北京大学量子力学教材 第四章

1、 36/36北京大学量子力学教材 第四章 第四章 量子力学中的力学量 第四章目录 4.1表示力学量算符的性质 (3) (1) 一般运算规则 (3) (2) 算符的对易性 (5) (3) 算符的厄密性（Hermiticity） (7) 4.2 厄密算符的本征值和本征函数 (10) (1) 厄密算符的本征值和本征函数 (10) (2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 (12) 4.3 连续谱本征函数“归一化” (15) （1） 连续谱本征函数“归一化” (15) （2） 函数 (18) （3） 本征函数的封闭性 (22) 4.4 算符的共同本征函数 (24) (1) 算符“涨落”之间的关系 (24

2、) (2) 算符的共同本征函数组 (27) (3) 角动量的共同本征函数组球谐函数 (28) (4) 力学量的完全集 (34) 4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） .36 (1) 力学量的平均值，随时间变化；运动常数 (36) (2) Vivial Theorem维里定理 (37) (3) 能量时间测不准关系 (38) (4) 恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） (38) 第四章 量子力学中的力学量 4.1表示力学量算符的性质 (1) 一般运算规则 一个力学量如以算符O ?表示。它代表一运算，它作用于一个波函

3、数时，将其变为另一波函数 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O ?=。 它代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O ? 例： /p ?ia x e O ?-=，于是 )x (e )x (O ?dx d a =- =-=0n n n n )x (dx d !n )a ( )a x (-= )x (?= 即将体系的几率分布沿x 方向移动距离a . A. 力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程。 由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。所谓线性算符，即 =O ?c )c (O ? 22112211+=+O ?c O ?c )c

4、 c (O ? 例如1： =?H ? t i 若1是方程解，2也是方程解，则2211c c +是体系的可能解。事实上 22112211?+?=+? t i c t i c )c c (t i 2211+=H ?c H ?c 是线性算符仅当H ?有 )c c (H ?2 211+=； 例如2：对不显含时间的薛定谔方程 =E H ?， 若 11=E H ?，2 2=E H ?，则 2211+c c 也是解 )c c (E 2211+ 2211+=E c E c 2211+=H ?c H ?c 是线性算符仅当H ?有 )c c (H ?2 211+= 量子力学不仅要求力学量算符是线性算符，而且方程是

5、线性齐次， 方程A O ?=就不行。因 A O ?=1，A O ?=2 。但 )c c (A O ?c O ?c )c c (O ?2122112211+=+=+。 而 121+c c 。所以，方程形式只能为0=)O ?(F ，且)O ?(F 必须是线性算符。当然，可观察的力学量算符不仅应是线性的，而且应是线性厄密算符。 B. 算符之和： B ?A ?O ?+=表示，对任意波函数进行变换所得的新波函数完全相等，即 ?=O ?，?=?+?=+=+B A B ?A ?)B ?A ?(； C. 算符之积: B ?A ?O ?=表示，对任意波函数，有?=O ?，则 ?=?=B A ? B ?A ?；

6、D. 逆算符：算符O ?将任一波函数?O ?, 即?=O ?。若有另一算符使=?R ?，则称R ?为O ?的逆算符，并表为1O ?R ?-=，显然，1O ?O ?O ?O ?11=-； E. 算符的函数： 设：)x (F 在x=0处，有各级导数 =n n x ! n )(F )x (F 0， 则定义算符的函数 =n n A ?! n )(F )A ?(F 0。 例如: x e 它有各级导数10 =) n (x )e (， =n x x ! n e 1。于是 =n A ?A ?! n e 1。 如果函数不能以幂级数表示，则还有算符函数的自然展开。我们将在后面给出。 （2）算符的对易性 一般而言，

7、两算符的乘积和次序有关，不能彼此对易。 若 /? i y e A ?2 -=, /L ? i z e B ?2-=，则 A ?B ?B ?A ?。 我们熟悉 -=x i p ?x x ，-=x i i x p ?x 。所以 =- i x p ?p ?x x x 由于是任意波函数。所以算符 i x p ?p ?x x x =-。 引入对易子：B ?,A ?为算符B ?A ?和的对易子， A ? B ?B ?A ?B ?,A ?-=。 由于算符的不可对易性，导致其对易子并不定为0。对易子有如下性质 A ?,B ?B ?,A ?-= C ?B ?,A ?C ?,A ?B ?C ?B ?,A ?+=

8、B ?C ?A ?C ?B ?A ?C ?B ?A ?+?=?， 并有 -=-=1 01n S s n s n B ?B ?,A ?B ?B ?,A ?， 证： 1n = 成立 设： 1n -成立，即 -=-=2 111n S s n s n B ?B ?,A ?B ?B ?,A ?，而 11 -+=n n n B ?B ?,A ?B ?,A ?B ?B ?,A ? 12 11-=-+=n n S s n s B ?B ?,A ?B ?B ?,A ?B ?B ? 1n 2 n 0 S 1s 1n 1s B ?B ?,A ?B ?B ?,A ?B ?-=-+= 111 1-=-+= n n S

9、s n s B ?B ?,A ?B ?B ?,A ?B ? -=-= 1 1n S s n s B ?B ?,A ?B ? 例： 求 p ?,x n x -=-= 1 1n S s n x x s x p ?p ?,x p ? -=-= 1 1n S n x p ?i 1-= n x p ?n i 。 由于算符之间存在不对易的情况，因此在算符的运算时，要特别小心，不要与常规运 算混淆。 例：B ?,A ? 都和 B ?,A ? 对易，可证明 B ?,A ?B ?A ?B ?A ?e e .e 21+=。 所以， p ?x p ? x x x e e .e 21+= 。 这种差异，是因为A ?B

10、 ?B ?A ?。而仅当A ?B ?B ?A ?=时，B A B A e e .e += 才成立。 下面是一些有用的对易关系 k ijk j i x i x ,L ?= k ijk j i p ?i p ?,L ?= k ijk j i L ?i L ?,L ?= 其中 i,j,k 可取1，2，3，ijk 称为Levi-Civita 符号。取值ijk ) (-1（ijk 为 从123ijk 的对换数。如 1132=，1)1(1 132-=-=。显然，当ijk 中有两个相同，则ijk =0 ）。 用上述关系可证： r i L ?r r L ? 2=?+? p ?i L ?p ?p ?L ? 2=

11、?+? 这表明，L ?r r L ?-?，L ?p ?p ?L ?-?。但r p ?p ?r ?-=?，所以， p ?r )r p ?p ?r (L ?=?-?=2 1 应该强调指出：对易关系是与坐标选择无关。因此，求对易关系，可找计算起来最简单的坐标系来做。其结果，当然对任何坐标系都成立。 例： r ,L ?z r x y y x (i ? -?-= r yx r xy ( i 2222-= =0 。 而 r ,L ?z r ,i ? ? -= =0 。 另外，对易关系与表象选择无关。 如 p ?,x n x p ,p i n x x ?= 1-=n x p ?n i （3）算符的厄密性（H

12、ermiticity ） A. 算符复共轭：若对波函数（任意）有 =?A ?, *B ?=? 则称B ?为A ?的复共轭算符，以* A ?表示。 例 )x (dx d i )x (p ?)x (x -=? , *x *)x (p ?dx d i )x (dx d i ()x (-=-=? , 所以，x * x p p -=。 事实上，算符的复共轭就是将算符所有复数量取复共轭。显然， *B ?A ?)B ?A ?(=， A ?)A ?(*=。 B. 算符的转置 1. 标积定义：若体系有两个波函数，其标积为 ?=?r d ),(* 。 显然，02 =?r d ),( 对于标积，显然 ),(),()

13、,(*?= ),(),(),(22112211?+=+ ),(),(),(2* 21*12211?+=+。 所以对?，标积是性运算；而对， 标积是反线性运算。 当标积为零， 0r d ),(*=? 则称这两波函数正交。 2转置定义：算符B 称为算符A ?的转置算符，即 ?=r d B ?r d A ?*?，或 )B ?,()A ?,(*?=。 通常以算符A ?表示算符A ?的转置算符。即 ?=?r d A ?r d A ?*，或 )A ?,()A ?,(*?=? 例：?-?=?-?=?+ -r d x (r d x r d x * * ，所以， x x ? -=?， 显然，x x p ?p ?

14、-=。 可以证明 A ?B ?B ?A ? =, A ?A ?= C. 算符的厄密共轭 定义：算符的厄密共轭是该算符取复共轭，再转置，（以+ A ?表示），即 * A ?A ?=+， 也就是，),A ?()A ?,()A ?,(* *?=?=?+ ；由明显的标积形式 ?=+r d )A ?(r d A ?r d A ?*? 例： x x ()x ( *?-=? -=?+ 可证：A ?)A ?(=+； +=A ?B ?)B ?A ?( 而 x x * x x p ?p ?p ?p ?=-=+ ，即x p ?的厄密共轭等于它自己。这是一类 特殊的算符。（x x ?=+ ，i i L ?L ?=+）

15、 D. 厄密算符: 若算符的厄密共轭就是它自身，则称该算符为厄密算符，即, 若A ?A ?=+ ，则称A ?为厄密算符，也就是 ),A ?(),A ?()A ?,(?=?=?+ 。 任一算符有 ),A ?()A ?,(?=?+ 显然， x x p p ?=+， x x ?=+ ， i i L ?L ?=+。当然实数也是一厄密算符 E. 厄密算符的性质 1. 厄密算符相加、减，仍是厄密算符；但厄密算符之积并不一定为厄密算符 2. 任何状态下，厄密算符的平均值必为实数 * *O ?)O ?,(),O ?()O ?,(O ?= 3. 在任何状态下，平均值为实的线性算符必为厄密算符。 证：根据假设，对

16、任一波函数，平均值为实的线性算符A ?有 ),A ?()A ?,()A ?,(* = 令 21+=, (都是任意的21,), 于是 )(A ?2 121+，（ 线性)A ?)A ?)A ?)A ?2 22 12* 2111+=，（，（，（，（ （1） 实数)(A ?(2 121+=， )A ?)A ?)A ?)A ?2221 2*2111+=，（，（，（，（ )A ?,)A ?,)A ?,)A ?,2 22*21*1211+=（ （2） 两式相减得 )A ?)A ?* 1221-，（，（ )A ?)A ?1 2*21*-=，（，（ *1221*)A ?)A ?-=，（，（ 由于入取任意值，上式

17、都成立，因此上式成立仅当 0)A ?)A ?1 2*21=-，（，（， 即 为实数，则 的虚部为零；为虚数，则 的实部为零； ),A ?)A ?1212=（，（ 由于21,是任意的，所以A ?是厄密算符。 易证：若A ?是厄密算符，则0A ?2 。因 0)A ?,A ?( 4.2 厄密算符的本征值和本征函数 (1) 厄密算符的本征值和本征函数 对有一定几率分布（围绕最大几率测量值）的状态，进行一次测量，其偏 差大小可由一“涨落”来定义，即由方均根来定义 )A ?A ?(,()A ?,(A ?A 222-=?=?= ?。 若A ?是一厄密算符，那A 是一实数。所以A ?A ?- 也是一厄密算符。

18、 0)A ?A ?(,)A ?A ?()A ?A ?(,(2-=-， 因此，要使“涨落”为零，即测量值只取确定值（即仅测得一个值，其几 率为1） 即 0)A ?A ?(=- 这一方程表明，当体系处于满足上述方程所确定的状态中，这时测量力学 量A ?，发现没有“涨落”，即测量值为一确定值。当然也就是平均值。 如令这一特殊状态为n u ，而在这一状态中的平均值，也就是这一态中测量仅得一个值n A ，则有方程 n n n u A u A ?= 一般而言，这是一微分方程，它的解只有在一定边条件下才能唯一确定（可以是在为零；可以是周期性边条件；更一般是保持厄密性）。而在一定边条件下，n A 不是取任何值

19、都有非零解。我们称，有非零解的值,A 1,A 2 3A 为方程的本征值，相应的非零解为本征函数，而上述方程为算符的本征方程。 由于A ?是厄密算符，所以n A 必为实数。 这样给出量子力学中又一基本假设：在量子力学中，一个直接可观测的力学量，对 应于一个线性厄密算符；当对体系进行该力学量的测量时，一切可能测得的值，只能是 算符A ?的本征方程的本征值。 显然，仅当体系处于本征函数所描述的状态时，测量值才是唯一的，即为相应的本征值（这时“涨落“为0）。而不含时间的薛定谔方程，即为体系的能量本征方程。 n n n u E u )p ?,r (H ?= 例1：求轨道角动量在z 方向分量的本征值和本征

20、函数。 ? ?-= i L ?Z )(l )(L ?z Z ?=? 于是有 z l )(/)(d d i =? - ，所以 /il z Ae ) (?=?。 由于Z L ?是轨道角动量，因此空间转2回到原处，所以具有周期性边条件， )()2(?=+， 所以 m l m 2l 2z z =?= 2,1,0m =。 同时，周期性边条件也保证了Z L ?是厄密算符。 事实上，要求Z L ?是厄密算符（保证本征值为实数）。那对任意二个波函数21, 有 ? ?+?-=?-20*1220202 * 12*1d )(d d )(i )()(i d )d d i ( ? -+ -= 20 2*12* 12*1

21、d )()(d d i ()0()0()2()2(i 所以， 0)0()0()2()2(2* 12*1=-。 如 21,是本征解，则有 1e /2)l l (i z 1z 2=- ， 于是有 m 22) l l (z 1z 2=- ，即 m )l l (z 1z 2=- 这表明，两本征值之差最小绝对值为 。所以， ? ?= ,3,2,1,0,25,23,21l z 。 也就是说，要求z L ?是厄密算符，得不出 /l z 必需取整数的结论。 例2 求绕固定轴转子的能量本征值和本征函数。 绕固定轴转子的能量本征方程 Eu u d d 2Eu u H ?222=? ?-?= 。 所以 ? ?=21

22、2)/E 2(i Ae u 在坐标空间转2，波函数应相等（周期性边条件） ，所以 m E 22 =? ， ,3,2,1,0m =。 固定转子的能量本征值为 2 2m m 2E ? = ， 相应本征函数为 ? = =im im m e 21Ae u 。 因此，除基态外，每条能级是两重简并（这虽是一维问题，且是束缚态分立能级，但简并。这是因为在变量?20-=之间，波函数无零点。所以， 0c 21 21=-。 (2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 A. 力学量的每一可取值都是实数（即本征值） 因厄密算符平均值为实数，所以本征值必为实。这正是我们为什么要求可观测力学量算符是线性厄密算符的缘由。 B.

23、 相应不同本征值的本征函数是正交的 证： n n n u A u A ?= m m m u A u A ?= )u ,u (A )u A ?,u (m n m m n = )u ,u (A )u A ?,u (n m n n m = 取复共轭，则有 )u ,u (A )u ,u A ?(m n n m n = )u ,u )(A A ()u ,u A ?()u A ?,u (m n n m m n m n -=-。 由于A ?是厄密算符，所以 )u ,u )(A A (0m n n m -= 0)u ,u (m n =，即,u n m u 正交。 属于不同本征值的本征函数是正交的（因此，它们是

24、线性无关的），所以它们不能互相代替，这就使波函数在某力学量的本征函数展开时是唯一的，即 在=n n u a 中，n a 是唯一的。 当然，如果一个本征值A n 对应S 个线性无关的本征函数，这组本征函数并不一定正交，我们可以通过Schmit 正交法（Schmit orthogonalization method）来实现正交归一化。 取 )1(s 1)1(s c =? 使 1),() 1(s )1(s =?； 取 ),(c )2(s )1(s )1(s )2(s 2) 2(s ?-=?， 显然， 0),()2(s ) 1(s =?，且 1),() 2(s )2(s =?。 同样有 ),(),(c

25、 ) 3(s )2(s )2(s )3(s )1(s )1(s )3(s 3) 3(s ?-?-=? 这必然有 0),(),()3(s )2(s )3(s )1(s =?，且 1),() 3(s )3(s =? 。 依此类推。 当然，利用此方法可得多组正交归一化波函数，（如21,?是一组正交归一化的波函数，而 ), (2 121?-?)(2 121?+?也是一组正交归一化的波 函数）。 C. 任何一个算符总可表示为两个厄密算符之和。 - +=A ?i A ?A ? 其中 )A ?A ?(21A ?+ +=，)A ?A ?(2 i A ?+=。 D. 测量结果的几率 现来计算测量力学量A ?取值

26、n A 的几率。当要测量力学量A ?的值时，根 据态叠加原理，如能测得 32,1A ,A A ，则体系处的态为 +?+?+?=332211c c c 其中 ?=?n n A A ?, 所以 ?=r d A ?A ?* ?=n n n m * m * m r d )c (A ?c ?=r d A c c n * m n ,m n n *m mn n ,m n n *m A c c = =n n 2 n A c 从平均值的观点来看（或态叠加原理来看，?= n n n c ，若n ,?都 是归一化的），表达式表明，在中取n A 值的几率为2 n c ，也就是说， 在中测量力学量A ?，测得值为n A

27、 的几率为2 n c 。所以，n c 为几率振 幅。而由 ?=n n n c 得 ?r d *n ?=r d c m *n m m ),(c n n ?= 。 所以，要求在一体系中（以描述）测量力学量A ?，取值n A 的几率振幅，就是要将以n ?展开，展开项的n ?系数即为几率振幅，具体表示为 2 12 1n n n n ) ,() ,(),(c ?= ， 2 n c 为测得n A 的几率。而在状态中，A ?的可能测得值是那些0c n 的n A 。 还需指出，n c 的意义还不仅这一点。事实上，当我们得知n c 全体后，则)r ( 完全被确定。因此，n c 集合也表示了体系的波函数，即完全可

28、代替波函数)r (。 E. 直接可观测的力学量的本征函数构成一完备组。 如n ?是力学量A ?的本征函数组，则任一波函数可以以n ?表 示。 ?= n n n c 事实上，根据态叠加原理，体系处于态中，那进行力学量A ?的测量，如测量值为 32,1A ,A A ，则体系只可能处于这些本征值所相应的本征函数的线性叠加态上。即 +?+?+?= 332211c c c 。 所以，从物理上考虑，可以得出结论：任一波函数能够根据可观测的力学量的本 征函数展开。反之，某一力学量的本征函数组并不形成完备组，则这一力学量不是可观测的。 4.3 连续谱本征函数“归一化” 前面讨论的是局限于分立谱的情况，也就是波

29、函数是平方可积的，能归一化的。显然，并不是所有本征函数都能归一化。 （1）连续谱本征函数“归一化” 与上一节比较 A. 本征函数，本征谱 n ? n A （取分立值） ? （取连续值） B. 任一波函数可按其展开 ?=n n n )x (c )x ( ?=d c )x ( ?=dx c *n n (已归一化n ?) ?=dx c * (归一化已?) C. ?=dx )c (c m m m * n n ?=dx )d c (c * ?=m m *n m dx c ?=d )dx (c * 所以，? ?=m n 1m n 0dx m *n ? ?dx *?是一“奇异函数” 。 因左边仅与有关，所以

30、右边c 的应无贡献，这时?dx *?应为零； 而当=时，?c d )dx (c * 应等于。 所以， ? ? = =?0dx * 。 为实现这一要求，我们引入一个奇异函数，即)x (，其定义 ? ? ?=-=-0 x x 0 x x 0)x x (000，以及 ? ?=x 0 x 00 x 1x d )x (。 这是一阶梯函数，设 ? ?=0 x 00 x 1)x (U 由上述积分知 )x (U )x (= 写得更为明确一些 )a x ()a x () a x (U )a x (U lim )x (0a -+-+=+ a 2) a x (U )a x (U lim 0a -+=+ )x (F

31、lim a 0a + = 所以，当+ 0a ，)x (F a （x )a ,a (-）。但总面积恒为1，即 ?+ -=1dx )x (F a （对任意a） 可以证明： ?=c izx dz z e i 21)x (U ，所以 ?= =c izx dz e 21)x (U )x ( ? =dk e 21 ikx 下面给出另一些表示式（作为函数参量极限） 2L Lx Lx cos 1lim 1)x (-=+ 220 x lim 1 += + x Lx sin lim 1L = 2 x i e i lim = - =2x 0 e 1lim = 2L Lx cos L lim 2 B. 函数的性质 下

32、面给出函数的性质，是表示当它们在积分中出现时，左边表示可被右边表示代替。 )x ()x (-= )x (a 1 )ax (= 0)x (x = 推论：如有方程AB，则 )x (c x B x A +=。 例 ,1x ln dx d x = 所以，)x (c x 1 x ln dx d +=。 由于 ? -=b a a ln b ln xdx ln dx d ? -=b a a ln b ln dx x 1 。 对于 a, b 都大于零或都小于零，两式相等；但a0, b0, 则两式不等，而可定出-=i c ，即 )x (i x 1 x ln dx d -=。 )a x ()a (f )a x (

33、)x (f -=- ?+ -=-)a y (dx )a x ()x y ( -=n n n )x x () x (g 1 )x (g (。 （若0)x (g n =，但0)x (g n ，即不是重根） 。 例 )a x ()a x (1)a x ()a x (1)a x (a x 2 2 a x 2 2 2 2 + -+ - -= -= )a x (a 21)a x (a 21+-= )a x ()a x (x 21 +-= 于是有推论 )x ()x (x 2 = （有条件 + 0a 2 ） 。 但是由 ?+ -dx )x (x 2 ?+ -+-= 2 2 dx )x (x dx )x (x

34、?+-+-=02202 2dx )x (21dx )x (21 ?+-=0 0dy )y (21dw )w (21 ?+ -+-=00dy )y (21)y (d )y (21 ?+-+=0 0dy )y (21dy )y (21 ?+ -=dy )y (21 由这给出 )x ()x (x 22 =。 这一矛盾或错误的来源是因 )x ()x (x 2=是有条件的（+ 0a 2 ），而在 0a 2时，是不成立的。 为清楚看到这一点，取 22202 ) x (lim 1)x (-+ = -+ dx )x (lim x 2dx )x (x 022202 ?+ + -+ =-+ ?+-+ -=+022

35、220)x (1)x (d 1lim ?+-+=+20y 1dy 1lim )tan 2(lim 1 10 -= -+ ? ?=-? +-00 02 101dx )x (x 2 。 所以，?=- + 00 0) x (210)x ()x (x 2 。这表明，无条件地由 )a x ()a x (x 21 )a x (22+-= -推论得)x ()x (x 2=是不对的。 仅当+ 0a 2 才成立。 C. 函数的导数 函数具有任何级的导数，可以证明 ?+ -=-)x (f )1(dx )x (f )x x (0) n (n 0)n ( （注意：微商是对宗量进行的） 。 )x ()1()x ()m

36、(m ) m (-= )a y (dx )a x ()x y ()n m ()n () m (-=- +? )x (n )x (x )1n ()n (-= 0)x (x )m (1m =+ 例：求 )x ()x (xu -=之解 因 )x ()x (x -=, 所以特解是)x (，而相应齐次方程是 0)x (xu =， 有解)x ( 。 从而得通解 )x (c )x ()x (u +=。 事实上 )x (c x ) x ()x (u )x ()x (xu +- =?-=，于是得 )x (c )x ()x (u +=。 应特别注意 )x x (x )x x (x 00-?=-?， 但 )x x

37、(x )x x (x )x x (x 00 000-?-=-?-=-?。 （3）本征函数的封闭性 已经讨论过厄密算符的正交，归一和完备性，即 nm m n )u ,u (= （正交，归一） =n n n u c （完备） 对于连续谱 )(),(?-= ?=d c )x (。 下面我们来讨论本征函数的封闭性 =n n n )x (u c )x (， 而 ?=x d )x ()x (u c * n n n u 已归一化。所以 x d )x ()x (u )x (u ()x (n * n n =?。 由此可见， )x x ()x (u )x (u n * n n -= 。 上述表示式称为本征函数的封

38、闭性，它表明本征函数组可构成一函数。 例1 z L ?的本征函数 ? = im m e 21 3,2,1,0m = 有 )x x ()x ()x (m * m m -=，即 )(e 21m )(im ?-?=? -?， 人们熟习的形式：)x x (e l 21 m m )x x (l i -=- 例2 x p ?的本征函数 /x ip p x x e 21= 有 ? ? -= -=x /)x x (ip x * p p dp e 21)x x (dp )x ()x (x x x 本征函数的封闭性在表象变换理论运算中及一些矩阵元求和中是很有 用的。 A. 封闭性是正交、归一的本征函数完备性的充分

39、必要条件。 若n ?是完备的?必有 封闭性（必要条件） n ?有封闭性?则是 完备的（充分条件） 1必要条件已证过 2充分条件：有封闭性: )x x ()x ()x (m * m m -=? 则 ?-=x d )x ()x x ()x ( ?=x d )x ()x ()x (* m m m ?= m m m )x (c ，即 任一波函数可按m ?展开，m ?是完备的。 B本征函数的封闭性也可看作)x (函数按本征函数展开，而展开系数恰为本征函数的复共轭。 ?=- n n x n )x (c )x x ( )x (x d )x x ()x (c * n *n x n ?=-?=?。所以 ?= -

40、n *n n )x ()x ()x x ( 4.4 算符的共同本征函数 我们已介绍了算符的意义，性质，力学量的可取值及测量值的几率。并介绍了本征函 数的封闭性及连续谱的正交，“归一性”。 现在我们讨论算符间的关系，在4.2中已提出，当体系处于状态中，测量算符A ?时，可能取不同值。而大量全同的测量结果，发现取这些可能值的几率就有一定分布，所以一 次测量有一“涨落”（即偏离平均值）。 )A ?A ?(,()A ?,(A ?A 222-=?=?=? )A ?,(A = 当然，如果是A ?的本征函数，则0A =?，即没有涨落。 两算符A ?，B ?在一个态中，一般都有涨落2 A ?，2 B ?。现在

41、要问，能否找到一组态，而有0B ?A ?2 2 =?=?呢？换句话说，如有一组态是A ?的本征函数组，即这时0A ?2 =?；如果该组态也是B ?的本征函数组0B ?2 =?。因此，问题就归结在什么条件下，有共同本征函数组。 (1) 算符“涨落”之间的关系 A. Schwartz 不等式 如果1，2是任意两个平方可积的波函数，则 ()()()2 212211,， 即 2 1* 22 221)dx )x ()x ()dx )x ()dx )x (? ? 证：令 22A =, ()1,22=，() 222 ,1 A ?= 取 ()1221,?-=，则 ()?0,?()()()0,2,),(2122

42、221211-+，即 ()() 222 1211,),( 从而得：()()2 122211,),(? 这与矢量是类似 2 2 2 )B A (B A ?，即 2 2B B A A ? ? ?（即A 的长度大于等于在任一方向B B 的投影） B. 算符“涨落”之间的关系测不准关系： 如令 -=)A A ?(1 -=)B B ?(2, 则根据Schwarty 不等式 ()()2 122211,),(? 因A ?是厄密算符，实常数A ?也是，所以A ?A ?-也是厄密算符，于是有 2 2 11A ?)A ?A ?(,),(?=? ? ?-=。 同理 2 2 22B ?)B ?B ?(,),(?=?

43、? ?-=，所以 ()2 1 22 2 ,B ?A ?。 但我们知，复数模的平方大于等于其虚部模的平方 即 21 * 22*12 2* 1)dx )x ()x (dx )x ()x (4 1) dx )x ()x (?- 2*) dx )x ()A A ?)(B ?B ?)(x (dx )x ()B ?B ?)(A A ?)(x (4 1?-= 2*dx )x (B ?,A ?)x (4 1?= 。 所以， 222dx B ?,A ?4 1B ?A ? 2 B ?,A ?i B A ?。 （如果某一个态是A ?，B ?共同本征函数，即 A ?，B ?都为零，则0B A =?，但这仅对一特定态，

44、而不是任何态。） 上式表明，对0B ?,A ?的态，则在该态中，A ?，B ?的涨落不可能同时为零，当一为零则另一个应为）。 在原则上，当0B ?,A ?，则0B A ? 例1 x A ?=，x p ?B ?= i p ?,x B ?,A ?x = 由于是一常数，所以在任何态下平均都不可能为0。所以， 2 p x x ?。 这即为海森堡（Heisenberg）的测不准关系的严格证明。 应该指出，当0B ?,A ?时，并不是说，在任何态下，“涨落”总不可能同时为0。事实上，可能在某特殊态下，这时0B ?,A ?=，从而可能0B A =?，即0B ?,A ?时，仍可能有个别态，使0B A =?，即

45、可同时测准。 例2 z y x L ?i L ?,L ? =， 但在态时 = 41Y 00, (是,L ?2 z L ?的本征态，本征值为0)。 0L ?,L ?L ?L ?y x 2y 2x =?=? 但这仅是某一特殊态，在这态下，x L ?，y L ?的测量值都可以同时测准， 测得值为0。 例3 x z y L ?i L ?,L ? = 在态lm Y 下（lm Y 是,L ?2 z L ?的本征态，本征值为2)1l (l +， m ），0L L ,L x z y =。这时，0L ?2z =?，2/m )1l (l L ?222y -+=?。所以，在某特定态下，尽管两算符不对易，但一个算符的

46、测不准度可为0，另一个可为有限（当然， 这仅对某特殊态）。 但是，当对易子为常数（纯虚数）时，则不可能存在某一态，在那一个态中，A ?，B ?的涨落都为零；或一为0，一为有限。 （2） 算符的共同本征函数组 定理1. 如果两个力学量相应的算符有一组正交，归一，完备的共同 本征函数组，则A ?，B ?算符必对易，0B ?,A ?=。 设 ) t (nm V 是共同的正交，归一和完备的本征函数组。 )t (nm m )t (nm V B V B ?=， )t (nm n )t (nm V A V A ?=（当n,m 给定， 还可能有简并）。 于是 0V B ?,A ?) t (nm =。对于任一波

47、函数 =nmt ) t (nm nm t V c ，我们有 0V B ?,A ?c B ?,A ?nmt ) t (nm nm t = 由于是任意的波函数。所以，0B ?,A ?= 定理2：如果两力学量所相应算符对易，则它们有共同的正交，归一和完 备的本征函数组。 证：设 )s (n 是A ?的一个本征函数组。 （它们当然是完备的） ) s (n n ) s (n A A ?= 如S1，即不简并，于是 n n n n B ?A A ?B ?B ?A ?=。所以，若n 是A ?的本征态，本征值 为n A ，那n B ?也是。但由于不简并，则 n n n B B ?=（仅与n 差一常数）。所以，当

48、A ?的本征函数不简并，由于A ?，B ?对易，则A ?的本征函数，也是B ?的本征函数，这一本征函数组是它们的共同本征函数组。 当S1，即有简并，无妨设B ?的本征函数组为) t (m u （这也是一完备组）。将) s (n 展开 =m ,r ) r (m sm nr ) s (n u c ， 所以 ) s (n n ) s (n A A ?= =r ) r (m sm nr m n )u c (A =r ) r (m sm nr m )u c (A ? 显然，r )r (m sm nr u c 是B ?的本征函数，本征值为m B 。 =r )r (m sm nr r )r (m sm nr

49、 u c B ?A ?)u c A ?(B ? =r )r (m sm nr m )u c A ?(B 。 所以，r )r (m sm nr u c A ?也是B ?的本征函数，本征值为m B 。而不同本征值的本征函数是正交的。所以等式两边，必逐项相等，于是 =r )r (m sm nr n r )r (m sm nr u c A u c A ? 。 这表明，r )r (m sm nr u c 是A ?，B ?的共同本征函数。（本征值为n A ，m B ）。显然， 它们是完备的（对所有s,n,m 集合）。因对任一波函数 =s ,n n s )s (n d =s ,n r ,m ) r (m s

50、m nr n s u c d = m ,s ,n r ) r (m sm nr n s )u c (d 。 这表明任一都可按r ) r (m sm nr u c 展开，所以它形成一完备组。如经过Schmidt 正 交归一法，可由r ) r (m sm nr u c 构成一正交，归一，完备的A ?，B ?共同本征函数组) t (nm V 。这样 =t ) t (nm snm t r )r (m sm nr V f u c 所以， = t ) t (nm snm t m ,s ,n n s V f d =t ,m ,n s )t (nm snm t n s )V f d ( = t ,m ,n )

51、 t (nm nm t V g （3）角动量的共同本征函数组球谐函数 因 0L ?,L ?z 2 =，它们有共同本征函数组。由对易关系 y x z L ?i L ?,L ? = x y z L ?i L ?,L ? -=，则有 +=L ?L ?,L ?z ， - -=L ?L ?,L ?z ， 其中， y x L ?i L ?L ?+=+， y x L ?i L ?L ?-=- A本征值： 设：lm u 是它们的共同本征函数，则 lm 2l lm 2u u L ? =， lm lm z u m u L ? =。 所以， lm 22l lm 2z 2u )m (u )L ?L ?( -=-。 由

52、于，2 y 2 x 2 z 2 L ?L ?L ?L ?+=-，而y x L ?,L ?是厄密算符，所以，2 y 2 x L ?,L ?的平均值恒为正。因此， 2 l m 。 当l 确定，l 就确定，这时，2 /1l m 。即m 有上、下限。 由于，=-L ?L ?L ?L ?L ?z z , 所以 lm lm z lm z u L ?)1m (u )L ?(L ?u L ?L ?=-= 这表明，如lm u 是z 2 L ?,L ?的本征态，相应本征值为 m ,2 l ，则lm u L ?-也是z 2L ?,L ?的本征态，本征值为 )1m (,2l -。所以 lm u lm u L ?- l

53、m 2u )L ?(- lm 3u )L ?(- m )1m (- )2m (- )3m (- 称-L ?为降算符（对z L ?而言）。 同理 lm lm z lm z u L ?)1m (u )L ?(L ?u L ?L ?+=+= 称+L ?为升算符（对z L ?而言）。 由于，l 固定时，m 有上，下限。若设+m 为上限，-m 为下限，则 0u L ?lm =+ +， 0u L ?lm =- - 0u L ?L ?lm =+ +-， 0u L ?L ?lm =- -+ ? 0u )m m (u )L ?L ?L ?(lm 22l lm z 2z 2=-=-+ 0u )m m (u )L

54、?L ?L ?(lm 22l lm z 2z 2=+-=+ ? - +-+-+-=-=?-=+=m m 1 m m )1m (m )1m (m l l 由于，+m 为上限，-m 为下限，所以，只能取-+-=m m ，而 2l )1m (m +=+。若设：l m =+，则2l )1l (l +=。于是 l m =+，l m -=-。这表明，l 只能取整数或半整数。但m 只能取整。于是，我们有： 2 L ?的本征值为2 l )1l (l +=； z L ?本征值可取 ,l - ,)1l ( +- ,)2l ( +- ,)2l (,0 - ,)1l ( - l 即，取 m ，l m l -。而 ,3

55、,2,1,0l =。 现给出归一化的本征态。 设 lm u 已归一化，而 lm 1lm u L ?u - )u L ?u L ?(lm ,lm - )u L ?L ?u (lm ,lm -+= 2 )1m l )(m l ( +-+= 所以， )1m l )(m l (u L ?u lm 1lm +-+= - ll m l m l lm u )L ?()! m l ()!l 2()!m l (1 u - -+= 0u L ?ll =+ 这表明，角动量的本征值是量子化的。它与能量量子化不同在于它并不需要粒子 是束缚的。自由粒子的角动量是量子化的，这在经典力学看来是非常费解的。这在量子 力学看来是

56、非常清楚的，即动量本征态可由角动量的本征态叠加而成。因0m 2p ?,L ?22 =， 0m 2p ?,L ?2z =，所以各个角动量本征态的几率振幅不随时间变，是守恒的。 B本征函数 我们已求得本征值。现求本征函数。 由 lm lm z u m u L ? =，即 lm lm u m u i =? ? - 于是有解 ?=im lm ),(lm e )(A u 而 )cot i (e L ?i ?+? =? + )cot i (e L ?i ?+ ?- =? - 根据 0e A L ?u L ?il )(ll ll =?+，所以 0)(A )cot l d d (e ll )1l (i =-

57、?+ 而 =-l l sin 1 d d sin )cot l d d ( ，即得 =l )(ll sin c A 现求归一化系数 ? +=?020 1 l 22 1d d sin c 1)! 1l 2()!l (2) 1(c 22 1l 2l 22 =+-+，所以， +-= 4)! 1l 2(! l 2)1(c l l 所以，归一化的 +-=l l l )(ll sin 4)! 1l 2(!l 21 ) 1(A 显然， ?- ?il l m l ),(lm e sin )L ?(c u 现先讨论lm u 的归一化问题，然后给出lm u 的具体形式。 若lm u 是归一化的，由前知 有 lm

58、1lm u L ?)1m l )(m l (1 u -+-+= 下面我们一步步给出归一化的波函数 ? - -=il l ll e sin L ?c u L ? ? -? ?+? - =il l i e sin )cot i (e c ?- ? -=)1l (i l e sin )cot l (c ?-=)1l (i l l l e sin )sin d d sin 1 ( c 所以， ?- -?= )1l (i l 2l 1ll e sin d d sin 1 ) 1(1l 2c u ?-?-?-?= )1l (i l 2l i 21ll e sin d d sin 1)ictg ( e )1

59、(1 l 2c u L ? -?= -?-l 2l 1l )1l ()2l (i 2sin d d sin 1)sin d d sin 1 ( e )1(1 l 2c ? -?-?= )2l (i l 2)1l (2 2ll e sin d d sin 1d d sin 1 )1(2 1)1l 2(l 2c u 以此类推 ? -?+-?= +-1 m m l lm sin 1)1() m l (21)1m l ()1l 2(l 2c u ? im l 2m l e sin d d sin 1d d sin 1d d -? ? +-= im l 2m l m m l m l l l e sin

60、)cos d d (sin 1)1()1()!m l ()!l 2()!m l (4)!1l 2(! l 2)1( ?- -+-= im l 2m l m l l e sin )cos d d (sin 1)!m l ()!m l (4)1l 2(! l 2)1( 于是得z 2 L ,L ?的共同本征函数组-球谐函数 ?+-+-=im m l m lm e )(cos P )! m l ()!m l (4)1l 2() 1(Y ， 而 -+-=-+l 2m l m l m l m l sin )cos d d (sin 1)!m l ()!m l (4)1l 2(!l 21 ) 1()(cos