数学-广东省湛江市2025年普通高考测试（一）（湛江一模）试题和答案

保密★启用前湛江市2025年普通高考测试(一)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x²+2x≤0},B=[-1,1],则A∩B=A.[-1,0]B.[-2,1]C.A.√3A.-567B.5674.一组数据1,3,7,9,m(m>0)的中位数不小于平均数，则m的取值范围为A.[5,7]B.[5,15]C.[7,15]5.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3,圆心角的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是6.已知函数在区间(0,m)上存在唯一一个极大值点，则m的最大值为AA7.已知A(-1,0),B(1,0),点P△PAB的面积为数学试题第1页(共4页)A.-2025B.2025二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有逃错约得，分，9.已知A(1,6),B(2,4),C(3,4),D(4,2),E(5,4),5亻数新的徽点图如图所示，采用一元线性回归模型建立经验网归方程，经分析确定E(5,4)为“离群点”,故将其去掉，将数据E(5,4)去OA.样本相关系数r变大B.残差平方和变小OC.决定系数R²变大D.若经验回归直线过点(3.5,2.8),则其经验回归方程为y=-1.2x+710.复数z₁,zz满足z₁+zz=4,z₁·zz=8,则A16)B2A3分.pSAD42)A.|z₁|·|z₂|=8B.|z-z2|=411.设定义在R上的函数f(x)和g(x),记g(x)的导函数为g(x),且满足f(x)+g(x)=4,f(x-1)-g'(3-x)=4,若g(x)为奇函数，则下列结论一定成立的有A.f(2)+f(4)=8B.f(2025)=4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等差数列{an}的前n项和为S,且满足Szn-1=4n²-2a。-1,a=1,则数列{an}的通项公式为14.已知椭圆A与双曲线B:>0)具有相同的焦点F₁,F₂,点P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且(0为坐标原点).设椭圆A与双曲线B的离心率分别为e₁,ez,则2e²+e的最小值数学试题第2页(共4页)15.(本小题满分13分)16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=aln(x-1)+x²-2x,其中a∈R.(1)若a=-8,求函数f(x)的单调区间；(2)当a<-2时，试判断f(x)的零点个数并证明.17.(本小题满分15分)如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长(2)求直线SB到平面PAC的距离.(3)请判断在平面PAC上是否存在一点E,使得△ESB是以SB为底边，为顶角数学试题第3页(共4页)18.(本小题满分17分)已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,A,B分别为C上的点(点A在点B上方).过点A,B分别作C的切线l₁,l₂,交于点P.点O为坐标原点，当△OAB为正三(1)求抛物线C的方程；(2)若直线AB经过点F,求动点P的轨迹以及点P到直线AB的距离的最小值.19.(本小题满分17分)甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题(难度系数较低的A类问题以及难度系数较高的B类问题)供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问●确记1分，否则记0分；甲遇到B类问题时回答正确的概率为,回答正确记2分，●否则记0分.总得分记为X分.甲回答每个问题相互独立.(1)当进行完2轮游戏时，求甲的总分X的分布列与数学期望(2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为n分的概率为G(n).(ii)求G(n)的最大值以及对应n的值.湛江市2025年普通高考测试(一)数学参考答案及评分参考2025.3一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【解析】因为A={x|x²+2x≤0}={x|-2≤x≤0},B=[-1,1],所以A∩B=[-1,0],故答案为A.【解析】因为a⊥b,所以,所以m=2,所以|b|=【解析】因为a₃·as=a²=49,所以a=±7,当a=-7时，-7-7q²=70,q²=-11(舍去),故【解析】因为这组数据的平均数,所以这组数据的中位数只可能是m或7.若这组数据的中位数是,即5≤m≤7;若这组数据的中位数是7,则 ,即7≤m≤15.综上所述，m的取值范围为5≤m≤15,故答案为B.【解析】由题意得，扇形的弧长,所以该圆锥的底面圆的半径1,所以该圆锥的高h=√3²-r²=2√2.设该圆锥内的球的最大半径为R,则依题意得(3+3+2)×R,所以,所以该球的体积V的最大值是,故答案为D.【解析】由题可知，,所以m的最大值为故答案为A.数学参考答案及评分参考第1页(共9页)为D(2,0),半径为√3,当直线AP与圆D相切时，∠PAB最大，则,所以,故答案为D.【解析】若a≤1,则函数f(x)在R上单调递增，又x-|a-1|≤x,所以f(x-|a-1|)≤f(x)=-f(-x),即f(-x)+f(成立，故a≤1满足题意，故排除选项A;若a>1,则a-1>0,函数f(x)在R上不单调，图象如图所示，又f(-x)+f(x-|a-1|)≤0,即f[x-(a-1)]≤f(x),可理解为函数f[x-(a-1)]的图象在函数f(x)的图象下方，所以a-1≥2Ina,即2Ina-a+1≤0,令g(a)=2Ina-a+1(a>0),则g(2025)=2ln2025-2024<0,g(3)=2lng(e²)=2lne²-e²+1=5-e²<0,故答案为D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【解析】由图可知，变量x与变量y是负相关，将数据E(5,4)去掉后，样本相关系数r的绝对值变大，所以r变小，故选项A错误；由于变量x与变量y的相关性变强，所以残差平方和变小，决定系数R²变大，故选项B,C正确；设经验回归方程为y=bx+a,经计算得x=2.5,y=4,所以1.2,a=y-bx=7,所以经验回归方程是y=-1.2x+7,所以选项D正确，故答案为BCD.【解析】依题意得，复数z1,z2是方程x²-4x+8=0的两个根，因为方程x²-4x+8=0的解为4,故选项B正确；|z1|+|z2|=2√2+2√2=4√2,故选项C错误；,故选项D正确.故答案为ABD.数学参考答案及评分参考第2页(共9页)所以g'(x-1)=-g'(3-x),即g'(x)=-g'(2-x),所以g'(x)关于(1,0)对称，g'(1)=0.又因为g(x)是奇函数，故g'(x)是偶函数，所以g'(x)满足条件g'(x+4)=g'(x).对于选项A,因为g'(4)=-g'(-2)=-g'(2),所以g'(4)+g'(2)=0,所以f(2)+f(4)=4-g'(2)+4-g'(4)=8-[g'(4)+g'(2)]=8,选项A正确；f(2025)=4-g'(2025)=4-g'(1)=4,选项B正确；对于选项D,g'(4)=g'(0),但不一定为0,选项D错误.故答案为ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【解析】设{a}的公差为d,因为S2-1=4n²-2a,-1,所以S₃=4×2²-2a₂-1=3a2,所以a₂=3,所以d=a₂-a₁=2.又a₁=1,所以an=2n-1.,又,所以依题意有所以,当且仅当e2=√2e²时等号成立，数学参考答案及评分参考第3页(共9页)所以,所以2e²+e2的最小值为解法二：因为|,所以.对于焦点三角形△F₁PF₂,根据椭圆的性质可得其面积,根据双曲线的性质可得,所以b²=b2,所以a²-c²=c²-a2,整理可后面同解法一。四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤又因为sinB≠0,所以√3sin∠BAC+cos∠BAC=1,3分所以.……………………4分又∠BAC∈(0,π),∴……………5分(2)因为S△ABC=S△ABD+S△ADC,6分所,……………………7分由余弦定理得,……………………9分将①代入②得8(b+c)²-15(b+c)-8×49=0,…………11分所以△ABC的周长为a+b+c=7+8=1513分16.解：(1)由题知x>1,,………………2分当a=-8时…………3分的单调递增区间为(3,+～).………6分数学参考答案及评分参考第4页(共9页)(2)解法一：令f'(x)=0,解得(舍去),当a<-2时,f(x₂)<f(2)=0.f(1-a)=aln(-a)+a²-1=-a[-a-In(-a)]-112令g(x)=x-Inx(x≥1),故g(x)在[1,+一]上单调递增，因为-a>2>1,所以f(1-a)=-a[-a-1n(-a)]-1>-a-1>0.易知1-a>x2,所以f(x)在(x2,+一)上存在唯一的零点x₃,所以当a<-2时，f(x)有两个零点，为2和xs15分解法二：所以x=xo是f(x)的极小值点.下证Inx≤x-1(x>0).从而g(x)≥g(1)=0,所以aln(x-1)≥ax-2a,令x₁>2-a,则有x₁+a-2>0,则f(x₁)>0.易得当a<-2时，2-a>xo,所以f(x)=0在(xo,+○)上有唯一解.数学参考答案及评分参考第5页(共9页)解法三：令f(x)=aln(x-1)+x²-2x=0,当x=2时，f(2)=0,故2是f(x)的一个零点.………………7分令因(洛必达法则),……11分故当a<-2时在(2,+○)上有唯一解.……13分故当a<-2时无解.又因为SDC平面SBD,所以AC⊥SD4分平面PAC=PO,所以SB//PO5分易知直线SO,AC,BD两两垂直，如图，以点O为原点建立空间直角坐标系.因为正方形ABCD的边长为2,所以A(0,-√2,0),CC0,√2,0),B(√2,0,0),设平面PAC的一个法向量为m=(x,y,z),………………9分数学参考答案及评分参考第6页(共9页)因为SB//平面PAC,所以直线SB到平面PAC的距离等于点B到平面PAC的距离，BC在法向量m上的投影的模为所以直线SB到平面PAC的距离……………………10分(3)解：不存在.…………………11分理由如下：根据第(2)问可得直线SB到平面PAC的距离)又因为SB//平面PAC,设点Q为SB的中点，所以点Q到平面PAC的距离……12分假设在平面PAC上存在点E,使得△ESB是以SB为底边，为顶角的等腰三角形，则有………………………14分因为,所以不存在满足条件的点E.…………15分18.解：(1)因为△OAB为正三角形时，其面积为48√3,可得△OAB的边长OA=8√3.………………1分根据正三角形以及抛物线的对称性，可知点A,B关于x轴对称，所以点A的坐标为(12,4√3).……………………2分将点A代入抛物线的方程可得48=24p,解得p=2,………3分所以抛物线C的方程为y²=4x.………………4分(2)易得F(1,0).设直线AB的方程为x=my+1,联立直线AB与抛物线C的方程可得y²-4my-4=设点A,B的坐标分别为)),根据韦达定理可得y₁+y₂=4m,y₁y₂=-4.……7分设直线l₁的方程为因为l₁是抛物线C的切线，所以l₁与C仅有一个交点.