunov直接法的基本想法: 观

21、察在零解附近任意一个解x(t)的轨道是否越走距离零解(即O)越近或始终不远离零解二、定正和定负函数及全导数1. 具体例子、全导数三、Liapunov稳定性判据四、Liapunov直接法的缺点五、Liapunov直接法的几何意义六、条件弱一点的情形1. 定理七、本讲习题习题 6.3 3, 5, 7选作题：设连续可微且当时有证明方程 的零解是稳定的, 但不是渐近稳定的.周次第 十三 周， 第 2 次课章节名称第二十六讲: 6.4 平面平衡点分析授课方式理论课教学时数2教学内容提要一、问题的提出二、具有粗的平衡点的线性系统1. 星形结点或临界结点2. 两向结点或正常结点3. 鞍点4. 单向结点或退化结点5. 焦点6. 中心三、具有粗的平衡点的系统的性质1. 初等平衡点2. 定理3. 中心焦点判定四、本讲习题习题 6.4 1(1)(3), 2, 4(2)选作题：引入