初中数学北师大九年级上册 图形的相似九年级上册 相似三角形解答题培优专题

1、2023相似三角形解答题培优专题（含答案）一、解答题1如图，在中，点P由点A出发沿方向向终点B以每秒的速度匀速移动，点Q由点B出发沿方向向终点C以每秒的速度匀速移动，速度为.如果动点同时从点A，B出发，当点P或点Q到达终点时运动停止.则当运动几秒时，以点Q，B，P为顶点的三角形与相似？2如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GEBC，垂足为点E，GFCD，垂足为点F（1）证明与推断：求证：四边形CEGF是正方形；推断：的值为 ：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转角（045），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方

2、形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H若AG=6，GH=2，则BC= 3如图1，在中，点分别是边的中点，连接将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为问题发现当时， ；当时， 拓展探究试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明问题解决绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，求线段的长4在，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连接AD，BD，CP（1）观察猜想如图1，当时，的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 （2）类比探究如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成

3、的小角的度数，并就图2的情形说明理由（3）解决问题当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值5如图1，在ABC中，BA=BC，点D，E分别在边BC、AC上，连接DE，且DE=DC（1）问题发现：若ACB=ECD=45，则（2）拓展探究，若ACB=ECD=30，将EDC绕点C按逆时针方向旋转度（0180），图2是旋转过程中的某一位置，在此过程中的大小有无变化？如果不变，请求出的值，如果变化，请说明理由（3）问题解决：若ACB=ECD=（090），将EDC旋转到如图3所示的位置时，则的值为（用含的式子表示）6在矩形ABCD中，AB=4cm，B

4、C=8cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，以2cm/s秒的速度沿BC向点C运动.P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒.(如图1)（）用含t的代数式表示下列线段长度：PB=_cm,QB=_cm,CQ=_cm. (2)当PBQ的面积等于3cm2时，求t的值 (3) (如图2)，若E为边CD中点，连结EQ、AQ.当以A、B、Q为顶点的三角形与EQC相似时，直接写出满足条件的t的所有值.7如图l，在中，点，分别在边和上，点，在对角线上，且，.（1）求证：四边形是平行四边形：（2）若，.当四边形是菱形时，的长为_；当四边形是正方形时，的长为_；当四边形是

5、矩形且时，的长为_.8已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB90，点A，C的坐标分别为A（3，0），C（1，0），BCAC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得ADB与ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设APDQm，问是否存在这样的m，使得APQ与ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由9已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BEAP，DFAP，垂足分别是点E、F（1）求证：EF=AEBE；（2）联结BF，如果=求证：EF=EP10如图，

6、在ABC中，过点C作CD/AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD(1)求证：四边形AFCD是平行四边形(2)若GB=3，BC=6，BF=11已知：如图，点AF，EC在同一直线上，ABDC，AB=CD，B=D（1）求证：ABECDF；（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长12如图，直线 AB与坐标轴交与点， 动点P沿路线运动.(1)求直线AB的表达式;(2)当点P在OB上，使得AP平分时，求此时点P的坐标;13如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EGCD交AF于点G，连接DG(1)求证

7、：四边形EFDG是菱形； (2) 求证：； (3)若AG=6，EG=2，求BE的长14如图,在ABC中.AC=BC=是AB边中线.点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿C-D-C运动.在点P出发的同时，点Q也从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿边CA向点A运动.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止，设点P运动的时间为t秒.（1）用含t的代数式表示CP、CQ的长度.（2）用含t的代数式表示CPQ的面积.（3）当CPQ与CAD相似时，直接写出t的取值范围.15如图，ABBC，DCBC，垂足分别为，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是否存在点P使ABP与DCP相似？若有，有几个？并求出此

8、时BP的长，若没有，请说明理由.16如图，正方形，点为射线上的一个动点，点为的中点，连接，过点作于点.（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；（2）若，以点为顶点的三角形与相似，试求出的长.17如图，正方形 ABCD 的边长为 8，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上， 过 P 作 PFAE 于 F（1）请判断PFA 与ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PAx，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶 点的三角形也与ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由18已知：如图，ABC是等边三角形，点D、E分别在BC，AC且BDCE

9、，AD、BE相交于点M， 求证：（1）AMEBAE；（2）BD2ADDM19ABC中，ABAC5，BC6，过AB上一点D作DEBC，DFAC分别交AC、BC于点E和F（1）如图1，证明：ADEDBF；（2）如图1，若四边形DECF是菱形，求DE的长；（3）如图2，若以D、E、F为顶点的三角形与BDF相似，求AD的长20如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，且BEAC交AC于点F（1）求证：EABABC；（2）若AD2，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求DF的长21如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM上一点，EFAM，垂足为F，交AD延长线于点E，交DC于点N（1）

10、求证：ABMEFA；（2）若AB12，BM6，F为AM的中点，求DN的长；（3）若AB12，DE1，BM5，求DN的长22如图，在ABC中，AD平分BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF若BD=6，AF=4，CD=3，求线段BE的长23教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容例2 如图，在中，分别是边的中点，相交于点，求证：，证明：连结请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程结论应用：在中，对角线交于点，为边的中点，、交于点（1）如图，若为正

11、方形，且，则的长为 （2）如图，连结交于点，若四边形的面积为，则的面积为 24正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直（1）证明：ABMMCN；（2）若ABM的周长与MCN周长之比是4：3，求NC的长25如图，在ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒PBQ与ABC相似？26如图，矩形ABCD中，AB20，BC10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：APQCDQ；(2)P点从A点出发沿

12、AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒当t为何值时，DPAC?27如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FDED，交直线BC于点F（1）探究发现：如图1，若mn，点E在线段AC上，则 ；（2）数学思考：如图2，若点E在线段AC上，则 （用含m，n的代数式表示）；当点E在直线AC上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC，BC2，DF4，请直接写出CE的长28如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从B，A两点出发，分别沿BA，AC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/

13、s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）如图，当t为何值时，AP3AQ；（2）如图，当t为何值时，APQ为直角三角形；（3）如图，作 QDAB交 BC于点D，连接PD，当t为何值时，BDP与PDQ相似？29如图，在ABC中，C90，点D是边AB上的动点，过点D作DEBC交AC于E，过E作EFAB交BC于F，连结DF（1）若点D是AB的中点，证明：四边形DFEA是平行四边形；（2）若AC8，BC6，直接写出当DEF为直角三角形时AD的长30如图，四边形ABCD中，AC平分DAB，AC2ABAD，ADC90，E为AB的中点（

14、1）求证：ADCACB；（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若AD4，AB6，求ACAF31（1）观察发现：如图1，在RtABC中，B90，点D在边AB上，过D作DEBC交AC于E，AB5，AD3，AE4填空：ABC与ADE是否相似？（直接回答） ；AC ；DE （2）拓展探究：将ADE绕顶点A旋转到图2所示的位置，猜想ADB与AEC是否相似？若不相似，说明理由；若相似，请证明（3）迁移应用：将ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段BE的长32如图1，一次函数yx+4与x轴、y轴分别交于A，B两点P是x轴上的动点，设点P的横坐标为n（1）当BPOABO时

15、，求点P的坐标；（2）如图2，过点P的直线y2x+b与直线AB相交于C，求当PAC的面积为20时，点P的坐标；（3）如图3，直接写出当以A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标33如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段OA，OC的长是一元二次方程x2-12x+36=0的两根，BC=4，BAC=45 (1)直接写出点A的坐标_点 C的坐标_； (2)若反比例函数y=的图象经过点B，求k的值； (3)如图过点B作BDy轴于点D；在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P， O，A为顶点的三角形相似?若存在，直接写

16、出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 34感知：如图，在四边形ABCD中，ABCD，B=90，点P在BC边上，当APD=90时，可知ABPPCD（不要求证明）探究：如图，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当B=C=APD时，求证：ABPPCD拓展：如图，在ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上若B=C=DPE=45，BC=6，CE=4，则DE的长为_35已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，ACB=90，点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x-3=0的两根（AOOC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上找

17、一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与AEB相似参考答案1当运动秒或秒时，以点Q，B，P为顶点的三角形与相似【解析】【分析】设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与ABC相似；则PB（6t）cm，BQ2tcm，分两种情况：当时；当时；分别解方程即可得出结果【详解】解：设秒后，以点Q，B，P为顶点的三角形与相似，则，.，分两种情况

18、讨论：当时，即，解得；当时，即，解得.综上所述，当运动秒或秒时，以点Q，B，P为顶点的三角形与相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、解方程；熟练掌握相似三角形的判定方法，分两种情况进行讨论是解决问题的关键2（1）四边形CEGF是正方形；（2）线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）3【解析】【分析】（1）由、结合可得四边形CEGF是矩形，再由即可得证；由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG，只需证即可得；（3）证得，设，知，由得、，由可得a的值【详解】（1）四边形ABCD是正方形，BCD=90，BCA=45，GEBC、GFCD，CEG=CF

19、G=ECF=90，四边形CEGF是矩形，CGE=ECG=45，EG=EC，四边形CEGF是正方形；由知四边形CEGF是正方形，CEG=B=90，ECG=45，GEAB，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知BCE=ACG=，在RtCEG和RtCBA中，=、=，=，ACGBCE，线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）CEF=45，点B、E、F三点共线，BEC=135，ACGBCE，AGC=BEC=135，AGH=CAH=45，CHA=AHG，AHGCHA，设BC=CD=AD=a，则AC=a，则由得，AH=a，则DH=ADAH=a，CH=a，由得，解得：a=3，即BC=3，故答案为：3

20、【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3（1） ；(2) ;(3) 【解析】【分析】（1）根据勾股定理和三角形中位线的性质，即可得到答案；根据平行线的性质即可得到答案；(2)根据相似三角形的性质和判定即可得到答案；(3) 根据勾股定理即可得到答案.【详解】解：当时，中，点分别是边的中点，如图11中，当时，可得，故答案为：如图2，当时，的大小没有变化，又,，如图31中，当点在的延长线上时，在中,，如图32中，当点在线段上时，易知， ，综上所述，满足条件的的长为【点睛

21、】本题考查勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键熟练掌握勾股定理、三角形中位线的性质、平行线的性质和相似三角形的性质和判定.4（1）1，（2）45（3），【解析】【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O证明，即可解决问题（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E证明，即可解决问题（3）分两种情形：如图31中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H证明即可解决问题如图32中，当点P在线段CD上时，同法可证：解决问题【详解】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O，线BD与直线CP相

22、交所成的较小角的度数是，故答案为1，（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E，直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为（3）如图31中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H，A，D，C，B四点共圆，设，则，c如图32中，当点P在线段CD上时，同法可证：，设，则，【点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题5（1）；（2）此过程中的大小有变化，（3）2cos【解析】【分析】1）如图1

23、，过E作EFAB于F，根据等腰三角形的性质得到A=C=DEC=45，于是得到B=EDC=90，推出四边形EFBD是矩形，得到EF=BD，推出AEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到ACB=CAB=ECD=CED=30，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）根据等腰三角形的性质得到ACB=CAB=ECD=CED=，根据相似三角形的性质得到，即，根据角的和差得到ACE=BCD，求得ACEBCD，证得，过点B作BFAC于点F，则AC=2CF，根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：（1）如图1，过E作EFAB于F，BA=BC，DE=DC，A

24、CB=ECD=45，A=C=DEC=45，B=EDC=90，四边形EFBD是矩形，EF=BD，EFBC，AEF是等腰直角三角形， ，故填：，（2）此过程中的大小有变化，由题意知，ABC和EDC都是等腰三角形，ACB=CAB=ECD=CED=30，ABCEDC，即，又ECD+ECB=ACB+ECB，ACE=BCD，ACEBCD，在ABC中，如图2，过点B作BFAC于点F，则AC=2CF，在RtBCF中，AC=BC；（3）由题意知，ABC和EDC都是等腰三角形，且ACB=ECD=，ACB=CAB=ECD=CED=，ABCEDC，即，又ECD+ECB=ACB+ECB，ACE=BCD，ACEBCD，在

25、ABC中，如图3，过点B作BFAC于点F，则AC=2CF，在RtBCF中，CF=BCcos，AC=2BCcos=2cos，故答案为2cos【点睛】本题考查了相似形的综合题、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型6（1）PB=4-t；QB=2t；CQ=8-2t；（2）1或3；（3）2-2或2+2或【解析】【分析】（1）根据题意写出结果即可；（2）利用三角形的面积公式列方程求解即可；（3）根据相似三角形的性质，分两种情况列式求解即可.【详解】（1）由题意得，PB=4-t；QB=2t；C

26、Q=8-2t；（2）PBQ的面积等于3cm22t(4-t)=32,解之得，t=1或3；（3）当ABQQCE时，ABCQ48-2t解之得，x1=2-2，x2=2+当ABQECQE时，ABCE42解之得，t=83满足条件的t的所有值为2-2或2+2或【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键. 相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.7（1）证明见解析，（2）51【解析】【分析】

27、（1）如图1中，设的中点为连接，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可（2）如图中，连接交于点，当时，四边形是菱形利用平行线等分线段定理即可解决问题在的基础上，时，四边形是正方形如图中，连接交于点，作于当时，四边形是矩形【详解】（1）证明：如图1中，设的中点为连接，四边形是平行四边形，与互相平分且交于点，四边形是平行四边形，与互相平分且交于点，四边形是平行四边形（2）如图中，连接交于点，当时，四边形是菱形，在的基础上，满足时，四边形是正方形，易知，如图中，连接交于点，作于，当时，四边形是矩形，故答案为：5，1，【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定

28、，正方形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型8（1）yx+；（2）D点位置见解析，D（，0）；（3）符合要求的m的值为或【解析】【分析】（1）先根据A（3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；（3）由于APQ与ADB已有一组公共角相等，只需分APQABD和APQADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题【详解】解：（1）A（3，0），C（1，0），AC4，BCAC，BC43，B（1，3），设直线AB的解

29、析式为ykx+b，直线AB的解析式为yx+；（2）若ADB与ABC相似，过点B作BDAB交x轴于D，ABDACB90，如图1，此时，即AB2ACADACB90，AC4，BC3，AB5，254AD，AD，ODADAO3，点D的坐标为（，0）；（3）APDQm，AQADQDm、若APQABD，如图2，则有，APADABAQ，m5（m），解得m；、若APQADB，如图3，则有，APABADAQ，5m（m），解得：m，综上所述：符合要求的m的值为或【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了是待定系数法，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，也考查了分类讨论的数学思想，属于中档题，解本题的关键是根据相似建

30、立方程求解9（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，BAD=90，根据等角的余角相等得到1=3，则可判断ABEDAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用和AF=BE得到，则可判定RtBEFRtDFA，所以4=3，再证明4=5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP【详解】（1）四边形ABCD为正方形，AB=AD，BAD=90，BEAP，DFAP，BEA=AFD=90，1+2=90，2+3=90，1=3，在ABE和DAF中，ABEDAF，BE=AF，EF=AEAF=AEBE；（2）如图，而AF=BE，RtBEFRtDFA，4=

31、3，而1=3，4=1，5=1，4=5，即BE平分FBP，而BEEP，EF=EP【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.101证明见解析；(2)AB【解析】【分析】(1)由E是AC的中点知AE=CE，由AB/CD知AFE=CDE，据此根据“AAS”即可证AEF(2)证GBFGCD得GBGC=BFCD，据此求得【详解】(1)E是ACAEABAFE在AEF和AFE=CDEAEFAF又AB/CD，即四边形AFCD是平行四边形；(2)ABGBFGBGC=解得：CD=四边形AFCD是平行四边形，AFAB【点睛】本

32、题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.11（1）证明见解析；（2）AB=10【解析】分析：（1）根据平行线的性质得出A=C，进而利用全等三角形的判定证明即可；（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可详解：（1）证明：ABDC，A=C，在ABE与CDF中AABECDF（ASA）；（2）点E，G分别为线段FC，FD的中点，ED=12CDEG=5，CD=10，ABECDF，AB=CD=10点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出A=C12（1）y=x+6；（2）P（3，0）【解析】【分析】1

33、）直接利用待定系数法即可得出结论；（2）方法1、利用角平分线判断出BC=AB=10，进而判断出AOPCBP，求出OP，即可得出结论；方法2、先判断出OP=PM，设OP=m，得出PM=m，BP=8-m，再求出AM=OA=6，进而得出BM=AB-AM=4，最后用勾股定理建立方程求解即可得出结论【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，A（0，6），B（8，0）， ， ，直线AB的解析式为y=x+6；（2）方法1、如图1，A（0，6），B（8，0），OA=6，OB=8，AB=10，过点B作BCOA交AP的延长线于C，C=OAP，AP平分OAB，OAP=BAP，C=BAP，BC=AB=10，

34、BCOA，AOPCBP， = ， ，OP=3，P（3，0）；方法2、如图3，过点P作PMAB于M，AP是OAB的角平分线，OP=PM，设OP=m，PM=m，BP=OB-OP=8-m易知，AOPAMP，AM=OA=6，BM=AB-AM=4，在RtBMP中，根据勾股定理得，m2+16=（8-m）2，m=3，P（3，0）故答案为：（1）y=x+6；（2）P（3，0）【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键13（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BE的长为.【解析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证

35、明DGF=DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O由菱形的性质可知GFDE，OG=OF=GF，接下来，证明DOFADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GHDC，垂足为H利用（2）的结论可求得FG=4，然后再ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明FGHFAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=ADGH求解即可解：（1）证明：GEDF，EGF=DFG由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，DGF=EGF，DGF=DFGGD=DFDG=GE=DF

36、=EF四边形EFDG为菱形“点睛”本题考查的是四边形与三角形的综合应用，解题应用了矩形的性质，菱形的性质和判定、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键14（1）当0t时，CP=，CQ=2t；当时，CP=，CQ=2t（2）当0t时，SCPQ=PCsinACDCQ=2t=；当时，SCPQ=PCsinACDCQ=（）2t=.（3）0t或s【解析】【分析】（1）分两种情形：当0t时，当t时，分别求解即可（2）分两种情形：当0t时，当t时，根据SCPQ=PCsinACDCQ分别求解即可（3）分两种情形：当0t，可以证明QCPDCA，当t，QPC=90时，Q

37、PCADC，构建方程求解即可【详解】解：（1）CA=CB，AD=BD=3，CDAB，ADC=90，CD=4，当0t时，CP=，CQ=2t，当时，CP=，CQ=2t（2）sinACD=，当0t时，SCPQ=PCsinACDCQ=2t=当时，SCPQ=PCsinACDCQ=（）2t=.（3）当0t时，CP=，CQ=2t，=，=，PCQ=ACD，QCPDCA，0t时，QCPDCA，当时，当QPC=90时，QPCADC，解得：，综上所述，满足条件的t的值为：0t或s时，QCPDCA【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考

38、问题，属于中考常考题型15BC上存在两个点P，BP=6或8使ABP与DCP相似.【解析】【分析】设BP=x，表示出PC=14-x，然后分BP与CP是对应边，BP与DC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可【详解】设BP=x，则PC=14x，BP与CP是对应边时, ，即，解得x=8，BP与DC是对应边时, ，即，解得x1=6,x2=8，所以，BC上存在两个点P，BP=6或8使ABP与DCP相似.【点睛】此题考查相似三角形的判定，解题关键在于根据相似三角形的性质对应边成比例列出方程.16（1），见解析；（2）或.【解析】【分析】（1）通过等角转换，可得出三角相等，即可判定；（2）

39、首先根据已知条件求出DQ，由三角形相似的性质，列出方程，即可得解，注意分两种情况讨论.【详解】（1）根据已知条件，得DAQ=PED=90又ADQ+PDE=DPE+PDE=90ADQ =DPE，AQD=PDE（2）由已知条件，得设DE为PE为分两种情况：即解得即解得【点睛】此题主要考查三角形相似的性质，熟练掌握，即可解题.17（1）见解析；（2）存在，x的值为2或5.【解析】【分析】（1）在PFA与ABE中，易得PAF=AEB及PFA=ABE=90；故可得PFAABE；（2）根据题意：若EFPABE，则PEF=EAB；必须有PEAB；分两种情况进而列出关系式【详解】(1)证明：ADBC,PAF=

40、AEB.PFA=ABE=90，PFAABE.(2)若EFPABE，则PEF=EAB.如图，连接PE,DE,PEAB.四边形ABEP为矩形.PA=EB=2，即x=2.如图，延长AD至点P，作PFAE于点F,连接PE,若PFEABE，则PEF=AEB.PAF=AEB，PEF=PAF.PE=PA.PFAE，点F为AE的中点.AE=，EF=AE=.，PE=5，即x=5.满足条件的x的值为2或5.【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线.18（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得出ABBC、ABDC，结合BDCE即可证出ABDBCE（SAS

41、），根据全等三角形的性质可得出CBEBAD，通过角的计算可得出EAMEBA，再结合AEMBEA即可证出AMEBAE；（2）根据相似三角形的性质可得出AMEBAE60，由对顶角相等可得出BMD60，再结合ABD60、BDMADB，即可证出ABDBMD，根据相似三角形的性质可证出BD2ADDM【详解】证明：（1）ABC是等边三角形，ABBC，ABDC60在ABD和BCE中，ABDBCE（SAS），CBEBAD，EAMEBA又AEMBEA，AMEBAE（2）AMEBAE，AMEBAE60，BMD60又ABD60，BDMADB，ABDBMD，BD2ADDM【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似

42、三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质找出CBEBAD；（2）根据对应角相等证出ABDBMD19（1）见解析；（2）DE的长为；（3）AD的长为或【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得ADEB，ABDF，则根据相似三角形的判定方法可判断ADEDBF；（2）设DEx，利用菱形的性质得DEDFCFCEx，则AE5x，BF6x，根据相似三角形的性质得，即，然后利用相似比的性质求出x即可；（3）设ADAEt，则CE5t，先判断四边形DECF为平行四边形，所以DFCE5t，DECF，利用平行线分线段成比例的性质可表示出DEt，则CFt，BF6t，由于EDFBF

43、D，根据相似三角形的判定方法，当，EDFBFD，即BFDE，6tt；当，EDFDFB，即，然后利用比例性质分别求出t即可【详解】（1）证明：DEBC，DFAC，ADEB，ABDF，ADEDBF；（2）解：设DEx，四边形DECF是菱形，DEDFCFCEx，AE5x，BF6x，ADEDBF，即，解得x，即DE的长为；（3）解：设ADAEt，则CE5t，DEBC，DFAC，四边形DECF为平行四边形，DFCE5t，DECF，DEBC，即，则DEt，CFt，BF6t，EDFBFD，当，EDFBFD，即BFDE，6tt，解得t；当，EDFDFB，即，解得t5（舍去）或t，综上所述，AD的长为或【点睛】

44、本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，平行线的性质和分类讨论的数学思想方法. 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键20（1）见解析；（2）AB；（3）DF【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到BADABC90，根据余角的性质得到BACAEB，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）连接BD，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，推出DEFBED，根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，BADABC90，ABE+AEB90，BEAC，AFB90，ABF+BAF90，BACAEB，EABABC；（

45、2）点E是AD的中点，AD2，AE1，EABABC，AB；（3）连接BD，ACBE，AFBAFE90，四边形ABCD是矩形，BAE90，又AEFBEA，AEFBEA，点E是AD的中点，AEED，又FEDDEB，DEFBED，AD2，AE1，AB，BD，BF，BE，EFBEBF，DF【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键21（1）见解析；（2）DN；（3）DN【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出ABAD，B90，ADBC，得出AMBEAF，再由BAFE，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由ABMEF

46、A得出比例式，求出AE，即可得出DN的长；（3）根据余角的性质得到BAME，根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABAD，B90，ADBC，AMBEAF，又EFAM，AFE90，BAFE，ABMEFA；（2）解：B90，AB12，BM6，AM6，AD12，F是AM的中点，AFAM3，ABMEFA，即，AE15，DEAEAD3，EDNEFA90，EE，AEFNED，EF6，DN；（3）解：BAFEBAD90，BAM+EAFEAF+E90，BAME，ABMEDN，即，DN【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，

47、并能进行推理计算是解决问题的关键.228【解析】【分析】根据作法得到MN是线段AD的垂直平分线，则AE=DE，AF=DF，所以EAD=EDA，加上BAD=CAD，得到EDA=CAD，则可判断DEAC，同理DFAE，于是可判断四边形AEDF是平行四边形，加上EA=ED，则可判断四边形AEDF为菱形，所以AE=DE=DF=AF=4，然后利用平行线分线段成比例可计算BE的长【详解】解：根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，AE=DE，AF=DF，EAD=EDA，AD平分BAC，BAD=CAD，EDA=CAD，DEAC，同理DFAE，四边形AEDF是平行四边形，而EA=ED，四边形AEDF为菱形，

48、AE=DE=DF=AF=4，DEAC，BE：AE=BD：CD，即BE：4=6：3，BE=8【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了菱形的判定与性质和平行线分线段成比例23教材呈现：详见解析；结论应用：（1）；（2）6【解析】【分析】教材呈现：如图，连结根据三角形中位线定理可得，那么，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明；结论应用：（1）如图先证明，得出，那么，又，可得，由正方形的性质求出，即可求出；（2

49、）如图，连接由（1）易证根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出与的面积比，同理，与的面积比2，那么的面积的面积2（的面积的面积），所以的面积，进而求出的面积【详解】教材呈现：证明：如图，连结在中，分别是边的中点，；结论应用：（1）解：如图四边形为正方形，为边的中点，对角线、交于点，正方形中，故答案为；（2）解：如图，连接由（1）知，与的高相同，与的面积比，同理，与的面积比2，的面积的面积2（的面积的面积），的面积，的面积故答案为6【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.灵活运用正方形性质，相似三角形判定和性质是关键.24（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）要证三角形ABMM

50、CN，就需找出两组对应相等的角，已知两个三角形中一组对应角为直角，而BAM和NMC都是AMB的余角，因此这两个角也相等，据此可得出两三角形相似；（2）由ABMMCN，得出对应边成比例BMCN=ABCM=43【详解】（1）证明：四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为4，AB=BC=4，B=C=90，AM和MN垂直，AMN=90，BAM+AMB=90，NMC+BMA=18090=90，BAM=NMC，B=C，ABMMCN；（2）解：ABMMCN，ABCMABMMCN，ABM的周长与MCN周长之比是4：3，ABM的周长与MCN边长之比也是4：3，ABCMAB=4，4CMCM=3，BM=43=

51、1，1CNNC=34【点睛】本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，根据相似三角形得出与所求的条件相关的线段成比例是解题的关键252或秒【解析】【分析】分类讨论：分别利用当ABCPBQ时以及当ABCQBP时，分别得出符合题意的答案【详解】解：设t秒时，则BP=82t，BQ=4t，设当则即解得：当则即解得：综上所述：经过2或秒PBQ与ABC相似【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练利用分类讨论得出是解题关键26（1）见解析；（2）当t5时，DPAC，理由见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得CDAB，根据平行线的性质可得DCQ=QAP，PDC=QPA，进而可得判定APQCD

52、Q；（2）首先证明ADQACD，根据相似三角形的性质可得ADAC=AQAD，然后计算出AC长，进而可得AQ长，再证明AQPABC，可得AQAP【详解】（1）证明：四边形ABCD是矩形，CDAB，DCQ=QAP，PDC=QPA，APQCDQ；（2）解：当t=5时，DPAC；ADC=90，DPAC，AQD=AQP=ADC=90，DAQ=CAD，ADQACD，ADACAC=102则AQ=ADAQP=ABC=90，QAP=BAC，AQPABC，AQAP则25解得：t=5，即当t=5时，DPAC【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例2

53、7（1）1；（2）；（3）或【解析】分析：(1)先用等量代换判断出，得到，再判断出即可；(2)方法和一样，先用等量代换判断出，得到，再判断出即可；(3)由的结论得出，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可详解：当时，即：，即，即，成立.如图，又，即，由有，在中，当E在线段AC上时，在中，根据勾股定理得，或舍)当E在直线AC上时，在中，根据勾股定理得，或舍)，即：或点睛：此题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解本题的关键，求CE是本题的难点28（1）（2）3或 （3）或2【解析】【分析】(1)由题意可知BP=t,AQ=2t,则AP=6-t由AP=3AQ可

54、得到关于t的方程,可求得的值;(2)分APQ=900和AQP=900两种情况,再利用含30角的直角三角形的性质可和AP=2AQ,或AQ=2AP,分别求即可;(3) 由已知可证得CDQ 是等边三角形，分BPDPDQ ，BPQ QDP 两种情况讨论，可得t的值.【详解】（1）由题意知，AQ2t，BPt，ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，A60，AB6，APABBP6t，AP3AQ，6t32t，t，即：t秒时，AP3AQ；（2）由（1）知，A60，AQ2t，AP6t，APQ 为直角三角形，当APQ90时，AQ2AP，2t2（6t），t3 秒，当AQP90时，AP2AQ，6t22t，t秒，即：t

55、3 秒或秒时，APQ 是直角三角形；（3）由题意知，AQ2t，BPt，AP6t，ABC 是等边三角形，AC60，QDAB，PDQBPD，QDBA60，CDQ 是等边三角形，CDCQ，BDAQ2t，BDP 与PDQ 相似，当BPDPDQ 时，BDPQ60，APQBDP，AB，APQBDP，t秒，当BPQ QDP 时，BDQP60，DQAB，APQDQP60，A60，APQ 是等边三角形，APAQ，6t2t，t2 秒，即：t秒或 2 秒时，BDP 与PDQ 相似【点睛】本题主要考查相似三角形的性质和等边三角形的性质,利用条件得到关于的方程是解题的关键,注意分类思想和方程思想的应用.29（1）见解析

56、；（2）AD的值为5或【解析】【分析】（1）先证明DFAE，EFAD即可；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；【详解】（1）证明：ADDB，DEBC，AEEC，EFAB，BFCF，ADDB，DFAC，EFAB，四边形DFEA是平行四边形（2）情形1：当点D是AB的中点，由（1）可知：DEBC，DFEC，四边形DECF是平行四边形，ECF90，四边形DECF是矩形，EDF90，DEF是直角三角形，此时ADAB5情形2：如图，当DFE90时，设ADx则AExBD10 x，EC8x，BF（10 x），CF（8x），BF+CF6，（10 x）+（8x）6x，综上所述，AD的值为5或【点睛】考查平行四

57、边形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.30（1）证明见解析；（2）CEAD，理由见解析；（3）74【解析】试题分析：（1）根据角平分线的定义得到DAC=CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质得到ACB=ADC=90，根据直角三角形的性质得到CE=AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明；（3）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可试题解析：（1）AC平分DAB，DAC=CAB，又AC2=ABAD，AD：AC=AC：AB，ADCACB；（2）CEAD，理由：ADCACB，ACB=ADC=90，又E为AB的中点，EAC=E

58、CA，DAC=CAE，DAC=ECA，CEAD；（3）AD=4，AB=6，CE=12AB=AE=3CEAD，FCE=DAC，CEF=ADF，CEFADF，CFAF=CEAD=ACAF=731（1）相似；（2）ADBAEC；（3）4+或4【解析】【分析】(1)根据相似三角形的判定定理解答；根据勾股定理求出DE，根据相似三角形的性质列出比例式，求出AC；(2)根据旋转变换的性质得到BADCAE，根据两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似证明；(3)根据勾股定理求出BD，分两种情况计算即可【详解】解：（1）DEBC，ABCADE，故答案为：相似；DEBC，ADEB90，DE，ABCADE， ，即，

59、解得，AC，故答案为：；（2）ADBAEC，理由如下：由旋转变换的性质可知，BADCAE，由（1）得，又BADCAE，ADBAEC；（3）如图2，在RtADB中，BD4，点B、D、E在同一条直线上，BEBD+DE4+，如图3，BEBDDE4，综上所述，将ADE绕顶点A旋转到点B、D、E在同一条直线上时，线段BE的长为4+ 或4【点睛】考查的是相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质，勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键32（1）P（2，0）或（2，0）；（2）P（4+2，0）或（42，0）；（3）点P的坐标为（8+4，0）或（84，0）或（8，0）或（3，0）【解析】【

60、分析】（1）根据坐标轴上点的特点求出A，B坐标，进而求出OA，OB，最后用相似三角形得出比例式建立方程即可得出结论；（2）先求出点C坐标，点P坐标，利用三角形的面积公式建立方程求解即可得出结论；（3）先求出AB280，AP2（n+8）2，BP2n2+16，利用等腰三角形分三种情况建立方程求解即可得出结论【详解】解：（1）一次函数yx+4，令x0，y4，B（0，4），OB4，令y0，0 x+4，x8，A（8，0），OA8，BPOABO，,OP2，n2，P（2，0）或（2，0）；（2）直线y2x+b与直线AB：yx+4相交于C，联立解得，针对于直线PC：y2x+b，令y0，2x+b0，xb，PAC