考研积分上限的函数(变上限积分变限积分)知识点全面总结

1、学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载考研积分上限的函数（变上限积分）知识点Fxa形如上式的积分，叫做变限积分。注意点：1、在求导时，是关于 x 求导，用课本上的求导公式直接计算。2、在求积分时，则把 x 看作常数，积分变量t在积分区间a,x上变动。（即在积分内的 x 作为常数，可以提到积分之外。）关于积分上限函数的理论1F在a,b上连续。xa2上可积。定 理 3 FxaF d dx a=（）从以上定理可看出对f)作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一f（）定理3）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆

2、运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。重要推论及计算公式：d dx xd dx d(x) f(t)dt f (x) (x) (x) f(t)dt f (x) (x) f (x) (x) 题型中常见积分限函数的变形和复合情况：比如 Fx (x t)f(t)dt0(被积函数中含 x ,但 x 可提到积分号外面来.)在求F (x)时，先将右端化为xxx求0000分离后左边的部分要按照(uv=uv+uv（重点）比如 F 0(f 的自变量中含 x, 可通过变量代换将 x 置换到 f 的外面来)在求F做变量代换u

3、 t x看作常数du0时，ux；t x时，u 0，这样，F就化成了以u作为积分变量的积分下限函数：F0 x0 xxxx( 3F10(这是含参数 x 的定积分, 可通过变量代换将 x 变换到积分限的位置上去)在求F先对右端的定积分做变量代换u x看作常数dt du 0 xu 0t 1u xF)就化成了以u作为积分变量的积分上限函数：F1 x xx 0有积分限函数参与的题型举例极限问题：3x23例 10tdt（提示：0/0型，用洛必达法则，答：12）x 0 x 0 x例 2 lim 0（2答 ： ）xx例3 已知极限lim1xdt 1，试确定其中的非零常数x 0exbx a0t c（答：at c求

4、导问题x dysin t例 4已知0求.参数方程，你懂的！答:)y0dx2 5yetdtxycostdt 00dydx )eyxdx例6求sinx 2dt答:x2 dx0例7设在( , )内连续且 求证 0在(0, )内单调增加.（7）x0最大最小值问题例 8 在区间1,e上求一点 , 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小.yyy =1exO1Axe A1xe再求出其驻点.答:.)ex1x例9设x 0n为正整数.证明 f)t 2si2ntdt的最大值不超过.0 (提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上界.)积分问题101x2sintdt.01t(提示: 当定积分的被积函数中含有积

5、分上限函数的因子时, 总是用分部积分法求解, 且取1 (cos1 1).)2例 11 设 f(x)在( , )内连续, 证明x xf(t)dtdu.000(提示: 对右端的积分施行分部积分法.)0 x 0 ,x x在( , )内的表达式.x0 x0 x1,12 设 2x 1x2,求(x)一取定的xt在答 : (x)01x22 1 1 21x 0,0 x 1,.)1 x 2,x 2含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）13 设函数 (x) exxt x 求 (答: (x)001 (cosx sinx ex ) 2（) cosx ）14)为正值连续函数, ) , 且对任一x 0y 在区间

6、答: f(x)exe x 2利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等.例 15 设 f(x),g(x)均在a,b上连续, 证明以下的 Cauchy-Swartz 不等式:(bbf2bg2aaabf(x) 0t的二次函数非负的a判别条件即可证得结论. 但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调性来证明. 提示如下:令F) xfgxf2 xg2 则F) 0.aaa求出FF) 0FFF) 0.由此可得结论. 这种证法有一定的通用性. 例如下例.例16 设在连续且单调减.证明:对任一0有f(x)dx010(提示: 即证 001Fx0 x, 只需证F可得结论.)例17设在上连续.求证:存在使f( )g( ) .aFxbF定理即可证得结论)ax关于积分限函数的奇偶性与周期性定理 4 设 f x 连续， xxftf x 是奇（偶）函数，则 x 是偶（奇）函数；0fx是周期为T 证 设 fxT f xdx 0 x 是相同周期的周期函数.0 xxft 0 x f u d 0 x f u du奇x fudux,00即 x 为偶函数.设 f x 偶, 则xxft ux f u d 00 x fu du 偶