2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版第三章导数及其应用教案

1、 导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.了解利用导数定义，求基本初等函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(axb)的导数1导数的概念(1)如果当x0时，平均变化率 eq f(y,x)无限趋近于一个确定的值，即 eq f(y,x)有极根，则称yf(x)在xx0处可导，并把这个确定的值叫做yf(x)在xx0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f(x0)或y eq blc|(avs4alco1(xx0)，即f(x0)

2、eq o(lim,sdo6(x0) eq f(y,x) eq o(lim,sdo6(x0) eq f(f（x0 x）f（x0）,x).(2)当xx0时，f(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，yf(x)就是x的函数，我们称它为yf(x)的导函数(简称导数)，记为f(x)(或y)，即f(x)y eq o(lim,sdo6(x0) eq f(f（xx）f（x）,x).提醒：f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，且(f(x0)0.2导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，相应的切线

3、方程为yf(x0)f(x0)(xx0)提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q，0)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0，且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0，且a1)f(x) eq f(1,x ln a)f(x)ln xf(x) eq f(1,x)4导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g

4、(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3) eq blcrc(avs4alco1(f(f（x）,g（x）) eq f(f（x）g（x）f（x）g（x）,g（x）2)(g(x)0)；(4)cf(x)cf(x)5复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)与ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)(2)复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积常用结论函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时

5、变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡” 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)，再求f(x0).()(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(4)函数f(x)sin (x)的导数是f(x)cos x()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1某跳水运动员离开跳板后， 他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)104.9t28t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为()A9.1

6、米/秒B6.75米/秒C3.1米/秒 D2.75米/秒Ch(t)9.8t8，h(0.5)9.80.583.1.2已知函数f(x)的图象如图，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(2)f(3)f(2)C0f(3)f(3)f(2)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)C由导数的几何意义知，0f(3)f(3)f(2)f(2)，故选C.3若yln (2x5)，则y_ eq f(2,2x5)令v2x5，则y eq f(v,v) eq f(2,2x5).4函数f(x)ex eq f(1,x)在x1处的切线方程为_y(e1)x2f(x

7、)ex eq f(1,x2)，f(1)e1，又f(1)e1，切点为(1，e1)，切线斜率kf(1)e1，即切线方程为y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x2. 考点一导数的运算1设f(x)是函数f(x) eq f(cos x,ex)x的导函数，则f(0)的值为_0f(x) eq f(（sin x）excos xex,（ex）2)1 eq f(sin xcos x,ex)1，f(0)110.2若函数f(x)eaxln (x1)，f(0)4，则a_3f(x)aeax eq f(1,x1)，f(0)a14，a3.3已知函数f(x)的导函数为f(x)，f(x)2x23xf(1)，则f(1)_1f(

8、x)2x23xf(1)，f(x)4x3f(1)，将x1代入，得f(1)43f(1)，得f(1)1.f(x)2x23x，f(1)1.4求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)yln x eq f(1,x)；(3)yx sin eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2)cos eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2)；(4)f(x) eq r(2x1).解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2x sin xx2cos x.(2)y eq blc(rc)(avs4alco1(ln xf(1,x)(ln x) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1

9、,x) eq f(1,x) eq f(1,x2).(3)yx sin eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2)cos eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2) eq f(1,2)x sin (4x) eq f(1,2)x sin 4x，y eq f(1,2)sin 4x eq f(1,2)x4cos 4x eq f(1,2)sin 4x2x cos 4x.(4)f(x) eq f(1,2r(2x1)(2x1) eq f(1,r(2x1) eq f(r(2x1),2x1).导数的运算方法(1)乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导或利用导数的运算法则求解(乘积形

10、式).(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3)指数或对数形式：先化为和或差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 考点二导数的几何意义导数与函数图象典例11已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()ABCDB由yf(x)的图象是先上升后下降可知，函数yf(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.求切线方程典例12(1)(2021全国甲卷)曲线y eq f(2x1,x2)在点(1，3)处的切线方程为_真题衍生若直

11、线x2yc0是函数f(x)的图象的一条切线，则函数f(x)不可能是()Af(x)exBf(x)x4Cf(x)sin x Df(x) eq f(1,x)D直线x2yc0的斜率为k eq f(1,2).由f(x)ex的导数为f(x)ex，而ex eq f(1,2)，解得xln 2，故A不满足题意；由f(x)x4的导数为f(x)4x3，而4x3 eq f(1,2)，解得x eq f(1,2)，故B不满足题意；由f(x)sin x的导数为f(x)cos x，而cos x eq f(1,2)有解，故C不满足题意；由f(x) eq f(1,x)的导数为f(x) eq f(1,x2)，即所有切线的斜率均小于

12、0，故D满足题意故选D.(2)已知函数f(x)x ln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_(1)y5x2(2)xy10(1)y eq blc(rc)(avs4alco1(f(2x1,x2) eq f(2（x2）（2x1）,（x2）2) eq f(5,（x2）2)，所以y|x1 eq f(5,（12）2)5，所以切线方程为y35(x1)，即y5x2.(2)点(0，1)不在曲线f(x)x ln x上，设切点为(x0，y0).又f(x)1ln x，直线l的方程为y1(1ln x0)x.由 eq blc(avs4alco1(y0 x0ln x0，,y01（1ln

13、x0）x0，)解得 eq blc(avs4alco1(x01，,y00.)直线l的方程为yx1，即xy10.求参数的值(范围)典例13若曲线f(x)x ln x2m上点P处的切线方程为xy0.(1)求实数m的值；(2)若过点Q(1，t)存在两条直线与曲线yf(x)相切，求实数t的取值范围解(1)设点P坐标为(n，n).f(x)x ln x2m的导数为f(x)1ln x，点P(n，n)处的切线斜率为1ln n1，可得n1，即切点为(1，1)，则12m，解得m eq f(1,2).(2)f(x)x ln x1.设切点为(u，v)，则切线的斜率为f(u)1ln u，即有切线的方程为yu ln u1(

14、1ln u)(xu).代入点Q(1，t)，即有tu ln u1(1ln u)(1u).即为t2ln uu在(0，)上有两实数解，记g(u)ln uu，导数为g(u) eq f(1,u)1.当u1时，g(u)单调递减，当0u1时，g(u)单调递增，可得当u1时，取得最大值g(1)1，即有t21，解得t0.又4x eq f(1,x)2 eq r(4xf(1,x)4，当且仅当x eq f(1,2)时取“”a422.实数a的取值范围是2，).(3)设l与f(x)ex的切点为(x1，ex1)，与g(x)ln x2的切点为(x2，ln x22).因为f(x)ex，g(x) eq f(1,x)，所以l：ye

15、x1xx1ex1ex1y eq f(1,x2)xln x21. eq blc(avs4alco1(ex1f(1,x2)，,（1x1）ex1ln x21，)解得 eq blc(avs4alco1(x10，,x21，)或 eq blc(avs4alco1(x11，,x2f(1,e)切线方程为yx1或yex.导数在研究函数中的应用第1课时函数的单调性考试要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).函数的单调性与导数的关系条件结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在(a，b)上单调递

16、增f(x)0f(x)在(a，b)上单调递减f(x)0f(x)在(a，b)内是常数函数提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则常用结论1在某区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件2可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(2)在(a，b)内f(x)0且f(x)0的根有

17、有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减()(3)若函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则f(x)在定义域上一定单调递增()(4)函数f(x)xsin x在R上是增函数()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1.如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下面判断正确的是()A在区间(3，1)上f(x)是增函数B在区间(1，3)上f(x)是减函数C在区间(4，5)上f(x)是增函数D在区间(3，5)上f(x)是增函数C由图象可知，当x(4，5)时，f(x)0，故f(x)在(4，5)上是增函数2函数f(x)cos xx在(0，)上的单调性是()A先增后减B先减后增C增函数 D减函数

18、D因为f(x)sin x10在(0，)上恒成立，所以f(x)在(0，)上是减函数，故选D.3函数f(x)xln x的单调递减区间为_(0，1)函数f(x)的定义域为x|x0，由f(x)1 eq f(1,x)0，得0 x1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1).4已知f(x)x3ax在1，)上是增函数，则实数a的最大值是_3f(x)3x2a0，即a3x2，又因为x1， )，所以a3，即a的最大值是3. 考点一不含参数的函数的单调性1函数f(x)x22ln x的递减区间是()A(0，1)B(1，) C(，1) D(1，1)Af(x)2x eq f(2,x) eq f(2（x1）（x1）,x)

19、(x0)，当x(0，1)时，f(x)0，f(x)为增函数故选A.2函数f(x)(x3)ex的递增区间是()A(，2) B(0，3)C(1，4) D(2，)Df(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2，故选D.3已知定义在区间(0，)上的函数f(x)x2cos x，则f(x)的单调递增区间为_ eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,6)， eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)，)f(x)12sin x，x(0，)，令f(x)0，得x eq f(,6)或x eq f(5,6)，当0 x eq f(,6)时，f(x)0，当 eq f(,6

20、)x eq f(5,6)时，f(x)0，当 eq f(5,6)x时，f(x)0，f(x)在 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,6)和 eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)，)上单调递增，在 eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(5,6)上单调递减利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f(x)的零点；第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，判断f(x)在各区间上的正负，由此得出函数yf(x)在定义域内的单调性 考点二含参数的函数的单调性 eq avs4al(典例1)已知函数f(x) eq

21、f(1,2)ax2(a1)xln x，a0，试讨论函数yf(x)的单调性解函数的定义域为(0，)，f(x)ax(a1) eq f(1,x) eq f(ax2（a1）x1,x) eq f(（ax1）（x1）,x).当0a1，x(0，1)和 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，)时，f(x)0；x eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,a)时，f(x)1时，0 eq f(1,a)0；x eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，1)时，f(x)0，函数f(x)在 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,a)和(1，)上单调递增，在 e

22、q blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，1)上单调递减综上，当0a1时，函数f(x)在 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,a)和(1，)上单调递增，在 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，1)上单调递减母题变迁若将本例中参数a的范围改为aR，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性解当a0时，讨论同例题解析；当a0时，ax10；x(1，)时，f(x)0，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减综上，当a0时，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a1时，函数f(x)在 eq blc(rc)(avs4alc

23、o1(0，f(1,a)和(1，)上单调递增，在 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，1)上单调递减对于含参数的函数的单调性，常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个：分类讨论点1：求导后，考虑f(x)0是否有实数根，从而引起分类讨论；分类讨论点2：求导后，f(x)0有实数根，但不清楚f(x)0的实数根是否落在定义域内，从而引起分类讨论；分类讨论点3：求导后，f(x)0有实数根，f(x)0的实数根也落在定义域内，但不清楚这些实数根的大小关系，从而引起分类讨论跟进训练1(2021新高考卷节选)已知函数f(x)(x1)exax2b，讨论函数f(x)的单调性解f(x)xex2ax

24、x(ex2a)，当a0时，令f(x)0 x0，且当x0时，f(x)0，f(x)单调递减；当x0时，f(x)0，f(x)单调递增；当0a eq f(1,2)时，令f(x)0 x10，x2ln 2a0，且当xln 2a时，f(x)0，f(x)单调递增，当ln 2ax0时，f(x)0，f(x)单调递减；当x0时，f(x)0，f(x)单调递增；当a eq f(1,2)时，f(x)x(ex1)0，f(x)在R上单调递增；当a eq f(1,2)时，令f(x)0 x10，x2ln 2a0，且当x0时，f(x)0，f(x)单调递增；当0 xln 2a时，f(x)0，f(x)单调递减；当xln 2a时，f(x

25、)0，f(x)单调递增 考点三根据函数的单调性求参数的值(范围) eq avs4al(典例2)若函数f(x)x3ax21在区间1，2上单调递减，求实数a的取值范围四字解题读想算思f(x)在1，2上单调递减f(x)0对x1，2恒成立函数的最值分离变量 eq blc(avs4alco1(f（1）0，,f（2）0，)数形结合解不等式f(x)0子集思想解法一(分离变量法)：f(x)3x22ax.由f(x)在1，2上单调递减知f(x)0，即3x22ax0在1，2上恒成立，即a eq f(3,2)x在1，2上恒成立故只需a eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)x) eq sdo7(max

26、)，故a3.所以a的取值范围是3，).法二(数形结合法)：f(x)3x22ax.由f(x)在1，2上单调递减知f(x)0对x1，2恒成立所以 eq blc(avs4alco1(f（1）32a0，,f（2）124a0，)解得a3.所以a的取值范围是3，).法三(集合关系法)：f(x)3x22ax.当a0时，f(x)0，故yf(x)在(，)上单调递增，与yf(x)在区间1，2上单调递减不符，舍去当a0时，由f(x)0得0 x eq f(2,3)a，即f(x)的单调递减区间为 eq blcrc(avs4alco1(0，f(2,3)a).由f(x)在1，2上单调递减得 eq f(2,3)a2，得a3.

27、综上可知，a的取值范围是3，).利用函数单调性求参数取值范围的两类热点问题的处理方法(1)函数f(x)在区间D上存在单调递增(减)区间方法一：转化为“f(x)0(0)在区间D上有解”；方法二：转化为“存在区间D的一个子区间使f(x)0(或f(x)0)成立”(2)函数f(x)在区间D上单调递增(减).方法一：转化为“f(x)0(0)在区间D上恒成立”；方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”跟进训练2(1)已知函数f(x)2cos x(msin x)3x在(，)上单调递减，则实数m的取值范围是()A1，1B eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)

28、C eq blcrc(avs4alco1(1，f(1,2) D eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)(2)已知函数f(x)x3kx在(3，1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是_(1)B(2)(0，27)(1)f(x)2sin x(msin x)2cos x(cos x)3.因为f(x)在(，)上单调递减，所以f(x)0恒成立，整理得4sin2x2m sinx50.设sin xt(1t1)，则不等式g(t)4t22mt50在区间1，1上恒成立于是有 eq blc(avs4alco1(g（1）42m50，,g（1）42m50，)即 eq blc(avs4alco

29、1(mf(1,2)，,mf(1,2)故实数m的取值范围是 eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2).故选B.(2)法一(间接法)：若f(x)x3kx在(3，1)上是单调递增函数，则f(x)3x2k0在(3，1)上恒成立，即k3x2在(3，1)上恒成立，故k0.若f(x)x3kx在(3，1)上是单调递减函数，则f(x)3x2k0在(3，1)上恒成立，即k3x2在(3，1)上恒成立，故k27.所以当函数f(x)x3kx在(3，1)上是单调函数时，实数k的取值范围是k0或k27，当函数f(x)x3kx在(3，1)上不是单调函数时，实数k的取值范围是0k0时，由f(x)3x2k

30、0，得 eq r(f(k,3)x0，得x eq r(f(k,3).在 eq blc(rc)(avs4alco1(，r(f(k,3)， eq blc(rc)(avs4alco1(r(f(k,3)，)上f(x)是增函数要满足函数f(x)x3kx在(3，1)上不是单调函数，由对称性得， eq r(f(k,3)3，所以kf(x)，则不等式ex1f(x)f(x)，F(x)0，即函数F(x)在定义域上单调递增ex1f(x)f(2x1)， eq f(f（x）,ex) eq f(f（2x1）,e2x1)，即F(x)F(2x1)，x1，不等式ex1f(x)0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A.(

31、，1)(0，1)B(1，0)(1，)C.(，1)(1，0)D(0，1)(1，)(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0时，g(x)0，从而f(x)0；当x(1，)时，g(x)0，从而f(x)0；当x(1，0)时，f(x)0f(x)g(x) 0，所以函数yf(x)g(x)在(，0)上单调递增又由题意知函数yf(x)g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(3，0)，(0，0)，(3，0).数形结合可求得不等式f(x)g(x)0(或k(或0(或0(或0(或0(或0(或0(或0)，构造函数F(x) eq f(f（x）,enx

32、).f(x)、f(x)与sin x，cos x的组合型 eq avs4al(典例7)(2021重庆模拟)若函数f(x)的导函数为f(x)，对任意x eq blc(rc)(avs4alco1(，0)，f(x)sin xf eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)B.f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6) eq r(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)C. eq r(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)D.f eq blc(rc)(avs4alco1(f(

33、5,6) eq r(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)C因为对任意x eq blc(rc)(avs4alco1(，0)，f(x)sin xf(x)cos x恒成立，即对任意x eq blc(rc)(avs4alco1(，0)，f(x)sin xf(x)cos x0恒成立，又x eq blc(rc)(avs4alco1(，0)时，sin x0，所以 eq blcrc(avs4alco1(f(f（x）,sin x) eq f(f（x）sin xf（x）cos x,sin2x)0，所以 eq f(f（x）,sinx)在 eq blc(rc)(avs4alco1(，0)上单

34、调递减，因为 eq f(5,6) eq f(f blc(rc)(avs4alco1(f(3,4),sinblc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，即 eq f(f blc(rc)(avs4alco1(f(5,6),f(1,2) eq f(f blc(rc)(avs4alco1(f(3,4),f(r(2),2)，所以 eq r(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，故选C.sin x，cos x的导函数存在一定的特殊性，其常见考查形式如下：F(x)f(x)sin x，F(x)f(x)sin xf(x)co

35、s x；F(x) eq f(f（x）,sin x)，F(x) eq f(f（x）sin xf（x）cos x,sin2x)；F(x)f(x)cosx，F(x)f(x)cos xf(x)sin x；F(x) eq f(f（x）,cos x)，F(x) eq f(f（x）cos xf（x）sin x,cos2x).跟进训练4定义在 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)上的函数f(x)，函数f(x)是它的导函数，且恒有f(x)f(x)tanx成立，则()A. eq r(3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4) eq r(2)f eq blc(rc)(avs4a

36、lco1(f(,3) Bf(1)2f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)sin 1C. eq r(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4) D eq r(3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)Df(x)f(x)tan xf(x)sin xf(x)cos x0，令F(x) eq f(f（x）,sin x)，则F(x) eq f(f（x）sin xf（x）cos x,sin2x)0，即函数F(x)在 eq blc(rc)(avs

37、4alco1(0，f(,2)上是增函数，A项，F eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)F eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，即 eq f(fblc(rc)(avs4alco1(f(,4),sin f(,4) eq f(f blc(rc)(avs4alco1(f(,3),sin f(,3)， eq r(3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4) eq r(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，故A项错误；B项，F eq blc(rc)(avs4alco1(1)F eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，即

38、 eq f(f（1）,sin 1) eq f(f blc(rc)(avs4alco1(f(,6),sin f(,6)，f(1)2f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)sin 1，故B项错误；C项，F eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)F eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，即 eq f(f blc(rc)(avs4alco1(f(,6),sin f(,6) eq f(f blc(rc)(avs4alco1(f(,4),sin f(,4)， eq r(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f eq blc(rc)(avs

39、4alco1(f(,4)，故C项错误；D项，F eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)F eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，即 eq f(fblc(rc)(avs4alco1(f(,6),sin f(,6) eq f(fblc(rc)(avs4alco1(f(,3),sin f(,3)， eq r(3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，故选D.5设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)0，当x0时，有xf(x)f(x)0恒成立，则不等式f(x)0的解集为_(，1)(1，)构造F(

40、x) eq f(f（x）,x)，则F(x) eq f(f（x）xf（x）,x2)，当x0时，xf(x)f(x)0，可以推出当x0时，F(x)0，F(x)在(，0)上单调递增f(x)为偶函数，yx为奇函数，F(x)为奇函数，F(x)在(0，)上也单调递增根据f(1)0可得F(1)0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(如图所示)，根据图象可知f(x)0的解集为(，1)(1，).6若定义在R上的函数f(x)满足f(x)2f(x)0，f(0)1，则不等式f(x)e2x的解集为_(0，)构造F(x) eq f(f（x）,e2x)，则F(x) eq f(e2xf（x）2e2xf（x）,e4x) eq

41、f(f（x）2f（x）,e2x)，函数f(x)满足f(x)2f(x)0，则F(x)0，F(x)在R上单调递增又f(0)1，则F(0)1，f(x)e2x eq f(f（x）,e2x)1F(x)F(0)，根据单调性得x0.第2课时函数的极值与最大(小)值考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值1函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0则a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的

42、极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0则b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值提醒：(1)函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f(x0)0，极值点是f(x)0的根，但f(x)0的根不都是极值点(例如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点).(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质极值点是函数在区间内部的点，不会是端点2函数的最大(小)值(1)函数f

43、(x)在区间a，b上有最值的条件：如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求yf(x)在区间a，b上的最大(小)值的步骤：求函数yf(x)在区间(a，b)上的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值常用结论1若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在a，b上一定有最值2若函数f(x)在a，b上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值3若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数

44、的极大值不一定比极小值大()(2)函数yf(x)的零点是函数yf(x)的极值点()(3)函数的极大值一定是函数的最大值()(4)函数在某区间上的极大值是唯一的()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1. f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值点的个数为()A.1B2C3D4A由题意知在x1处f(1)0，且其两侧导数符号为左负右正，f(x)在x1左减右增故选A.2函数f(x)2xx ln x的极大值是()A. eq f(1,e) B eq f(2,e) Ce De2Cf(x)2(ln x1)1ln x令f(x)0，得xe.当0 xe时，f(x)0；当xe时，f(x)0

45、.所以xe时，f(x)取到极大值，f(x)极大值f(e)e.3若函数f(x)x(xc)2在x2处有极小值，则常数c的值为()A.4 B2或6 C2 D6C函数f(x)x(xc)2的导数为f(x)3x24cxc2.由题意知，f(x)在x2处的导数值为128cc20，解得c2或6.又函数f(x)x(xc)2在x2处有极小值，故导数在x2处左侧为负，右侧为正当c2时，f(x)x(x2)2的导数在x2处左侧为负，右侧为正，即在x2处有极小值而当c6时，f(x)x(x6)2在x2处有极大值故c2.4若函数f(x) eq f(1,3)x34xm在0，3上的最大值为4，则m_4f(x)x24，x0，3，当x

46、0，2)时，f(x)0，所以f(x)在0，2)上单调递减，在(2，3上单调递增又f(0)m，f(3)3m.所以在0，3上，f(x)maxf(0)4，所以m4. 考点一利用导数求函数的极值根据函数的图象判断极值典例11(2021郑州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D由题图可知，当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0

47、；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值求已知函数的极值 eq avs4al(典例12)已知函数f(x)ln xax(aR).(1)当a eq f(1,2)时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数解(1)当a eq f(1,2)时，f(x)ln x eq f(1,2)x，定义域为(0，)，且f(x) eq f(1,x) eq f(1,2) eq f(2x,2x).令f(x)0，解得x2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x(0，2)2(2，)f(x)0f(x)单调递增ln 21单调递

48、减故f(x)在定义域上的极大值为f(2)ln 21，无极小值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，)，f(x) eq f(1,x)a eq f(1ax,x).当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，即函数f(x)在(0，)上单调递增，此时函数f(x)在定义域上无极值点；当a0，x eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,a)时，f(x)0，当x eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，)时，f(x)0时，函数f(x)有一个极大值点，且为x eq f(1,a).已知极值(点)求参数 eq avs4al(典例13)(1)已知f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0

49、，则ab_(2)(2021全国乙卷)设a0，若xa为函数f(x)a eq blc(rc)(avs4alco1(xa)2 eq blc(rc)(avs4alco1(xb)的极大值点，则()A.abC.aba2(1)11(2)D(1)f(x)3x26axb，由题意得 eq blc(avs4alco1(f（1）0，,f（1）0，)解得 eq blc(avs4alco1(a1，,b3)或 eq blc(avs4alco1(a2，,b9，)当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，f(x)在R上单调递增，f(x)无极值，所以a1，b3不符合题意，当a2，b9时，经检验满足题意ab11.(2)f

50、(x)a2(xa)(xb)(xa)2a(xa)(3xa2b)，令f(x)0，结合a0，解得xa，或x eq f(a2b,3)，由题意得f(x)在直线xa的附近时，左侧为正值，右侧为负值，当a0时，作出f(x)图象如图所示，则a eq f(a2b,3)，即0ab；当a0时，作出f(x)的大致图象如图所示，则a eq f(a2b,3)，即0ab，综上，a与ab始终异号，即a(ab)0，所以a2ab.图图与函数极值相关的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤确定函数的定义域求导数f(x).解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号(2)

51、根据函数极值情况求参数的两个要领列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证：求解后验证根的合理性跟进训练1(1)已知x2是f(x)x33ax2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为_(2)已知函数f(x)x3ax2 eq f(4,27).若f(x)在(a1，a3)上存在极大值，则a的取值范围是_(1)18(2)(9，0)(0，1)(1)函数f(x)x33ax2的导数f(x)3x23a，由题意得，f(2)0，即123a0，解得a4.f(x)x312x2，f(x)3x2123(x2)(x2)，由f(x)0，得x2或x2，即函数f(x)在(，2)和(2，)上单调递增；

52、由f(x)0，得2x2，函数f(x)在(2，2)上单调递减；故f(x)在x2处取极小值，x2处取极大值，且f(2)824218.即f(x)极大值18.(2)f(x)3x22axx(3x2a)，令f(x)0，得x10，x2 eq f(2a,3).当a0时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)无极值，不合题意当a0时，f(x)在x eq f(2a,3)处取得极小值，在x0处取得极大值，则a100，所以0a1.当a0时，f(x)在x eq f(2a,3)处取得极大值，在x0处取得极小值，则a1 eq f(2a,3)a3，又a0，所以9a0.所以a的取值范围为(9，0)(0，1). 考点二利用导数求

53、函数的最值 eq avs4al(典例2)已知函数f(x)axln x，其中a为常数(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值解(1)易知f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)xln x，f(x)1 eq f(1,x) eq f(1x,x)，令f(x)0，得x1.当0 x0；当x1时，f(x)0.f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减f(x)maxf(1)1.当a1时，函数f(x)在(0，)上的最大值为1.(2)f(x)a eq f(1,x)，x(0，e， eq f(1,x) eq blcrc)(avs4alco1(f(1,e

54、)，).若a eq f(1,e)，则f(x)0，从而f(x)在(0，e上单调递增，f(x)maxf(e)ae10，不符合题意若a0得a eq f(1,x)0，结合x(0，e，解得0 x eq f(1,a)；令f(x)0得a eq f(1,x)0，结合x(0，e，解得 eq f(1,a)xe.从而f(x)在 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,a)上单调递增，在 eq blc(rc(avs4alco1(f(1,a)，e)上单调递减，f(x)maxf eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)1ln eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a).令1ln e

55、q blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)3，得ln eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)2，即ae2.e2 eq f(1,e)，ae2为所求故实数a的值为e2.求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤跟进训练2(2021北京高考节选)若函数f(x) eq f(32x,x2a)在x1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值解因为f(x) eq f(32x,x2a)，则f(x) eq f(2blc(rc)(avs4alco1(x2a)2xblc(rc)(avs4alco1(32x),blc(rc)(avs4alco1(x2a)2) eq f(2blc

56、(rc)(avs4alco1(x23xa),blc(rc)(avs4alco1(x2a)2)，由题意可得f(1) eq f(2blc(rc)(avs4alco1(4a),blc(rc)(avs4alco1(a1)2)0，解得a4，故f(x) eq f(32x,x24)，f(x) eq f(2blc(rc)(avs4alco1(x1)blc(rc)(avs4alco1(x4),blc(rc)(avs4alco1(x24)2)，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下：x(，1)1(1，4)4(4，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数f(x)的单调递增区间为(，

57、1)、(4，)，单调递减区间为(1，4).极大值为f(1)1，极小值为f(4) eq f(1,4).当x0；当x eq f(3,2)时，f(x)0.所以，f(x)maxf(1)1，f(x)minf(4) eq f(1,4). 考点三导数在解决实际问题中的应用 eq avs4al(典例3)(2020江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示，谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO为铅垂线(O在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO的距离a(米)之间满足关系式h1 eq f(1,40)a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)

58、与F到OO的距离b(米)之间满足关系式h2 eq f(1,800)b36b.已知点B到OO的距离为40米(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价 eq f(3,2)k(万元)(k0)，问OE为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？解(1)如图，设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足由条件知，当OB40时，BB1 eq f(1,800)403640160，则AA1160.由 eq f(1,40)OA2160，得OA80.所以ABO

59、AOB8040120(米).(2)以O为原点，OO为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).设F(x，y2)，x(0，40)，则y2 eq f(1,800)x36x，EF160y2160 eq f(1,800)x36x.因为CE80，所以OC80 x.设D(x80，y1)，则y1 eq f(1,40)(80 x)2，所以CD160y1160 eq f(1,40)(80 x)2 eq f(1,40)x24x.记桥墩CD和EF的总造价为f(x)，则f(x)k eq blc(rc)(avs4alco1(160f(1,800)x36x) eq f(3,2)k eq blc(rc)(avs4alco1

60、(f(1,40)x24x)k eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,800)x3f(3,80)x2160)(0 x40).f(x)k eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,800)x2f(3,40)x) eq f(3k,800)x(x20)，令f(x)0，得x20.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下：x(0，20)20(20，40)f(x)0f(x)单调递减极小值单调递增所以当x20时，f(x)取得最小值答：(1)桥AB的长度为120米；(2)当OE为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低利用导数解决实际问题的四个步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际