第17讲 反比例函数的图象与性质

1、第17讲 反比例函数的图象与性质考点方法破译1反比例函数的定义：形如（或，k0）,y叫做x的反比例函数.2反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，关于yx或yx轴对称，关于原点O成中心对称，当k0时，图象的两支分别在第一、三象限，当k0时，图象的两支分别在第二、四象限，3反比例函数的性质：当k0时，在每个象限内，y随x增大而减小；当k0时，在每个象限内，y随x增大而增大.经典考题赏析【例】（西宁）已知函数中，x0时，y随x增大而增大，则ykxk的大致图象为（ ）xxyOxyOxyOxyOABCD【解法指导】因为中，x0时y随x增大而增大，则k0，k0，而一次函数ykxk中，k0，k0，

2、因而直线向右上方倾斜,与y轴交点在负半轴上，所以选A【变式题组】01已知反比例函数（a0）的图象，在每一象限内，y的值随着x值增大而减小，则一次函数yaxa的图象不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 02（龙岩）函数yxm与（m0）在同一象限内的图象可以是（ xxyOxyOxyOxyOABCD03（凉山州）若ab0,则正比例函数yax与反比例函数在同一坐标第中的大致图象可能是（ ）xyxyOBy1xACx1xyOxyOxyOxyOABCD04函数y1x(x0),(x0)的图象如图所示，则结论：两函数图象的交点为（2，2）；当x1时，BC3；当0 x2时，y2y1;当x逐渐

3、增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小.其中正确结论的序号是 .【例2】如图，A、B分别是反比例函数，图象上的点，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OB、OA，OA交BD于E点，BOE的面积为S1，四边形ACDE的面积为S2，则S2S1 .【解法指导】在反比例函数中，k的几何意义为：OxAOxADCBEyOxyxyOABCBA，或.题中【变式题组】01（宁波）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数过点A，则k的值是（ ）A2 B2 C4 D4 02（兰州）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线（x0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大

4、时，OAB的面积将会（ ）A逐渐增大 B不变 C逐渐减小 D先增大后减小 第1题图第1题图yxxxxyyyyAOBCOBAABOAOBCxABEDOCS1S2第2题图第3题图第4题图第5题图03（牡丹江）如图，点A、B是双曲线上的点，分经过A、B两点向x轴、y轴作垂线，若1，则S1S2 .04（河池）如图，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BCx轴，ACy轴，ABC的面积记为S，则（ ）AS2 BS4 C2S4 DS4 05（泰安）如图，双曲线（k0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）A B C D CAOByxy【例3

5、】（成都）如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数的图象交于点A（2，1），CAOByxy试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；求AOB的面积.【解法指导】利用割补法求图形面积.解：点A（2，1）在反比例函数的图象上，m(2)12，反比例函数的表达式为.点 B（1，n）也在反比例函数图象上，n2，即B（1，2）把点A（2，1）点B（1，2）代入一次函数ykxb中，得 解得 一次函数的表达式为yx1在yx1中，当y0时，得x1，直线yx1与x轴的交点为C（1，0），线段OC将AOB分成AOC和BOC，.【变式题组】BCAOxyy01（徐州）如图，已知A(n,2),B(1,4)是一次函数ykxb

6、的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线ABBCAOxyy求反比例函数和一次函数的关系式；求AOC的面积；求不等式kxb0的解集（直接写出答案）02已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B点，A(1，n)，B(，2).求两函数的解析式；ABOxyy在x轴上是否存在点P，使AOPABOxyy求；若y1y2，求x的取值范围. 03如图，A是反比例函数（x0）上一点，ABx轴，C是OB的中点，一次函数y2axb的图象经过点A、C两点，并交y轴为D（0，2），4.ABABOxyyDC在y轴右侧，若y1y2时，求x的取值范围.CAOByxy04如图，RtABO的顶点A是双曲线与直线yx(k1)在第

7、二象限的交点，ABx轴于CAOByxy求这两个函数的解析式；求A、C两点的坐标；若P是y轴上一动点，求点P的坐标.【例4】（咸宁）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PCx轴于点C，交的图象于点A，PDy轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：ODB与OCA的面积相等；四边形PAOB的面积不会发生变化；PA与PB始终相等；当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.其中一定正确的是 （把你认为正确的序号都填上）OxyyDBPAC【解法指导】A、B两点在的图象上，根 据反比例函数中k的几何意义可知，因而正确；，当k不变时，若P变动，而四边形PAOB的面

8、积不变因而是正确；若设P（t,），则A（t,），B（），PA，PB.若PAPB，则有.k1,t0,当P()时，有PAPB，并不是PA与PB始终相等，因而不正确；当A为PC的中点时，DBPB，因而正确；故填，.OxyyDBPAC【变式题组】01（武汉）如图，已知双曲线（k0）经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k .OxyEBDACy第2题图02如图，矩形ABCD对角线BD中点E与OxyEBDACy第2题图OOxyyEBFAC第1题图OxyyBPAC第3题图03如图，P为x轴正半轴上一点，过点P作x轴的垂线，交函数（x0）的图象于点A，交函数（x0）的图

9、象于点B，过点B作x轴的平行线，交（x0）于点C，连接AC，当点P的坐标为（OxyyBPAC第3题图04函数（x0）与（x0）的图象如图所示，直线x t（t0）分别与两个函数图象交于A、C两点，经过A、C分别作x轴的平行线，交两个函数图象于B、D两点，探索线段AB与CD的比值是否与t有关，请说明理由.OOxyyBDAC第4题图x t05如图，梯形AOBC的顶点A、C有反比例函数的图象上，OABC，上底OA在直线yx上，下底BC交x轴于E（2，0），求四边形AOEC的面积.OOxyyB11AC第5题图E演练巩固反馈提高ABOxyy01（恩施自治州）如图，一次函数y1x1与反比例函数的图象点A（2

10、，1）、B（1，2），则使y1y2ABOxyyAx2 B x2或1x0 C 1x2 D x2或x102（常州）若反比例函数的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可以是（ ）A1 B3 C0 D3 03（荆州）如图，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线，RtABC中直角边AC4，BC3，将BC边在直线l上滑动，使A、B在函数的图象上，那么k的值是（ ）A3 B6 C12 D04（丽水）点P在反比例函数（x0）的图象上，且横坐标为2，若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得点为P/，则在第一象限内，经过点P/的反比例函数图象的解析式是（ ）A （x0） B （x0）

11、C （x0） D （x0）05（铁岭）如图所示，反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点坐标是A（2，1），若y2y10，则x的取值范围在数轴上表示为（ ）0012012012012ABCDyxyx0123第8题图P1P2P3yx0121第6题图2yxAyxA(2,1)0121Y1Y2第5题图BlC1OyxA第3题图06（泰安）函数图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确的是（ ）A该函数的图象是中心对称图形 B当x0时，该函数在x1时取得上值2C在每个象限内，y随x的增大而减小 D y的值不可能为107（芜湖）在平面直角坐标系xOy中，直线yx向上平移一个单位长度得到直线l, 直

12、线l与反比例函数的图象的一个交点为A（a,2）则k的值等于 .08（广安）如图，在反比例函数（x0）的图象上有三点P1、P2、P3，它们的横坐标依次为1，2，3，分别过这3个点作x轴、y轴的垂线，设斩中阴影部分的面积依次为S1、S2、S3，则S1S2S3 .09（十堰）已知函数yx1的图象与x轴、y轴分别交于点C、B，与双曲线交于点A、D，若ABCDBC，则k的值为 .10（遵义）如图，在平面直角坐标系中，函数（x0，常数k0）的图象经过点A（1，2），B（m,n）,(m1),过点B作y轴的垂线，垂足为C，若ABC的面积为2，则点B的坐标为 . 11如图，点P的坐标为（2，），过点P作x轴的平

13、行线交y轴于点A，交双曲线（x0）于点N，作PMAN，交双曲线于（x0）于点M连接AM，已知PN4，求k的值；求APM的面积. 12如图，反比例函数的图象与直线yxm在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标3，D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴，直接写出k、m的值；求梯形ABCD的面积. 13如图，已知双曲线（x0）经过RtOAB斜边的中点D，与直角边AB相交于点C，若OBC的面积为3，求k的值.14如图，RtABC的直角边BC在x轴的正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长交y轴负半轴于E，双曲线（x0）的图象经过点A，若8，求k

14、的值.15如图，RtABC中，BAC90，BC所在直线的解析式为，AC3，若AB的D在双曲线（x0）上，将三角形向左平移，当点B落在双曲线上时，求三角形平移的距离.16（荆州）如图，D为反比例函数（k0）图象上一点，过D作DCy轴于C，DEx轴于E，一次函数与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，若梯形DCAE有面积为4，求k的值.17（四川广安）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，2）、点B（4，n）求一次函数和反比例函数的解析式；求AOB的面积.18（河北省）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标，顶点B的坐标为（4，2），过

15、点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB、BC交于点M、N，求直线DE的解析式和点M的坐标；若反比例函数（x0）的图象经过点M，求该反比例例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上？若反比例函数（x0）的图象与MNB有公共点，请直接写出m的取值范围.培优升级奥赛检测01如图，直线l与反比例函数与（mn0）的图象分别交于点A、B，且直线lx轴，连接PA、PB，小芳与小丽同学针对PAB面积的讨论，有以下两种意见：小芳：点P在x轴上移动时，PAB的面积总保持不变；小丽：当直线l上下平移时，PAB的面积总保持不变；那么，你认为她们的说法中（ ）A只有小芳正确 B只有小丽正确C两人都正确

16、 D两人都不正确02（南昌市八年级竞赛题）在函数（a为常数）的图象上有三点：（1，y1）,(),( )则函数值y1、y2、y3的大小关系是（ ）A y1y2y3 B y3y2y1 C y3y1y2 D y2y1y3 03（济南）如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，ABAC2，直角顶点A在直线yx上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线（k0）与ABC有交点，则k的取值范围是（ ）A1k2 B1k3 C 1k4 D 1k4 04（第十八届“希望杯”初二）直线l交反比例函数的图象于点A，交x轴于点B，点A、B与坐标原点O构等边三角形，则直线l的函数解析式为

17、 05（成都）如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数（k0，x0）的图象上，若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S，则当Sm（m为常数，且0m4）时，点R的坐标是 .（用含m的代数式表示）06如图，已知直线与双曲线（k0）交于A点，且点A的横坐标为4，若双曲线（k0）上一点B的纵坐标为8，求AOB的面积.07（北京）如图，A、B两点在函数（x0）的图象上，求m的值及直线AB的解析式；如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数.08（温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点C（1，6）点D（3，n）.过点C作CEy轴于E，过点D作DFx轴于点F，求m、n的值；求直线AB的函数解析式；求证：AECDFB09如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在