§3方向导数和梯度

1、PtPt0+PPtO+P3方向导数和梯度附录：数量场，向量场数量场：设D是Rn中的一个区域，f是定义在D内的一个实值函数，即f:DTR。则称在D内有一个数量场f，或称f是D内的数量场。例如：教室中每一点的温度、位置等；点电荷形成的电位切；磁铁周围磁力的大小.等值面：设f是D内的一个数量场，称s=xeDf(x)=C(C是常数)是数量场f的等值面，即在S内每一点x处，f所对应的数值是相同的，都等于C.特别当D是R2中的区域时，称S等值线.例如：天气预报中的等温面，等压面；地势图上的等高线(海拔相同).向量场一、方向导数1.方向导数的定义三元函数f在点P(x,y,z)的三个偏导数，分别是函数f在点P

2、(x,y,z)沿着平行于坐标轴00000000的直线方向(双向)上的变化率函数f在点p0沿射线1(单向)方向的变化率，即f在点p0沿方向1的方向导数.定义1(P124)设三元函数f在点P(x,y,z)的某邻域U(P)uR3内有定义，1为从点P出000000发的射线P(x,y,z)为1上且含于U(P)内的任一点，以P表示P与P两点间的距离.若极限00如果limf如果limf（P0+”）-f（P0）tT0+t存在，则称此极限为函数f在点P0沿方向1的方向导数，记为普|殆或fi(P0)、fi(x0,y0,z0).定义1设D是R3中的一个区域，f是D内的一个数量场，PQeD，1是R3中的一个单位向量，

3、即111=1,f（Pf（Po）=lim竺Q/tt0+t的变化率。QfQfQf易见，亍、和是三元函数f在点P分别沿X轴正向、Y轴正向和Z轴正向的方向导数.QxQyQz0对二元函数z=f(x,y)在点P(x,y),可仿此定义方向导数.000根据定义计算方向导数例1(P125,有补充)f(x,y,z)=x+y2+z3.求f在点P(1,1,1)处沿1方向的方向导数，其中(1)1为方向(2,-2,1)；(2)1为从点(1,1,1)到点(2,-2,1)的方向.X1y1z1令解(1)经过点P，以1为方向的射线为=令=t(0).即0221x=2t+1,y=2t+1,z=t+1,(t0),f(P)=f(1,1,

4、1)=3,f(P)二f(2t+1,2t+1,t+1)二(2t+1)+(2t+1)2+(t+1)3二13+7t2+1+3P=*(x1)2+(y1)2+(z1)2=、：(2t)2+(2t)2+12=3t.因此,=lim因此,=limpTO+f(p)一f(P。)t3+7t2+t=lim3tttO+b(2)从点P(1,1,1)到点(2,2,1)的方向1的方向数为(1,3,0),经过点P，以1方向的00射线为x=t+1,y=3t+1,z=1,(t0).M)二m+1,-3t+u)二9t2-5t+3,代)二m1)二3；P=f(x1)2+(y1)2+(z1)2=t2+(3t)2=x.10t.因此,Pt0+f二

5、limf(P)一f(Po)二lim3二况P0ptO+pt因此,Pt0+2.方向导数存在的一个充分条件及它的计算定理17.6若函数f在点P(x,y,z)可微，则f在点P处沿任一方向1的方向导数都存在，且00000f(P)二f(P)COS+f(P)cos0+f(P)cosY,(f(P)=cosa+cos卩+4cosy)10 x0y0z0dl0QxdyQz其中cosa、cos卩和cosY为1的方向余弦.证明P125对二元函数f(x,y),f(P)二f(P)cosa+f(P)cos卩，其中a和0是1的方向角.10 x0y0设D是R2中的一个区域，f(x,y)是D内的一个二元可微函数，那么在D内每一点(

6、x,y)，f沿单位向量1的方向导数是f=QLcosa+Qfsina，其中a是x轴的正向(即x轴上单位向量i)和向量1之间的夹角。Q1QxQy例1(P125，用定理176计算)TOC o 1-5 h z2221解(1)1的方向余弦为cosa=,cos0=,cosY=.&22+(2)2+12333f(P)=1,f(P)=2y|=2,f(P)=3z2|=3.x0y0y=1z0z=1因此，卑=f(P)cosa+f(P)cos卩+f(P)cosy=；+2-(-2)+3-=alx0y0z03333(2)l的方向余弦为2-113coa=,cosp=一,cosy=0.;(2-1)2+(-2-1)2+(1-1)

7、21010因此,a因此,af=1丄-2丄aico10补例1设u=xy-y2z+zex，求u在点(1，0,2)沿方向(2,1,-1)的方向导数。注1:f在点P可微是方向导数存在的充分非必要条件0注2：f在点P连续既不是方向导数存在的必要条件，也不是充分条件.0P126.例2说明注1和注2的前半部分，P117，3题说明注2的后半部分.二、梯度在一个数量场中，在给定点沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的，现在我们所关心的是：沿哪一个方向其方向导数最大？其最大值是多少？为此引进一个很重要的概念梯度.1梯度的定义定义2(P127)设三元函数f在点P0(x0,y0,z0)的三个偏导数都存在，则称向量辿S

8、i*辿gj+沁上!k是f在点(x,y,z)的梯度，记为gradf(x,y,z)，即axayazgradf(x,y,z)=i+j+k=(f(P),f)，f(P)axayazx0y0z0TOC o 1-5 h zIgradf1=(f(P)A+f(P)+(f(P)A*x0y0z0注3：由fi(P0)=fx(P0)cosa+fy(P0)cosp+f(P)泊=(f(P),f(P),f(P)(cosa,cosp,cosy)x0y0z0可见对可微函数/,方向导数f(P)为梯度向量(f(P),f(p),f(P)在方向1上的投影.l0 x0y0z0注4:设数量场f(x,y,z)定义于某个三维区域D内，则梯度场是

9、由数量场f产生的向量场.2梯度的几何意义对可微函数,梯度方向是函数的值增长最快的方向.这是因为fi(P0)=gradf1=1gradf(P0)Icos0其中0是单位向量1与g吋(P0)夹角.可见。=0时fi(P0)取最大值,在1的反方向取最小值.gradf的意义总结：gradf的方向表示数量场f在点P的所有方向导数达到最大值的那一个方向,gradf的模（长）就是这个最大的方向导数.例3P126补例2设在空间原点处有一个点电荷q，在真空中产生一个静电场，在空间任一点（x,y,z）处的电位是:V=q，r=八x2+y2+z2r则(l)V是r3)内的一个数量场；(2)gradV=-丄gradr=亠牡=-f+yj+zk)r2r2rr33、gradf的运算性质(P127)设u,v可微，则(1)grad(au+Pv)=agradu+Pgradv；grad(u+c)=gradu.(c是常数)grad(uv)=ugradv+vgradu；grad(cf)=cgradf,vugradv-vgradu小grad=.u丰0uu2(4)gradf(u)=f(u)gradu.(0(u)在u=f(x,y,z)可微)(0(u)在u=f(x,y,z)可微)rvuv-uvrviIu丿xxu2Iu丿grad(申(