2022年秋新教材高中数学课时跟踪检测十九直线与圆位置关系的应用新人教A版选择性必修第一册

1、PAGE 4PAGE PAGE 5课时跟踪检测（十九） 直线与圆位置关系的应用1直线 eq r(3)xy2eq r(3)0截圆x2y24得到的劣弧所对的圆心角为( )A30B45C60 D90解析：选C因为圆心到直线的距离为deq f(2r(3),2)eq r(3)，圆的半径为2，所以劣弧所对的圆心角为60.2已知点A(1, 1)和圆C：(x5)2(y7)24，一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )A6eq r(2)2 B8C4eq r(6) D10解析：选B因为点A关于x轴的对称点A(1，1)，A与圆心(5, 7)的距离为eq r(512712)10.所以所求最短路程为1028.3

2、已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最小值是( )A3eq r(2) B3eq r(2)C3eq f(r(2),2) Deq f(3r(2),2)解析：选A因为lAB：xy20，圆心(1,0)到lAB的距离deq f(|3|,r(2)eq f(3,r(2)，所以AB边上的高的最小值为eq f(3,r(2)1.所以(SABC)mineq f(1,2)2eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,r(2)1)3eq r(2).4若P(x, y)在圆(x3)2(y3)26上运动，则eq f(y,x)的最大值等于( )A32eq r(

3、2) B3eq r(2)C32eq r(2) D32eq r(2)解析：选A设eq f(y,x)k，则ykx.当直线ykx与圆相切时，k取最值所以eq f(|3k3|,r(k21)eq r(6)，解得k32eq r(2). 故eq f(y,x)的最大值为32eq r(2).5由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为()A1 B2eq r(2)Ceq r(7) D3解析：选C因为切线长的最小值是当直线yx1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线yx1的距离为deq f(|301|,r(2)2eq r(2)，圆的半径为1，所以切线长的最小值为eq r(d2r2)

4、eq r(81)eq r(7)，故选C.6如图，圆弧形拱桥的跨度AB12 m，拱高CD4 m，则拱桥的直径为_ m.解析：设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，OB2OD2BD2，即r2(r4)262，解得req f(13,2)，所以拱桥的直径为13 m.答案：137台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为_h.解析：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内，即危险区为MN，可求得|MN|20，所以时间为1 h.答案

5、：18直线l1：yxa和l2：yxb将单位圆C：x2y21分成长度相等的四段弧，则a2b2_.解析：由题意得，直线l1截圆所得的劣弧长为eq f(,2)，则圆心到直线l1的距离为eq f(r(2),2)，即eq f(|a|,r(2)eq f(r(2),2)a21，同理可得b21，则a2b22.答案：29一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽多少米？解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，2)，设圆的半径长为r，则C(0，r)，即圆的方程为x

6、2(yr)2r2.将点A的坐标代入上述方程可得r10，所以圆的方程为x2(y10)2100.当水面下降1 m后，可设A(x0，3)(x00)，代入x2(y10)2100，解得2x02eq r(51)，即当水面下降1 m后，水面宽2eq r(51) m.10.如图，直角ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值证明：以BC中点为坐标原点，以直线BC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，于是有B(m,0)，C(m,0)，P(n,0)，Q(n,0)设A(x，y)，由已知，点A在圆x2y2m2上所以|AP|2|AQ

7、|2|PQ|2(xn)2y2(xn)2y24n22x22y26n22m26n2(定值)1点P是直线2xy100上的动点，直线PA，PB分别与圆x2y24相切于A，B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于( )A24B16 C8D4解析：选C因为四边形PAOB的面积S2eq f(1,2)|PA|OA|2eq r(|OP|2|OA|2)2eq r(|OP|24)，所以|OP|最小时，四边形PAOB的面积最小，所以当直线OP垂直直线2xy100时，此时|OP|有最小值deq f(10,r(2212)2eq r(5)，所求四边形PAOB的面积的最小值为2eq r(2r(5)24)8.

8、2.多选如图所示，已知直线l为yeq f(4,3)x4，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，一个半径为eq f(3,2)的圆C，圆心C从点eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(3,2)开始以每秒eq f(1,2)个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间为( )A6 sB8 s C16 sD10 s解析：选AC当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，则圆心到直线l的距离为 eq f(|m4|,r(1blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)2)eq f(3,2)，解得meq f(3,2)或meq f(13,2)，该圆运动的时间为eq f(f(3,2)

9、blc(rc)(avs4alco1(f(3,2),f(1,2)6(s)或eq f(f(3,2)blc(rc)(avs4alco1(f(13,2),f(1,2)16(s)3在AOB中，|OB|3，|OA|4，|AB|5，点P是ABO内切圆上一点，则以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值为_，最小值为_解析：如图，建立直角坐标系，使A，B，O三点的坐标分别为A(4,0)，B(0,3)，O(0,0). 易求得ABO的内切圆半径r1，圆心(1,1)故内切圆的方程是(x1)2(y1)21.化简为x2y22x2y10，设P(x，y)，则|PA|2|PB|2|PO|2(x4)2y2x2

10、(y3)2x2y23x23y28x6y25.由可知x2y22y2x1，将其代入有|PA|2|PB|2|PO|23(2x1)8x252x22.因为x0,2，故|PA|2|PB|2|PO|2的最大值为22，最小值为18，三个圆面积之和为eq blc(rc)(avs4alco1(f(|PA|,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(|PB|,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(|PO|,2)2eq f(,4)(|PA|2|PB|2|PO|2)所以所求面积的最大值为eq f(11,2)，最小值为eq f(9,2).答案：eq f(11,2)eq f(9,2)4.已知圆E：(

11、x1)2y24，线段AB，CD都是圆E的弦，且AB与CD垂直且相交于坐标原点O，如图所示(1)设点A的横坐标为x1，用x1表示|OA|；(2)求证：|OA|OB|为定值解：(1)设A(x1，y1)，代入圆E：(x1)2y24，得yeq oal(2,1)xeq oal(2,1)2x13，所以|OA|eq r(xoal(2,1)yoal(2,1)eq r(2x13).(2)证明：设B(x2，y2)，同理可得|OB|eq r(2x23)，所以|OA|OB|eq r(4x1x26x1x29).当x1x2时，设直线AB的方程为ykx，代入圆的方程得(k21)x22x30，所以x1x2eq f(2,k21

12、)，x1x2eq f(3,k21)，代入式可得|OA|OB|3.当x1x2时，直线过原点，直线AB的方程为x0，即x1x20，代入式可得|OA|OB|3.综上所述，|OA|OB|3为定值5有一种商品，A，B两地均有出售且价格相同，某居住地的居民从两地往回运时，每千米的运费A地是B地的3倍已知A，B两地相距10 km，问这个居住地的居民应如何选择A地或B地购买此种商品最合算？(仅从运费的多少来考虑)解：以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系|AB|10，所以A(5,0)，B(5,0)，设P(x，y)是区域分界线上的任一点，连接PA，PB.设从B地运往P地每千米的运费为a，即从B地运往P地的运费为|