福建省厦门市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题

厦门市2023—2024学年第二学期高二年级质量检测数学试题满分：150分考试时间：120分钟考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号，姓名是否一致。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，，则（）A. B. C.1 D.42.用1，2，3，4，5可以排成数字不重复的三位数的个数为（）A. B. C. D.3.若，，则（）A. B. C. D.4.函数的图象大致是（）A. B. C. D.5.等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（）A.2 B. C.4 D.6.在四面体中，，，，，则与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.展开式中各项系数之和为64，则该展开式中的系数是（）A. B. C.60 D.2408.在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线与圆：有公共点，则可以是（）A.1 B.2 C.3 D.410.对于变量和变量，经过随机抽样获得成对样本数据，，2，3，…，10，且，样本数据对应的散点大致分布在一条直线附近.利用最小二乘法求得经验回归方程：，分析发现样本数据对应的散点远离经验回归直线，将其剔除后得到新的经验回归直线，则（）A.变量与变量具有正相关关系B.剔除后，变量与变量的样本相关系数变小C.新的经验回归直线经过点D.若新的经验回归直线经过点，则其方程为11.已知函数，，则（）A.在上单调递增B.当时，有且只有一个极值点C.若有两个极值点，则D.若有两个极值点，，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上一点，且，则的面积为______.13.把5张座位编号为1，2，3，4，5的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有______种.（用数字作答）14.某一地区某种疾病的患病率为，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.1.该地区现有3人的试验反应均是阳性，则这3人中恰有1人患该疾病的概率是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求的前项和.16.（15分）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某班级兴趣小组调查了全班50位同学，得到如下数据：性别篮球运动合计喜欢不喜欢男生25女生10合计2050（1）完成上述列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢篮球运动与性别有关联？（2）该班级要从甲、乙两人中选派1人参加篮球挑战赛.比赛设置5个挑战项目，参赛人员随机抽取3个项目进行挑战.已知甲只能挑战成功其中3个项目，乙每个项目挑战成功的概率均为，甲、乙两人挑战每个项目成功与否均互不影响.请根据挑战成功次数的期望和方差，分析派谁去参加挑战赛更合适.附：，其中.0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.82817.（15分）已知函数在处的切线方程为.（1）求b，k；（2）若的极大值为0，求的取值范围.18.（17分）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记的轨迹为.（1）求的方程；（2）过原点的直线交于A，B两点，过作直线的垂线交于点（异于点），直线与轴，轴分别交于点P，Q.设直线，的斜率分别为，.（ⅰ）证明：为定值；（ⅱ）求四边形面积的最大值.19.（17分）设随机变量的概率密度函数为（当为离散型随机变量时，为的概率），其中为未知参数，极大似然法是求未知参数的一种方法.在次随机试验中，随机变量的观测值分别为，，…，，定义为似然函数.若时，取得最大值，则称为参数的极大似然估计值.（1）若随机变量的分布列为123其中.在3次随机试验中，的观测值分别为1，2，1，求的极大似然估计值.（2）某鱼池中有鱼尾，从中捞取50尾，做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾，观测到做记号的有5尾，求的极大似然估计值.（3）随机变量的概率密度函数为，.若，，…，是的一组观测值，证明：参数的极大似然估计值为.厦门市2023—2024学年第二学期高二年级质量检测数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.D2.B3.C4.B5.D6.A7.A8.D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.CD10.AD11.ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.613.9614.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解：因为是正项等比数列，所以，公比.因为，所以，即，则，得（舍）或又因为，所以，所以的通项公式为.（2）依题意得，当时，，即.因为，所以，当时，符合上式，所以的通项公式为.因为，所以.16.解：（1）列联表如下：性别篮球运动合计喜欢不喜欢男生20525女生101525合计302050零假设为：喜欢篮球运动与性别无关联.根据列联表中的数据，经计算得到：根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为篮球运动与性别无关联.（2）设甲挑战成功项，可能取值为1，2，3；；.所以的分布列为：123，.设乙挑战成功项，则，所以，，所以，，即甲和乙的水平相当，但甲发挥更稳定，所以派甲去参加挑战赛更合适.17.解：（1），切点为，所以，所以，.（2）由（1）得，定义域为，.①当时，，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以有极小值，无极大值，不符合題意；②当时，，令，得或.ⅰ）若，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以有极小值，极大值为，不符合题意；ⅱ）若，则，所以在上单调递减，所以无极值，不符合题意；ⅲ）若，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以有极小值，极大值为，满足题意.综上所述，.18.解：解法一：（1）设，由题意得：，即.化简得：.所以的方程为.（2）设，，则.（ⅰ）因为T，A在椭圆上，所以，，即，，所以所以为定值.（ⅱ）由题意得，直线的斜率一定存在，且不为0.因为，所以，因为，所以.由（ⅰ）得，所以，所以：.令，得，所以，令，得，所以，所以四边形的面积为.因为，所以，当且仅当，时，等号成立.所以，所以四边形的面积的最大值为.解法二：（1）同解法一（2）（ⅰ）同解法一（ⅱ）由题意得，直线的斜率一定存在，且不为0，设：联立，得，所以.因为，所以.由（ⅰ）得，所以，所以：，即.令，得，所以，令，得，所以，所以四边形的面积为，当且仅当，即时，等号成立.所以四边形的面积的最大值为.19.解：（1）依题意得：，所以.当时，