向量的数量积 教案-高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

1、 6/6向量的数量积【教学目标】【核心素养】1理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（难点）2体会平面向量的数量积与向量投影的关系。（重点）3掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题。（重点）1通过向量的夹角、向量数量积概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养。2通过向量数量积的应用，培养学生的数学运算核心素养。【教学过程】一、问题导入我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功。如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F| N，小车在水平面上位移s的大小为|s|m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为，那么这个力所做的功为W=|F|s|co

2、s 。（1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？（2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由。二、新知探究1与向量数量积有关的概念【例1】（1）以下四种说法中正确的是_。（填序号）如果ab0，则a0或b0；如果向量a与b满足ab0，则a与b所成的角为钝角；ABC中，如果eq o(AB,sup8()eq o(BC,sup8()0，那么ABC为直角三角形；如果向量a与b是两个单位向量，则a2b2（2）已知|a|3，|b|5，且ab12，则a在b方向上的投影的数量为_，b在a方向上的投影的数量为_。（3）已知等腰ABC的

3、底边BC长为4，则eq o(BA,sup8()eq o(BC,sup8()_。思路探究：根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答。（1）；（2）eq f(12,5)；4；（3）8；（1）由数量积的定义知ab|a|b|cos （为向量a，b的夹角）。若ab0，则90或a0或b0，故错；若ab0，则为钝角或180，故错；由eq o(AB,sup8()eq o(BC,sup8()0知B90，故ABC为直角三角形，故正确；由a2|a|21，b2|b|21，故正确。（2）设a与b的夹角为，则有ab|a|b|cos 12，所以向量a在向量b方向上的投影的数量为|a|cos eq f(ab,|b|)e

4、q f(12,5)eq f(12,5)；向量b在向量a方向上的投影的数量为|b|cos eq f(ab,|a|)eq f(12,3)4（3）如图，过点A作ADBC，垂足为D因为ABAC，所以BDeq f(1,2)BC2，于是|eq o(BA,sup8()|cos ABC|eq o(BD,sup8()|eq f(1,2)|eq o(BC,sup8()|eq f(1,2)42，所以eq o(BA,sup8()eq o(BC,sup8()|eq o(BA,sup8()|eq o(BC,sup8()|cos ABC428教师小结（一）在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，更不

5、能省略不写。（二）求平面向量数量积的方法：（1）若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos 。（2）若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求ab。2数量积的基本运算【例2】已知|a|4，|b|5，当（1）a b；（2）a b；（3）a与b的夹角为135时，分别求a与b的数量积。思路探究：（1）当a b时，a与b夹角可能为0或180。（2）当a b时，a与b夹角为90。（3）若a与b夹角及模已知时可利用ab|a|b|cos （为a，b夹角）求值。解：设向量a与b的夹角为，（1）a b时，有两种情况：若a和b同向，则0，ab|a|b|，cos 020；若

6、a与b反向，则180，ab|a|b|cos 18020.（2）当a b时，90，ab0。（3）当a与b夹角为135时，ab|a|b|cos 13510eq r(2)。教师小结（1）求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角，0，；分别求|a|和|b|；求数量积，即ab|a|b|cos 。（2）非零向量a与b共线的条件是ab|a|b|。3与向量模有关的问题【例3】已知x1是方程x2|a|xab0的根，且a24，a与b的夹角为120。求向量b的模。解：因为a24，所以|a|24，即|a|2，将x1代入原方程可得121ab0，所以ab3，所以ab|a|b|cosa，b2|b|cos 1203，所以|b

7、|3。1（变结论）本例题设条件不变，求b在a方向上的投影的数量。解：由例题解析可知|b|3因为|b|cosa，b3cos120eq f(3,2)。所以b在a方向上的投影的数量为eq f(3,2)。2（变条件）将本例中“a与b的夹角为120”改为“|ab|3”。如何求a与b的夹角？解：易求|a|2，|b|3。因为ab|a|b|cos ，所以|ab|a|b|cos |3，所以|cos |eq f(1,2)，故cos eq f(1,2)。又因为0，所以eq f(,3)或eq f(2,3)。教师小结（1）此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系。（2）利用aaa2|a|2或|a|eq r(a2)，

8、可以实现实数运算与向量运算的相互转化。4平面向量数量积的性质探究问题（1）设a与b都是非零向量，若a b，则ab等于多少？反之成立吗？提示：a bab0.（2）当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？提示：当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；aaa2|a|2或|a|eq r(aa)。（3）|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角？提示：|ab|a|b|，设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos 。两边取绝对值得：|ab|a|b|cos |a|b|。当且仅当|cos |1，即cos 1，0或

9、时，取“”，所以|ab|a|b|，cos eq f(ab,|a|b|)。【例4】 已知|a|3，|b|2，向量a，b的夹角为60，c3a5b，dma3b，求当m为何值时，c与d垂直？思路探究：由条件计算ab，当c d时，cd0列方程求解m。解：由已知得ab32cos 603由c d，知cd0，即cd（3a5b）（ma3b）3ma2（5m9）ab15b227m3（5m9）6042m870，meq f(29,14)，即meq f(29,14)时，c与d垂直。教师小结（1）已知非零向量a，b，若a b，则ab0，反之也成立。（2）设a与b夹角为，利用公式cos eq f(ab,|a|b|)可求夹角，

10、求解时注意向量夹角的取值范围0，。三、课堂总结1对投影的三点诠释（1）ab等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的投影的乘积。其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的。（2）b在a方向上的投影为|b|cos （是a与b的夹角），也可以写成eq f(ab,|a|)。（3）投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零。2向量的数量积与实数乘积运算性质的比较实数a，b，c向量a，b，ca0，ab0b0a0，ab0/ b0abbc（b0）acabbc（b0）/ ac|ab|a|b|ab|a|b|满足乘法结合律不满足乘法结合律四、课堂检测1已知点A，B，C满

11、足|eq o(AB,sup8()|3，|eq o(BC,sup8()|4，|eq o(CA,sup8()|5，则eq o(AB,sup8()eq o(BC,sup8()eq o(BC,sup8()eq o(CA,sup8()eq o(CA,sup8()eq o(AB,sup8()的值是（ ）。A25B25C24D24【答案】A【解析】因为|eq o(AB,sup8()|2|eq o(BC,sup8()|291625|eq o(CA,sup8()|2，所以ABC90，所以原式eq o(AB,sup8()eq o(BC,sup8()eq o(CA,sup8()（eq o(BC,sup8()eq o(AB,sup8()）0eq o(CA,sup8()eq o(AC,sup8()eq o(AC,sup8()2252（2019全国卷）已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且（ab）b，则a与b的夹角为（ ）Aeq f(,6)Beq f(,3)Ceq f(2,3)Deq f(5,6)【答案】B【解析】设a与b的夹角为，（ab）b，（ab）b0，abb2，|a|b|cos |b|2，又|a|2|b|，cos eq f(1,2)，0，eq f(,3)，故选B。3已知|a|4，e为单位向量，a在e方向上的投影的数量为2，则a与e的夹角为_。【答案】120【解析】因为a在e方向上的投