(通用版)高考数学(理数)一轮复习考点梳理与过关练习06《二次函数与幂函数》(含详解)

1、考点06 二次函数与幂函数（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数 SKIPIF 1 0 的图象，了解它们的变化情况.一、二次函数1二次函数的概念形如 SKIPIF 1 0 的函数叫做二次函数.2表示形式(1)一般式：f(x)=ax2bxc(a0).(2)顶点式：f(x)=a(xh)2k(a0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标.(3)两根式：f(x)=a(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标.3二次函数的图象与性质函数解析式 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 图象(抛物线)定义域R值域 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 对称性函数图象关于直线

2、 SKIPIF 1 0 对称顶点坐标 SKIPIF 1 0 奇偶性当b=0时是偶函数，当b0时是非奇非偶函数单调性在 SKIPIF 1 0 上是减函数；在 SKIPIF 1 0 上是增函数.在 SKIPIF 1 0 上是增函数；在 SKIPIF 1 0 上是减函数.最值当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 4常用结论(1)函数f(x)=ax2bxc(a0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2bxc=0的实根.(2)若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1x2|= SKIPIF 1 0 .(3

3、)当 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0( SKIPIF 1 0 )；当 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ( SKIPIF 1 0 )时，恒有f(x)0( SKIPIF 1 0 ).二、幂函数1幂函数的概念一般地，形如y=x(R)的函数称为幂函数，其中底数x为自变量，为常数.2几个常见幂函数的图象与性质函数 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 图象定义域 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 值域

4、 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在 SKIPIF 1 0 上单调递增在 SKIPIF 1 0 上单调递减；在 SKIPIF 1 0 上单调递增 在 SKIPIF 1 0 上单调递增在 SKIPIF 1 0 上单调递增在 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 上单调递减过定点过定点 SKIPIF 1 0 过定点 SKIPIF 1 0 3常用结论(1)幂函数在 SKIPIF 1 0 上都有定义.(2)幂函数的图象均过定点 SKIPIF 1 0 .(3)当 SKI

5、PIF 1 0 时，幂函数的图象均过定点 SKIPIF 1 0 ，且在 SKIPIF 1 0 上单调递增.(4)当 SKIPIF 1 0 时，幂函数的图象均过定点 SKIPIF 1 0 ，且在 SKIPIF 1 0 上单调递减.(5)幂函数在第四象限无图象.考向一 求二次函数或幂函数的解析式1求二次函数解析式的方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式一般选择规律如下：2求幂函数解析式的方法幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.典例1 若函数 SKIPIF 1 0 是幂函数，且满足 SKIP

6、IF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D3【答案】A【解析】由题意可设 SKIPIF 1 0 为常数），因为满足 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .故选A1已知幂函数 SKIPIF 1 0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当1010图象特殊点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 、 SK

7、IPIF 1 0 2利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.典例2 如图所示的曲线是幂函数 SKIPIF 1 0 在第一象限的图象，已知 SKIPIF 1 0 ，相应曲线 SKIPIF 1 0 对应的 SKIPIF 1 0 值依次为A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】B 【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线 SKIPIF 1 0 对应的 SKIPIF 1 0 值依次为 SKIPIF 1 0 故选B2已知函数f(x)=(m2A1B

8、2C3D2或1典例3 设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 cb BabcCcab Dbca【答案】A【解析】因为 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是增函数，所以 SKIPIF 1 0 又因为 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是减函数，所以 SKIPIF 1 cb.故选A.【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量.3已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则下列结论成立的是A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0

9、C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0，a0恒成立的充要条件是 SKIPIF 1 0 .(2)ax2bxc0，a0恒成立的充要条件是 SKIPIF 1 A在区间D上恒成立，此时就等价于在区间D上f(x)minA，接下来求出函数f(x)的最小值；若不等式f(x)B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)maxB，求出函数f(x)的最大值即可.典例4 已知函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上为减函数，则实数a的取值范围是A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【答案】A【解析】函数 SKIPIF

10、 1 0 的图象开口向上，且以直线 SKIPIF 1 0 为对称轴，若函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上为减函数，则 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，故实数a的取值范围为 SKIPIF 1 0 故选A.【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键4已知函数fx=4x2kx8A，40C40，160D典例5 已知函数 SKIPIF 1 0 ，若对于任意的 SKIPIF 1 0 都有 SKIPIF 1 0 ，则实数 SKIPIF 1 0 的取值范围为 .【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】根据题意，得 SK

11、IPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 5若函数fx=x22x+1在区间a,a+2A3,3B1,3C3,3D1,3,31若幂函数f(x)的图象过点(2,2)，则函数A1B SKIPIF 1 0 C2D SKIPIF 1 0 2已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的大小关系是A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 3在区间 SKIPIF 1 0 内任取一实数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的图象与 SKIPIF 1 0 轴有公共点的概率为

12、A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 4已知 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 为奇函数，且在 SKIPIF 1 0 上单调递增，则实数 SKIPIF 1 0 的值是A1，3 B SKIPIF 1 0 ，3 C1， SKIPIF 1 0 ，3 D SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0且a1)的图象恒过定点P，若定点PA BC D6已知函数 SKIPIF 1 0 的图象如图所示，则 SKIPIF 1 0 的大小关系为A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIP

13、IF 1 0 7已知函数 SKIPIF 1 0 ，则A SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 8已知 SKIPIF 1 0 ：幂函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增； SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件9已知幂函数 SKIPIF 1 0 的图象过点 SKIPIF 1 0 ，则函数 SKIPIF 1 0 在

14、区间 SKIPIF 1 0 上的最小值是A SKIPIF 1 0 B0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 10已知函数 SKIPIF 1 0 的定义域是R，则实数a的取值范围是A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 11已知点 SKIPIF 1 0 在幂函数 SKIPIF 1 0 的图象上，设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的大小关系为A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 12已知函数 SKIPIF 1 0 （其中 SKIPIF

15、 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ）在区间 SKIPIF 1 0 上单调递增，则函数 SKIPIF 1 0 的定义域为A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 13已知函数 SKIPIF 1 0 既是二次函数又是幂函数，函数 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 上的奇函数，函数 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 A0 B2018 C4036 D403714已知幂函数 SKIPIF 1 0 （是实数）的图象经过点 SKIPIF 1 0 ，则f（4）的值为_15已知x+x16若幂函数f(x)=(m22m+

16、1)x2m117已知函数y=x22x+a的定义域为R，值域为0,+)18已知函数 SKIPIF 1 0 ，则函数 SKIPIF 1 0 的最小值是_19已知实数 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的取值范围是_20已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(x)=f(2x),f(0)=3（1）求f(x)的解析式；（2）在区间1,1上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围21已知幂函数f(x)=(m1)2x（1）求m的值及f(x)的解析式；（2）若函数g(x)=3f(x)2+2ax+1a在22已知fx（1）当a=1，x

17、1,3时，求函数f（2）若函数fx在区间0,1内有最大值-5，求a23已知函数 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 为常数.（1）若函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上单调递减，求实数 SKIPIF 1 0 的取值范围；（2）若 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 ，求实数 SKIPIF 1 0 的取值范围.1（2017年高考浙江卷）若函数f(x)=x2+ ax+b在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则M mA与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关2（2017年高考山东卷理科）已知当 S

18、KIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 的图象与 SKIPIF 1 0 的图象有且只有一个交点，则正实数 SKIPIF 1 0 的取值范围是A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 3（2016年高考新课标III卷理科）已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 4（2019年高考浙江卷）已知 SKIPIF 1 0 ，函数 SKIPIF 1 0 ，若存在 SKIPIF 1 0 ，

19、使得 SKIPIF 1 0 ，则实数 SKIPIF 1 0 的最大值是_.变式拓展变式拓展1【答案】5,4【解析】由题意知 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，由于fx=x23=3f6x+39即为所以6x+327，解得5x4 2【答案】A【解析】函数f(x)=(mm2m1=1，解得：m=2当m=2时， SKIPIF 1 0 ，其图象与两坐标轴有交点，不符合题意；当m=1时， SKIPIF 1 0 ，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故m=1.故选A3【答案】A【解析】 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即

20、SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 .选A 【名师点睛】本题主要考查了比较大小问题，其中解答中熟练运用幂函数与指数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.求解时，根据幂函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上为单调递增函数，得出 SKIPIF 1 0 ，再根据指数函数的性质得 SKIPIF 1 0 ，即可得到结论.4【答案】D【解析】因为函数fx=4x2kx8在5,20上具有单调性，所以 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ，解得k160或k40.故实数k的取值范围为，选D5【答案】C【解析】函数f（x）x22

21、x+1（x1）2，函数f（x）图象的对称轴为x1，在区间a，a+2上的最小值为4，当1a时，函数的最小值为f（a）（a1）24，则a1（舍去）或a3；当a+21，即a1时，函数的最小值为f（a+2）（a+1）24，则a1（舍去）或a3；当a1a+2，即-1a1时，函数的最小值为f（1）04，故满足条件的a的取值集合为3，3故选C考点冲关考点冲关1【答案】B【解析】设 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 是常数），f（x）的图象过点（2，2）， SKIPIF 1 0 =2，则 SKIPIF 1 0 ，则f（x）=x，y=故其最大值为 SKIPIF 1 0 .故选B.2【答案】C【解析

22、】易知幂函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上是减函数， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 .故选C.3【答案】D【解析】函数 SKIPIF 1 0 的图象与 SKIPIF 1 0 轴有公共点， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 由几何概型概率公式可得所求概率为 SKIPIF 1 0 故选D【名师点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围，当考察对象为点，且点的活动范围在线段上时，可用线段长度比计算，然后根据公式计算即可求解本题时，先由二次函数的判别式大于等于零求出实

23、数 SKIPIF 1 0 的取值范围，再根据几何概型概率公式求解4【答案】B【解析】因为 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 0 ，排除选项A，C；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 为非奇非偶函数，不满足条件，排除D，故选B【名师点睛】分别研究五个幂函数的奇偶性与单调性，从而可得结果.特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法既可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:（1）求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；

24、（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 SKIPIF 1 0 项和公式问题等等.5【答案】D【解析】由题意知，f2=a22+7=8设幂函数为gx=x（ SKIPIF 1 0 是常数），将P2,8代入得2=8即gx故选D6【答案】A【解析】由图象可知， SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 .故选A【名师点睛】本题主要结合函数图象，考查指数函数和幂函数的比较大小问题，解决本题的关键是寻找中间值.7【答案】B【解析】 SKIPIF 1 0 ，函数的定义域为 SKIPIF 1 0 ，函数的值域为 SKIPIF 1 0 ，并且函数是单调递增函数，

25、这样A不成立，C根据单调性可知也不成立，D应改为 SKIPIF 1 0 ，故选B8【答案】A【解析】由题意，命题 SKIPIF 1 0 幂函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的充分不必要条件.故选A9【答案】B【解析】由题设得 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，则当 SKIPIF 1 0 时取最小值，最小值为 SKIPIF 1 0 .应选B.10【答案】B【解析】由题意，要使函数

26、SKIPIF 1 0 的定义域是 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 对任意实数 SKIPIF 1 0 都成立，当 SKIPIF 1 0 时显然成立；当 SKIPIF 1 0 时，需 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 综上， SKIPIF 1 0 的取值范围为 SKIPIF 1 0 故选B11【答案】D【解析】由题可得： SKIPIF 1 0 ，解得： SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF

27、1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调递增，可得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 .故选D.12【答案】B【解析】函数 SKIPIF 1 0 （其中 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ）在区间 SKIPIF 1 0 上单调递增， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 故选B13【答案】D【解析】因为函数 SKIPIF 1 0 既是二次函数又是幂函数，所以 SKIPIF 1 0 ，因此 SKIPIF 1 0 ，因此 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故选D14【答案】2【解析】因为幂函数 SKIPIF 1 0 的图象

28、过点 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 故答案为215【答案】 SKIPIF 1 1,0，所以根据幂函数的单调性，可得xx所以x故答案为416【答案】2【解析】由函数f(x)=(m22m+1)x2m1是幂函数，得m当m=0时，f(x)=x1，在(0,+)上为减函数，不当m=2时，f(x)=x3，在(0,+)上为增函数，故答案为217【答案】1【解析】因为x22x+a=(x1)2+a1，y=(x1)2+a1的定义域为R，值域为0,+)，所以故答案为1.18【答案】 SKIPIF 1 0 【解

29、析】设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 可化为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 有最小值 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 时，函数 SKIPIF 1 0 的最小值是 SKIPIF 1 0 .故答案为 SKIPIF 1 0 .【名师点睛】求函数最值的常见方法有：配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；不等式法：借助于基本不等式 求

30、函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求出函数的最值；图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.19【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】由 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 .又 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 .所以 SKIPIF 1 0 .结合 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 .故答案为 SKIPIF 1 0 .【名师点睛】本题主要考查求二次函数值域，需要注意定义域，属于

31、中档题.求解时，先由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，再由 SKIPIF 1 2x+2m+1在1,1设g(x)=x23x+1,则g(x)在区间则g(x)在区间1,1上的最小值为g(1)=1,则有故m的取值范围为(,1)21【答案】（1）f(x)=x3；（2）【解析】（1）幂函数fx=(m1)2故 SKIPIF 1 0 ，解得：m=0，故fx（2）由于fx所以函数gx则函数图象为开口方向向下的抛物线，对称轴为x=a，由于在0,2上的最大值为3，当a2时，gx在0,2故：g(x)解得a=2当a0时，gx在0,2故：g(x)解得：a=2当0a2时，gx在0,a上单调递增，在a,2故

32、：g(x)解得：a=1 (舍去)，或a=2（舍去)，综上所述：a=222【答案】（1）29,5；（2）a=54或【解析】（1）当a=1时，fx其图象的对称轴为x=1x1,3时，函数f当x=1时，函数有最大值f1当x=3时，函数有最小值f3故函数fx的值域为29,5（2）fx=4x2+4ax4aa当12a1，即a2时，fx在0,1上单调递增，函数的最大值令4a2=5，得a当012a1，即0a2时，x=12a令4a=5，得a=5当12a0，即a0时，fxx=0时，fx的最大值为4a令4aa2=5，得a2+4a5=0，解得 SKIPIF 1 0 ，或a=1（舍去）综上所述，a=54或 SKIPIF

33、1 0 .23【答案】（1） SKIPIF 1 0 ；（2） SKIPIF 1 0 .【解析】（1）因为 SKIPIF 1 0 开口向上，所以该函数图象的对称轴是 SKIPIF 1 0 ，因此 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 .（2）因为 SKIPIF 1 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ，因此， SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 .【名师点睛】（1）根据二次函数性质得对称轴不在区间 SKIPIF 1 0 内，解不等式可得实数 SKIPIF 1 0 的取值范围.（2）根据二次函数图象可得 SKIPIF 1 0 在x轴上方，即 SKIPIF 1 0 ，解得实数