八年级数学上册小专题八用分类讨论求解等腰三角形多解问题(新版)新人教版【含答案】

1、 用分类讨论求解等腰三角形多解问题(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)类型1对对顶角和底角的分类讨论方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论.在分类时要注意：三角形的内角和等于180；等腰三角形中至少有两个角相等1等腰三角形是有一个角为52，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？12如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数类型2对腰长和底长的分类讨论方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”，哪条边是“底”时,往往

2、要进行分类讨论.判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边.针对训练若一个等腰三角形的三边长均满足(x2)(x4)=0,求此等腰三角形的周长.若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长.类型3对锐角、直角和钝角三角形的分类讨论方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角和钝角三角形不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高在顶角的顶点上；钝角三角形腰上的高在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论针对训练已知ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与

3、AC所在的直线相交成50的角，求底角的度数.6一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？7.AC为等腰ABD的腰BD上的高，且ZCAB=60求这个三角形各内角的度数.参考答案1.若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(18052)三2=64。，故一腰上的高与底边的夹角为26:若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38.故所求的一腰上的高与底边的夹角为26或38.2.设ZA,ZB,ZC是该等腰三角形的三个内角，且ZA=jzB.设ZA=x，则ZB=2x若ZB是顶角，则ZA,ZC是底角，于是有ZC=ZA=x.VZA+ZB+ZC=180，Ax+2x+x=180.解

4、得x=45，故ZA=ZC=45,ZB=90.若ZB是底角，因为ZAZB，所以ZA是顶角，ZC=ZB=2x.VZA+ZB+ZC=180，A2x+2x+x=180.解得x=36，故ZA=36，ZB=ZC=72.综上所述，等腰三角形的各内角为45、45、90或36、72、72.3据题意，得x=2、x=4都满足(x2)(x4)=0.从而可知等腰三角形的三边长有四种可能情况：2、2、4或2、4、4或2、2、2或4、4、4.其中，根据三角形的三边关系知，以2、2、4为边不能构成三角形，而其他三种情况均符合条件.因此，所求等腰三角形的周长为6或10或12.4如图，由于条件中中线分周长的两部分，并没有指明哪一

5、部分是9cm、哪一部分是12cm，因此，应有两种情形：若设这个等腰三角形的腰长为xcm，底边长为ycm形：若设这个等腰三角形的腰长为xcm，底边长为ycm，于是根据题意，得x+*x=9,gx+y=12.x+x=12,2或1丄x+y=9.x=6,解得cy=9.5.由题意可判断该三角形不，5.由题意可判断该三角形不即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm.y=5.可能是直角三角形、可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：如图1,垂直平分线DE与腰AC相交,且ZAED=50。，则ZA=40，所以ZB=ZC=70；如图2,当AB的垂直平分线DE与腰AC的反向延长线相

6、交,且ZAED=50。，则ZEAD=40,ZBAC=140,所以两底角ZB=ZC=20.综上可知，等腰三角形的底角为70或20.DADAABBCB图4图DADAABBCB图4图3设ZA为顶角，贝ZABC、ZACB为底角.(1)若ZA为锐角，如图1,作BD丄AC于点D,根据题意有BD=|aB,ZBDA=90,ZA=30,ZABC=ZACB=75；(2)若ZA为直角，根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”，这种情况无解；(3)若ZA为钝角，有三种情况:如图2,作AD丄BC于点D,根据题意有：AD=|AB,ZADB=90,AZABC=ZACB=30；如图3,作BD丄CA的延长线于点D,根据题意有：BD=2bc,ZADB=90,AZABC=ZACB=30；如图4,作BD丄CA的延长线于点D,根据题意有：BD=2ab,ZADB=90,AZBAD=30,ZABC=ZACB=15综上所述，等腰三角形底角的度数是75、30。或15.7如图1,高AC在厶ABD的内部，因为ZCAB=60,ZACB=90，所以ZB=30.因为BA=BD，所以ZBAD=ZD=75；如图2,高AC在厶ABD的外部，因为ZCAB=60,ZACB=90。，所以ZABC