贝叶斯公式的几个简单应用

1、贝叶斯公式的几个简单应用第2卷第2期大学数学COLLEGE M A TH EM A月011 年 4TICSol .ol .27, Nq.2Apr.2011杨静1 ,陈冬1 ,程小红2(1.北京联合大学基础部，北京100101 ； 2 .首都师范大学初等教育学院，北京100080)摘要介绍了贝叶斯公式的一些应用实例及分析，以使在教学中能帮助学生更深入地理解该公式.关键词|贝叶斯公式;应用；案例中图分类号1 O 211文献标识码C文章编号 1672-1454(2011)02-0166-04在一般的概率统计课程的教学中，都会涉及到 贝叶斯公式.遗憾的是，多数教材对该公式的探讨都 点到为止.同时，教材

2、中所涉及到的应用又都过于单调. 据此，本文拟对由贝叶斯公式得到的结论作更深入的 探讨以及提供更多类型的应用.通过贝叶斯公式，我 们看到，某些看似合理的结论却往往蕴含着不合理.1贝叶斯公式贝叶斯公式是英国学者托马斯 贝叶斯(Thomas Bayes , 1702 -1761)最早发现的,首次发表在1763 年，当时贝叶斯已经去世，其结果没有受到应有的重 视.1774年,法国数学家拉普拉斯(P .-s . Laplace ,1749 -1827)再一次总结了这一结果.此后，人们逐渐认识到这个著名概率公式的重要性.现在，它已在疾病 诊断、安全监控、质量控制、安全部门的招募、药剂 检测等方面发挥着重要

3、的作用.贝叶斯公式若事件B ,B ,B是样本空间甲的一个划分，P(B )0 a =1 2,2，,n ),A 是任一事件且P(A)0 ，则有B( A) P(A)* =1 ,2，B =(p(AJ-),其中，P(A)可由全概公式得到即P(AX P(B )P(A B A和B，根据贝叶斯公式有(2 )i =1 本文主要应用贝叶斯公式的一种简单情形，即:P(2 )i =1 本文主要应用贝叶斯公式的一种简单情形，即:P(B A)=A)其中P(A)=P(BiB)+P(B)P(A)P(AB).(4)这里，事件B的概率通常是根据以往的数据分析得 到的，叫作先验概率,而P(B A)是在获得新的信息后 对先验概率作出

4、重新的认识，称为后验概率 1.后验 概率体现了已有信息带来的知识更新,经常用来分析 事件发生的原因.1收稿日期2008-05-26基金项目“十一五”国家课题“我国高校应用型人才培养模式研究”数学类子课题项目便IB070335 -A 2-15-C) (994-2015 China Acadeniic Journal Elecironic Publishing I Iouse. AU rigilts reservcd. http:ki.ne第2期 杨静，等:贝叶斯公式的几个应用颂2贝叶斯公式的应用1 .疾病诊断liiJ=J贝叶斯公式在疾病诊断方面的应用很多，一般教材 多采用这方面的例子.在此，我们

5、引入两个案例.并通 过第一个案例，对最后的结果进行详尽的讨论.liiJ=J资料显示,某项艾滋病血液检测的灵敏度(即真有病的人检查为阳性)为95 %,而对没有得病的人这种 检测的准确率(即没有病的人检查为阴性)为99 %.美国是一个艾滋病比较流行的国家，估计大约有千分之 一的人患有这种病.为了能有效地控制、减缓艾滋病的传播，几年前有人建议对申请新婚登记的新婚夫妇进 行这种血液检查.该计划提出后，征询专家意见,遭到专家的强烈反对，计划没有被通过.现在我们用贝叶斯公式分析专家为何反对通过这项 计划.设A =检查为阳性,B =个人患有艾滋病.根据 文中叙述可知，P(B)=0 .001,P(A | B)

6、=0 .95 , P(B )=1 -0 .001=0 .999 , P(A | B )=1 -0 .99 =0 .01.由(4)得P(A)=0 .001 x0 .95 +0 .999 x0 .01 =0 .01094.根据公式(3)，得到P(B A)=0 .001 x0 .95司7087丁I0.01094也就是说，被检测患有艾滋病而此人确实患有该病的 概率大约为0 .087 .这个结果使人难以接受，好像与实际不符.从资料显示来看，这种检测的精确性似乎 很高.因此，一般人可能猜测，如果一个人检测为阳 性，他患有艾滋病的可能性很大，估计应在90 %左liiJ右，然而计算结果却仅为8 .7%.如果通

7、过这项计划, 势必给申请登记的新婚夫妇带来不必要的恐慌.因为 约有91 .3%的人并没有患艾滋病.为什么会出现与直 觉如此相悖的结果呢？这是因为人们忽略了一些基 础信息，就是患有艾滋病的概率很低,仅为千分之一.因 此,在检测出呈阳性的人中大部分是没有患艾滋病的 具体的说,若从该地随机抽取1000个居民,则根据 经验概率的含义，这1000个居民中大约有1人患 有艾滋病,999人未换艾滋病.检查后，大约有1 x0 .95 +999 M0 .01 =10 .94个人检查为阳性,而在 这个群体中真正患有艾滋病却仅有1人.因此有必 要进行进一步的检测.liiJ但是，我们也应该注意到，这项检测还是为我们提

8、供了一些新的信息.计算结果表明，一个检测结果呈 阳性的人患有艾滋病的概率从最初的0 .001增加到了 0 .087，这是原来患有艾滋病概率的87倍.进一步的计算，我们得到一个检查呈阴性而患有艾 滋病的概率为P(B | A)=P(tt)P(AB)=01001 x0.05 0 .00006 .0 .98906liiJ因此，通过这项检测，检查呈阴性的人大可放宽心， 他患有艾滋病的概率已从千分之一降低到十万分之 六.liiJ我们再举一个心理学研究中常被引用的例子 渗加 常规检查的40岁妇女患乳腺癌的概率是1 %.如果 一个妇女有乳腺癌,则她有80 %的概率将接受早期 胸部肿瘤X射线检查.如果一个妇女没

9、有患乳腺癌, 也有9 .6%的概率将接受早期胸部肿瘤X射线检查.ii在这一年龄群的常规检查中某妇女接受了早期胸部肿 瘤X射线检查，问她实际患乳腺癌的概率是多少？ 2 心理学家关心的是，一个不懂贝叶斯原理的人对上 述问题进行直觉推理时的情形是什么样的，并将他们 的判断结果与贝叶斯公式计算的结果作比较来研究 推理过程的规律.结果，95 %的内科医生的判断介于 70 %-80 %，远远偏离正确答案.设B =患有乳腺 癌, A =早期胸部肿瘤X射线检查.由资料知iiP(B)=0 .01 , P(B )=0 .99 , P(A B)=0 .8 , P(A B )=0 .096 .由上面公式(4),有P(

10、A)=P(B)P(A B)+P(B )P(A B )=0 .01 x0 .8+0 .99 x0 .096 =0 .10304 .利用上面公式(3)，有015 Chiiici AcBdimii: Journal ElectronjcP(B A)=0 .01 X0 .8 =0 .0776. .10304 a 015 Chiiici AcBdimii: Journal Electronjc168大学数学第168大学数学第27卷由此可知，在这一年龄群的常规检查中某妇女接受了 早期胸部肿瘤X射线检查，她实际患乳腺癌的概率 是 0 .0776 .2 .说谎了吗 ?测谎仪是用来检测一个人是否说谎的仪器，经常

11、用 于征兵、安全部门的筛查、侦破、诉讼等领域.定义 事件T =“检测为一个人在说谎”，L =一个人真正在 说谎”.根据经验,P(T L)=0 .88 , P(T L ) =0.86 . 看起来，测谎仪比较精确.I I假设在一次试验中,检测出被测对象在说谎.按照上 面所给资料，也许很多人都认为这个人说谎的概率会 很高，也许在0 .87左右.然而，在安全部门的招募 筛查中，大多数人都是诚实的,假设P(L) =0 .01 ,根 据公式(4),有P(T)=P(L)P(T L)+P(L )P(T L ) =0 .01 x0 .88 +0 .99 x0 .14 =0 .1474.应用公式(3)，有T)X0

12、 .88 0 .0 6 .P(L) |L) T)X0 .88 0 .0 6 .0 .1474从计算结果来看,94 %的检测都是错误的.如果测 谎试验导致被检测者逮捕或被指控，后果该有多么严 重!这也显示了在一般人群中使用这种筛查的危险 性.如果检验用在嫌疑犯身上，危险性将大大降低.一 般嫌疑犯说谎的概率都很高，假设P(L)=0 .5 ,这时 我们得到P(L T)=0 .86，这个概率还是可以接受的.3 .诉讼 .1981年3月30日，一个大学退学学生欣克利(Jo hn Hinckley Jr.)企图对里根总统行刺.他打伤了里根、 里根的新闻秘书以及两个保安.在1982年宣判他时, 欣克利的辩护

13、律师以精神病为理由作为其无罪的辩 护 3.作证的医师告诉法院当给被诊断为精神分裂症 的人以CA T扫描时，扫描显示30 %的案例为脑萎 缩，而给正常人以CA T扫描时，只有2 %的扫描 显示脑萎缩.欣克利的辩护律师试图拿欣克利的CA T扫描结果为证据，争辩说因为欣克利的扫描显示了 脑萎缩,他极有可能患有精神病，从而应免受到法院 的起诉.让我们尝试用贝叶斯方法对欣克利是否患有精神 病作出判断.一般地,在美国精神分裂症的发病率大 约为1 .5%.设A =CAT扫描显示脑萎缩;B =做扫描的人患 有精神病.根据上文的叙述可知,P(B)=0 .015 ,P(A B)=0 .3 ,P(B )=1-0 .

14、015 =0 .985 ,P(A B )=0 .02 .I由上面公式(4)，得P(A)=0 .015 x0 .3 +0 .985 x0 .02 =0 .0242,再由公式(3)，有P(B A)=0 .015 理.3 =硝86.I0.0242这意味着即使欣克利的扫描显示了脑萎缩，他也只有 18 .6%的可能患有精神病，因此CA T扫描无法作 为其无罪的证据.4 .企业资质评判.I三W在市场经济条件下,一些大的建筑工程都实行招投 标制.在发包过程中，对参加招标的施工企业的资质 (含施工质量信誉等)进行调查和评定是非常重要 的.设B =被调查的施工企业资质不好, A =被调 查的施工企业资质评定为不

15、好.由过去的资料知P(A B)=0 .97, P(A B )=0 .95 .现已知,在被调查的施工企业 当中有6 %确实资质不好，我们来看一下评定为资质 不好的施工企业确实资质不好的概率I三W由上面公式(4)，有P(A)=P(B)P(A B)+P(B )P(A B )=0 .06 x0 .97 +0 .94 x0 .05 =0 .E 994-2luntc-ademid oumd Elecirinh： u lish ng Diise. I r ghts reserved.trp：/7ww.E 994-2杨静，等:贝叶斯公式的几个应用1690.06 x0.97 P(B iA)=利用上面公式0.06

16、 x0.97 P(B iA)=071055.由此可知,被评为资质不好的施工企业中，真正不好 的约占55 %，也就是说，误评的可能性相当大.所以 不能对评为不好的企业轻易下不发包的结论.为了使 发包工作公正合理地进行，一般应从其他方面对这些 企业进行深入了解，再作决定.3总 结在教学中应提醒学生以下两个方面.第一、必须注 意事件的基础概率,即事件的先验概率.基础概率小 的事件，即使某种条件概率，如P(A B )较高，其出现 i的概率仍然是较小的.如现实生活中中奖的机会就是 小概率事件.第二、应该对信息的外部表征作理性的分 析，不应被一些表面特征所迷惑，如条件概率的高低 并不决定某一事件出现概率的

17、高低.参考文献余家林.概率论及试验统计M.北京:高等教育出版社，2001, 22 .K ahneman D , et al Judg eme nt unde r uncertainty :H euristics and biases M .Cambridg e :Cambridg e Univ ersityP ress,1982 :249.3陈伟.欣克利行刺案与美苏冷战结束J.书屋，2005(10):65 -72.Some Applications of Bayesian FormulaY ANG J ing1, CHE N Dong 1, CHENG X iao-hong2(1 .De partment o f Basic Subjects, Beijing Unio n U niv erstiy , Beijing 100101 , China ;2.Elementary Educa tional Co lleg e, Capital