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文档简介

1、改进的牛顿迭代法求解非线性方程摘要：牛顿法思想是将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，但是 其对初值、波动和可能出现的不收敛等缺点，而牛顿下山法克服了可能出现的发散的缺点。 关键词：牛顿法、牛顿下山法、非线性方程一、牛顿法的迭代公式设f (x)在其零点X*附近一阶连续可微，且f(x)。0，当x0 T x*时，由Taylor 公式有：f (x) = f (x0) + f(X0)( x - X0)以方程f (x0) + f X x0)( x-x0) = 0近似方程f (x) = 0，其解f (x )0f(x )0可作为方程的近似解，重复上述过程，得迭代公式x = x - f (

2、叩 ,(n = 0,1, )n+1 nf(x )n该方法称为牛顿迭代法。二、牛顿法的改进由于牛顿法缺点对牛顿法进行改进，使其计算简单，无需每次迭代都去计算f (x)，且能够更好的收敛。2.1简化的牛顿法牛顿法的缺点之一是每次迭代都得去计算f (x )。为回避该问题，常用一个 k固定f (x )迭代若干步后再求f (x )。这就是简化牛顿法的基本思想。kk简化牛顿法的公式为：x = x - cf (x )迭代函数中3) = x - cf (x)若加3| = |1 - cf 3| 1,即。 cf (x) 2，在根x *附近成立，则迭代法局部收敛。显然此法简化了计算量，却降低了收敛速度。2.2牛顿下

3、山法牛顿法的缺点二是其收敛依赖与初值x0的选取，若x0偏离所求根x *较远， 则牛顿法可能发散。为防止迭代发散，我们对迭代过程再附加一项条件，即具有 单调性：lf (xk lf (xk)l保证函数值稳定下降，然后结合牛顿法加快收敛速度，即可达目的。将牛顿法的 计算结果与前一步的近似值气适当加权平均作为新的改进值x =人 x + (1 人)x k+1 k+1k其中，称从0 X 1)为下山因子，即为：_ _、 f (x,) WC f ) k称为牛顿下山法。选择下山因子入时，从1二入开始逐次将入减半进行试算，直 到条件成立为止。三举例说明例1求方程x3 - x-1 = 0的根(1)取x0 = 1.5

4、，用牛顿法公式：x 3 xx = x k1k计算得：气=1.34783, x2 = 1.32520, x3 = 1.32472 迭代3次得到的结果x3有6位有效数字。改用x0=0.6作为迭代初值，依牛顿法公式迭代一次得气=17.9。该结果反 比* = 0.6更偏离了所求根x* = 1.32472用牛顿下山法解：(2)中通过人逐次取半进行试算，当入=1/32时可得， 气=1.140625，此时有 f (气)=0.655543,而 f (x0) = 1.384，显然 f (气)| f (x0)。 由x计算x , x ,时入=1均能使条件|f (x )|f(x )|成立。12 31k+1 k 1x = 1.36181, f (x ) = 0.186622计算结果：x = 1.32628, f (x ) = 0.0066

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